MARETONG: Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar), Pecahan, Kuadrat dan Linear.

Sunday, December 09, 2018

Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar), Pecahan, Kuadrat dan Linear.


Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar), Pecahan, Kuadrat dan Linear Satu Variabel serta Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita tentang pertidaksamaan yang disebutkan diatas, sebaiknya kita pelajari dulu apa arti pertidaksamaan. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan. Kalimat terbuka adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dipastikan secara langsung benar atau salah, karena masih mengandung variabel.
Contoh:
$a.\ 2x = 20$.
$b.\ x + 3 > 2$
Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat terbuka karena belum dapat dipastikan kebenarannya secara langsung. Berbeda dengan kalimat tertutup, kalimat tertutup dapat ditentukan nilai kebenarannya, benar atau salah secara langsung.
Contoh:
$A.\ 2 + 14 = 16$.
$B.$ Mayoritas orang asia makan nasi.
Tanda ketidaksamaan yang menjadi ciri khas dari pertidaksamaan adalah:
$a.\ " < "$ dibaca: kurang dari atau lebih kecil dari.
$b.\ " ≤ "$ dibaca: kurang dari atau sama dengan.
$c. " > "$ dibaca: lebih besar dari atau lebih dari.
$d. " ≥ "$ dibaca: lebih dari atau sama dengan.
Nilai dari variabel yang ada dalam pertidaksamaan yang mengakibatkan pertidaksamaan menjadi benar disebut penyelesaian atau solusi dari pertidaksamaan. Sedangkan himpunan dari semua penyelesaian atau solusi disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan. Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, adik-adik simak dulu sifat-sifat dari pertidaksamaan berikut. Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan, kita bisa melakukan pengujian setelah nilai-nilai dari pembuat nolnya sudah ditentukan. Tetapi adakalanya kita harus bisa cepat mendapatkan himpunan penyelesaian tanpa menguji. Untuk mendapatkan Himpunan penyelesaian tanpa harus melakukan pengujian, adik-adik pelajari rumus-rumus pertidaksamaan berikut.

Rumus-Rumus Praktis Pertidaksamaan

Pada dasarnya menyelesaikan pertidaksamaan adalah menyederhanakan pertidaksamaan kedalam bentuk yang paling sederhana, yaitu bentuk perkalian faktor-faktor. Jika pertidaksamaan sudah berhasil diubah kedalam bentuk yang lebih sederhana dalam bentuk perkalian faktor-faktor, maka himpunan penyelesaiannya akan mudah ditentukan dengan trik-trik berikut.

Jika a < b < c < d < e . . . .
$(x - a) ≤ 0 → x ≤ a$
$(x - a)(x - b) ≤ 0$ → $a ≤ x ≤ b$
$(x - a)(x - b)(x - c) ≤ 0$ → $x ≤ a\ atau\ b ≤ x ≤ c$
$(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) ≤ 0$ → $a ≤ x ≤ b\ atau\ c ≤ x ≤ d$
dan seterusnya . . . .
Tanda ≤ bisa diganti dengan tanda <. Perhatikan polanya !
$(x - a) ≥ 0 → x ≥ 0$
$(x - a)(x - b) ≥ 0$ → $x ≤ a\ atau\ x ≥ b$
$(x - a)(x - b)(x - c) ≥ 0$ → $a ≤ x ≤ b\ atau\ x ≥ c$
$(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) ≥ 0$ → $x ≤ a\ atau\ b ≤ x ≤ c\ atau\ x ≥ d$
dan seterusnya . . . .
Tanda ≥ bisa diganti dengan tanda >. Perhatikan polanya !

Contoh soal 1.
Tentukan penyelesaian dari $(x - 2)(x - 5) \leq 0\ !$
$(x - 2)(x - 5) \leq 0$
Pembuat nol:
$x = 2\ atau\ x = 5$
Karena $2 < 5$ dan $(x - 2)(x - 5) \leq 0$
maka penyelesaiannya adalah $2 \leq x \leq 5$

Contoh soal 2.
Tentukan penyelesaian dari $(x + 2)(x - 3) < 0\ !$
$(x + 2)(x - 3) < 0$
Pembuat nol:
$x = -2\ atau\ x = 3$
Karena $-2 < 3$ dan $(x + 2)(x - 3) < 0$
maka penyelesaiannya adalah $-2 < x < 3$

Contoh soal 3.
Tentukan penyelesaian dari $(x - 1)(x - 4) \geq 0$
$(x - 1)(x - 4) \geq 0$
Pembuat nol:
$x = 1\ atau\ x = 4$
Karena $1 < 4$ dan $(x - 1)(x - 4) \geq 0$
maka penyelesaiannya adalah $x \leq 1\ atau\ x \geq 4$

Contoh soal 4.
Tentukan penyelesaian dari $(x + 3)(x + 5) > 0\ !$
$(x + 3)(x + 5) > 0$
Pembuat nol:
$x = -5\ atau\ x = -3$
Karena $-5 < -3$ dan $(x + 5)(x + 3) > 0$
maka penyelesaiannya adalah $x < -5\ atau\ x > -3$

Contoh soal 5.
Tentukan penyelesaian $(x + 1)(x + 3)(x - 1) < 0\ !$
$(x + 1)(x + 3)(x - 1) < 0$
Pembuat nol:
$x = -3,\ x = -1,\ x = 1$
Karena $-3 < -1 < 1$ dan $(x + 3)(x + 1)(x - 1) < 0$
maka penyelesaiannya adalah $x < -3\ atau\ -1 < x < 1$

Contoh soal 6.
Tentukan penyelesaian $(x - 3)(x + 1)(x - 2) > 0\ !$
$(x - 3)(x + 1)(x - 2) > 0$
Pembuat nol:
$x = -1,\ x = 2,\ x = 3$
$-1 < 2 < 3$ dan $(x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0$
maka penyelesaiannya adalah
$-1 < x < 2\ atau\ x > 3$
dan seterusnya . . . .

Setelah adik-adik sudah selesai mempelajari rumus-rumus praktis pertidaksamaan di atas, kita akan melanjutkan pembahasan kita, yaitu tentang pertidaksamaan linier.

Bentuk-bentuk Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel linear di ruas kanan atau ruas kiri atau di kedua ruas. Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan variabel x adalah $ax + b < 0$, tanda " < " bisa diganti dengan tanda " ≤, >, ≥ ".

Contoh soal 7.
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan $2x - 3 < 4x - 13.$
$2x - 3 < 4x -12$
$-3 + 13 < 4x - 2x$
$10 < 2x$
Karena $10$ lebih kecil dari $2x$, berarti $2x$ lebih besar dari $10$.
Pertidaksamaan menjadi:
$2x > 10$ → semua dibagi 2.
$x > 5$
Penyelesaian adalah $x > 5$

Contoh soal 8.
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan $3x - 12 ≥ 8x + 3$.
$3x - 8x ≥ 3 + 12$
$-5x ≥ 15$ → ruas kiri dan ruas kanan dikali negatif dan tanda ketidaksamaan harus dibalik.
Note:
Jika pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan real negatif, maka tanda ketidaksamaannya harus dibalik.
Pertidaksamaan menjadi:
$5x ≤ -15$
$x ≤ -3$.
Penyelesaian adalah $x \leq -3$

Supaya lebih paham tentang pertidaksamaan linear, lihat dan pelajari soal dan pembahasan pertidaksamaan linear, kuadrat, bentuk pecahan, dan bentuk akar di bawah.

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel dengan pangkat dua, diruas kiri atau ruas kanan atau di kedua ruas. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dengan variabel $x$ adalah $ax^2 + bx + c < 0$. Tanda " < " bisa diganti dengan tanda " ≤, >, ≥ ".

Contoh soal 9.
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan $3x^2 + 4x - 15 < 2x^2 + 8x + 6$
$3x^2 - 2x^2 + 4x - 8x -15 -6 < 0$
$x^2 - 4x - 21 < 0$
$(x + 3)(x - 7) < 0$
Perhatikan!
Untuk $a < b$, jika $(x - a)(x - b) < 0$,
maka penyelesaiannya adalah $a < x < b$.
Ingat kembali rumus cepat pertidaksamaan di atas.
Pembuat nol:
$x = -3,\ x = 7$
$-3 < 7$ dan $(x + 3)(x - 7) < 0$
sehingga $-3 < x < 7$
Jadi penyelesaiannya adalah $-3 < x < 7$

Dengan garis bilangan:
Pembuat nol:
$x = -3\ atau\ x = 7$
Uji sembarang nilai $x$ ke $(x + 3)(x - 7)$
Misalkan kita uji nilai $x = 0$
$(0 + 3)(0 - 7) = 3.(-7) = -21 < 0 → -$
Tanda $+$ dan tanda $-$ akan berselang seling.


Karena yang diminta adalah $(x + 3)(x - 7) < 0 → -$
maka penyelesaiannya adalah $-3 < x < 7$

Contoh soal 10.
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2 - 3x ≥ 2x - 6$
$x^2 - 3x - 2x + 6 ≥ 0$
$x^2 - 5x + 6 ≥ 0$
$(x - 2)(x - 3) ≥ 0$
Perhatikan!
Untuk $a < b$, jika $(x - a)(x - b) ≥ 0$,
maka penyelesaian adalah $x ≤ a\ atau\ x ≥ b$
Ingat kembali sifat-sifat pertidaksamaan di atas.
$(x - 2)(x - 3) ≥ 0$
$x ≤ 2\ atau\ x ≥ 3$.
Penyelesaiannya adalah $x ≤ 2\ atau\ x ≥ 3$.

Supaya lebih paham tentang pertidaksamaan kuadrat, lihat dan pelajari soal dan pembahasan pertidaksamaan linier, kuadrat, bentuk pecahan, dan bentuk akar di bawah.

Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan bentuk pecahan adalah pertidaksamaan dalam bentuk pecahan, dimana penyebut mengandung variabel. Pertidaksamaan bentuk pecahan bisa berupa konstanta sebagai pembilang, tetapi penyebutnya mengandung variabel. Bisa juga merupakan gabungan dari fungsi linier dengan kuadrat dan lain-lain. Perhatikan sifat-sifat pertidaksamaan bentuk pecahan berikut.

Jika $\dfrac{(x - a)}{(x - b)} < 0 → (x - a)(x - b) < 0$ Hal ini berlaku juga jika tandanya adalah ≤, > dan ≥.

Contoh soal 11.
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{x + 1}{x - 3} < 0$
$\dfrac{x + 1}{x - 3} < 0$
$(x + 1)(x - 3) < 0$
$-1 < x < 3$
Penyelesaian:
$-1 < x < 3$

Contoh soal 12.
Selesaikanlah pertidaksamaan: $\dfrac{x + 2}{x^2 - 5x + 6} > 0$
$\dfrac{x + 2}{x^2 - 5x + 6} > 0$
$\dfrac{x + 2}{(x - 2)(x - 3)} > 0$
$(x + 2)(x - 2)(x - 3) > 0$ → $x ≠ 2$ dan $x ≠ 3$.
Pembuat nol:
$x = -2,\ x = 2,\ x = 3$
$-2 < 2 < 3$ dan $(x + 2)(x - 2)(x - 3) > 0$
Penyelesaian:
$-2 < x < 3$ atau $x > 3$

Dengan garis bilangan:
uji salah satu nilai $x$, misalnya $x = 0$ ke $(x + 2)(x - 2)(x - 3)$
$(0 + 2)(0 - 2)(0 - 3)$ $= 2.(-2).(-3)$ $ = 12 > 0 → +$
Yang diminta adalah $(x + 2)(x - 2)(x - 3) > 0 → +$
Tanda $+$ dan tanda $-$ akan berselang-seling.


Sehingga penyelesaiannya adalah:
$-2 < x < 2$ atau $x > 3$

Supaya lebih paham tentang pertidaksamaan bentuk pecahan, lihat dan pelajari soal dan pembahasan pertidaksamaan linier, kuadrat, bentuk pecahan, dan bentuk akar di bawah.

Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar)

Pertidaksamaan irasional atau bentuk akar adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar. Pelajari sifat-sifat pertidaksamaan bentuk akar berikut:
1. Jika $\sqrt{f(x)} < a$ untuk $a > 0$
  $(i).\ f(x) ≥ 0$
  $(ii).\ f(x) < a^{2}$
  penyelesaiannya adalah irisan $(i)$ dan $(ii)$
  Hal ini berlaku juga jika tandanya $≤,\ >\ dan\ ≥$
2. Jika $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$
  $(i).\ f(x) ≥ 0$
  $(ii).\ g(x) ≥ 0$
  $(iii).\ f(x) < g(x)$
  penyelesaiannya adalah irisan $(i)$, $(ii)$ dan $(iii)$
  Hal ini berlaku juga jika tandanya $≤,\ >\ dan\ ≥$
3. Jika $\sqrt{f(x)} < g(x)$
  $(i).\ f(x) ≥ 0$
  $(ii).\ g(x) > 0$
  $(iii).\ f(x) < g^{2}(x)$
  penyelesaiannya adalah irisan $(i)$, $(ii)$ dan $(iii)$.
  Hal ini berlaku juga jika tandanya $≤.$
4. Jika $\sqrt{f(x)} > g(x)$
  $(i).\ f(x) ≥ 0$
  $(ii).\ g(x) > 0$
  $(iii).\ f(x) > g^{2}(x)$
  $(iv).$ selalu memenuhi syarat untuk $f(x) ≥ 0 \cap g(x) ≤ 0$
  penyelesaiannya adalah irisan $(i)$, $(ii)$ dan $(iii)$ digabung $(iv)$.
  Hal ini berlaku juga jika tandanya $≥.$

Lihat dan pelajari soal-soal dan pembahasan pertidaksamaan bentuk akar yang ada pada soal-soal berikut.

Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar), Pecahan, kuadrat, dan Linear serta Pembahasan

$1.$ Pertidaksamaan $2x - 3 > 5x + 6$ dipenuhi oleh . . . .
  $A.\ x > 1$
  $B.\ x < -3$
  $C.\ x > 3$
  $D.\ x < 3$
  $E.\ x > -3$
$2x - 3 > 5x + 6$
$-9 > 3x$
$3x < -9$
$x < -3$
jawab: B.

$2.$ Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $-3 < 2x - 1 < 5$ adalah . . . .
  $A.\ x < -1 atau x > 3$
  $B.\ -1 < x < 2$
  $C.\ 0 < x < 3$
  $D.\ -1 < x < 3$
  $E.\ 0 < x < 2$
$-3 < 2x - 1 < 5$
$-3 + 1 < 2x - 1 + 1 < 5 + 1$
$-2 < 2x < 6$
$-1 < x < 3$
jawab: D.

$3.$ Pertidaksamaaan $2x - 1 < 3x + 4 < x + 2$ dipenuhi oleh . . . .
  $A.\ x > -5$
  $B.\ x < -1$
  $C.\ x > 5$
  $D.\ x < 1\ atau\ x > 5$
  $E.\ -5 < x < -1$
$2x - 1 < 3x + 4 < x + 2$
$2x - 1 < 3x + 4\ dan\ 3x + 4 < x + 2$

Solusi I:
$2x - 1 < 3x + 4$
$-5 < x$
$x > -5$ . . . . (1)

Solusi II:
$3x + 4 < x + 2$
$2x < -2$
$x < -1$ . . . . (2)

Himpunan penyelesaian adalah irisan dari
solusi I dan solusi II.


$(1)∩(2) → -5 < x < -1$
jawab: E.

$4.$ Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $x^{2} - 2x -4 < x + 6$ adalah . . . .
  $A.\ 2 < x < 5$
  $B.\ -2 < x < 5$
  $C.\ -5 < x < 2$
  $D.\ x < -2\ atau\ x > 5$
  $E.\ x < -5\ atau\ x > 2$
$x^{2} - 2x -4 < x + 6$
$x^{2} - 3x - 10 < 0$
$(x + 2)(x - 5) < 0$
$-2 < x < 5$
jawab: B.

$5.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $12 + x ≥ x^{2} - 3x $
  adalah . . . .
  $A.\ -2 ≤ x ≤ 6$
  $B.\ -6 ≤ x ≤ 2$
  $C.\ x ≤ 6\ atau\ x ≥ 2$
  $D.\ x ≤ -2\ atau\ x ≥ 6$
  $E.\ -6 < x ≤ 0\ atau\ x ≥ 2$
$ 12 + x ≥ x^{2} - 3x$
$0 ≥ x^{2} - 4x - 12$
$x^{2} -4x -12 ≤ 0$
$(x + 2)(x - 6) ≤ 0$
$-2 ≤ x ≤ 6$
jawab: A.

$6.$ Pertidaksamaan $\dfrac{x + 2}{x - 3} > 0$ dipenuhi oleh . . . .
  $A.\ x < -2\ atau\ x > 3$
  $B.\ -2 < x < 3$
  $C.\ -2 < x < 0\ atau\ x > 3$
  $D.\ 2 < x < 3$
  $E.\ -3 < x < 2$
$\dfrac{x + 2}{x - 3} > 0 → x ≠ 3$
$(x + 2)(x - 3) > 0$
$x < -2\ atau\ x > 3$
jawab: A.

$7.$ Pertidaksamaan $\dfrac{2x + 5}{x - 2} ≤ 1$ dipenuhi oleh . . . .
  $A.\ -7 ≤ x ≤ 2$
  $B.\ x < -7\ atau\ x > 2$
  $C.\ -7 ≤ x < 2$
  $D.\ x ≤ 7\ atau\ x > 2$
  $E.\ -2 ≤ x < 7$
$\dfrac{2x + 5}{x - 2} - 1 ≤ 0$
$\dfrac{2x + 5 - (x - 2)}{x - 2} ≤ 0$
$\dfrac{x + 7}{x - 2} ≤ 0$
$(x + 7)(x - 2) ≤ 0 → x ≠ 2$
$-7 ≤ x < 2$
jawab: C.

$8.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x + 2}{x + 1} ≤ \dfrac{x - 1}{x - 2}$
  adalah . . . .
  $A.\ -1 ≤ x ≤ 2$
  $B.\ -1 < x < 2$
  $C.\ x < -1\ atau\ x > 2$
  $D.\ x ≤ -1\ atau\ x ≥ 2$
  $E.\ -2 < x < 1$
$\dfrac{x + 2}{x + 1} ≤ \dfrac{x - 1}{x - 2}$
$\dfrac{x + 2}{x + 1} - \dfrac{x - 1}{x - 2} ≤ 0$
$\dfrac{(x + 2)(x - 2) - (x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)} ≤ 0$
$\dfrac{x^{2} - 4 - (x^{2} - 1)}{(x + 1)(x - 2)} ≤ 0$
$\dfrac{-3}{(x + 1)(x - 2)} ≤ 0$
$\dfrac{3}{(x + 1)(x - 2)} ≥ 0$
$3(x + 1)(x - 2) ≥ 0$
$(x + 1)(x - 2) ≥ 0$ → $x ≠ -1,\ x ≠ 2$
$x < -1\ atau\ x > 2$
jawab: C.

$9.$ Penyelesaian dari $\sqrt{x^{2} -5x + 6} > \sqrt{2}$ adalah . . . .
  $A.\ -2 ≤ x < 1\ atau\ 3 ≤ x < 4$
  $B.\ x < -2\ atau\ x > 3$
  $C.\ x < 1\ atau\ x > 4$
  $D.\ x ≤ 2\ atau\ x > 4$
  $E.\ -2 ≤ x < 4$
Pertidaksamaan bentuk akar:
$\sqrt{f(x)} < a$ untuk a > 0.
$\sqrt{x^{2} -5x + 6} > \sqrt{2}$

Solusi I:
$x^{2} -5x + 6 ≥ 0$
$(x - 2)(x - 3) ≥ 0$
$x ≤ 2\ atau\ x ≥ 3$ . . . . (1)

Solusi II:
$ x^{2} -5x + 6 > 2$
$x^{2} -5x + 4 > 0$
$(x - 1)(x - 4) > 0$
$x < 1\ atau\ x > 4$ . . . . (2)


Penyelesaian adalah irisan dari solusi I
dan solusi II.
$(1)∩(2) → x < 1\ atau\ x > 4$
jawab: C.

$10.$ Penyelesaian dari $\sqrt{x^{2} - 16} < 2\sqrt{5}$ adalah . . . .
  $A.\ x ≤ -4\ atau\ x ≥ 4$
  $B.\ -6 < x < 6$
  $C.\ -4 < x < 4$
  $D.\ -6 < x < 4$
  $E.\ -6 < x ≤ -4\ atau\ 4 ≤ x < 6$
Pertidaksamaan bentuk akar:
$\sqrt{f(x)} < a$ dengan $a > 0$.
$\sqrt{x^{2} - 16} < 2\sqrt{5}$

Solusi I:
$x^{2} - 16 ≥ 0$
$(x + 4)(x - 4) ≥ 0$
$x ≤ -4\ atau\ x ≥ 4$ . . . . (1)

Solusi II:
$x^{2} - 16 < 20$
$x^{2} - 36 < 0$
$(x + 6)(x - 6) < 0$
$-6 < x < 6$ . . . . (2)


Penyelesaian adalah irisan dari solusi I
dan solusi II.
$(1)∩(2) → -6 < x ≤ 4$ $ atau\ 4 ≤ x < 6$

$11.$ Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{3x - 6} ≥ \sqrt{4 - 2x}$
  adalah. . . .
  $A.\ x = 2$
  $B.\ x ≤ 3$
  $C.\ x < 2\ atau\ x ≥ 3$
  $D.\ 2 ≤ x ≤ 3$
  $E.\ 2 < x ≤ 3$
Pertidaksamaan bentuk akar:
$\sqrt{f(x)} ≥ \sqrt{g(x)}$
$\sqrt{3x - 6} ≥ \sqrt{4 - 2x}$
Solusi I:
$3x - 6 ≥ 0$
$3x ≥ 6$
$x ≥ 2$ . . . . (1)

Solusi II:
$4 - 2x ≥ 0$
$4 ≥ 2x$
$2x ≤ 4$
$x ≤ 2$ . . . . (2)

Solusi III:
$3x - 6 ≥ 4 - 2x$
$5x ≥ 10$
$x ≥ 2$ . . . . (3)

Penyelesaian adalah irisan dari solusi I dan
solusi II dan solusi III.
$(1)∩(2)∩(3) → x = 2$
jawab: A.

$12.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{4 - x} > 2 - x$
  adalah . . . .
  $A.\ x < 4$
  $B.\ x > -3$
  $C.\ -3 < x ≤ 4$
  $D.\ -3 < x < 3$
  $E.\ 0 < x ≤ 4\ dan\ x ≠ 2$
Pertidaksamaan bentuk akar:
$\sqrt{f(x)} > g(x).$
$\sqrt{4 - x} > 2 - x$

Solusi I:
$4 - x ≥ 0$
$4 ≥ x$
$x ≤ 4$ . . . . (1)

Solusi II:
$2 - x > 0$
$2 > x$
$x < 2$ . . . . (2)

Solusi III:
$4 - x > (2 - x)^{2} $
$4 - x > 4 - 4x + x^{2}$
$0 > -3x + x^{2}$
$x^{2} - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
$0 < x < 3$ . . . . (3)

Solusi IV:
$2 - x ≤ 0$
$2 ≤ x$
$x ≥ 2$ . . . . (4)


$(1)∩(2)∩(3) → 0 < x < 2$


$(1)∩(4) → 2 ≤ x ≤ 4$
$[(1)∩(2)∩(3)] ∪ [(1)∩(4)] → 0 < x ≤ 4$

$13.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{6 - x}$ < $x$ adalah . . . .
  $A.\ x < -3\ atau\ x > 2$
  $B.\ 0 < x < 6$
  $C.\ 2 < x ≤ 6$
  $D.\ -3 < x < 2$
  $E.\ x < 2 atau x ≥ 6$
Pertidaksamaan bentuk akar:
$\sqrt{f(x)} < g(x)$
$\sqrt{6 - x} < x$

Solusi I:
$6 - x ≥ 0$
$6 ≥ x$
$x ≤ 6$ . . . . (1)

Solusi II:
$x > 0$ . . . . (2)

Solusi III:
$6 - x < x^{2}$
$0 < x^{2} + x - 6$
$x^{2} + x - 6 > 0$
$(x + 3)(x - 2) > 0$
$x < -3\ atau\ x > 2$ . . . . (3)


$(1)∩(2)∩(3) → 2 < x ≤ 6$
jawab: C.

$14.$ Penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{\dfrac{x^{2} - x + 2}{x + 5}} < 1$
  adalah . . . .
  $A.\ -1 < x < 3$
  $B.\ -5 < x < 1\ atau\ x > 3$
  $C.\ -5 < x < 3$
  $D.\ 1 < x < 5$
  $E.\ 3 < x < 5$
$\sqrt{\dfrac{x^{2} - x + 2}{x + 5}} < 1$ → $x ≠ -5$.
$\dfrac{\sqrt{x^2 - x + 2}}{\sqrt{x + 5}} < 1$
$\sqrt{x^{2} - x + 2} < \sqrt{x + 5}$

Solusi I:
$x^{2} - x + 2 ≥ 0$ ← definit positif.
Definit positif artinya, selalu bernilai positif
untuk nilai $x$ sembarang. Jika definit positif,
bisa diabaikan.

Solusi II:
$x + 5 ≥ 0$
$x ≥ 5$ . . . . (1)

Solusi III:
$x^{2} - x + 2 < x + 5$
$x^{2} - 2x - 3 < 0$
$(x + 1)(x - 3) < 0$
$-1 < x < 3$ . . . . (2)

$(1)∩(2) → -1 < x < 3$
jawab: A.

$15.$ Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{2x - 1}{x} < 1$
  adalah . . . .
  $A.\ -1 < x < 0$
  $B.\ 0 < x < 1$
  $C.\ 1 < x < 3$
  $D.\ -3 < x < 1$
  $E.\ -3 < x < 0$
$\dfrac{2x - 1}{x} < 1 → x ≠ 0$
$\dfrac{2x - 1}{x} - 1 < 0$
$\dfrac{2x - 1}{x} - \dfrac{x}{x} < 0$
$\dfrac{2x - 1 - x}{x} < 0$
$\dfrac{x - 1}{x} < 0$
$x(x - 1) < 0$
$0 < x < 1$
jawab: B.

Soal Latihan Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar) dan Pecahan

$1.$ Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3x - 2}{x} ≤ x$
  adalah . . . .
  $A.\ x < 0\ atau\ 1 ≤ x ≤ 2$
  $B.\ 0 < x ≤ 1\ atau\ x ≥ 2$
  $C.\ x ≤ -2\ atau\ -1 ≤ x ≤ 0$
  $D.\ -2 ≤ x ≤ -1\ atau\ x > 0$
  $E.\ x ≤ 0\ atau\ 2 ≤ x ≤ 3$
[Soal SPMB]
$2.$ Penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{2x^{2} - x - 3}{x^{2} - x -6} < 0$
  adalah . . . .
  $A.\ x < 1\ atau\ x > 1\dfrac{1}{2}$
  $B.\ -1 < x < 1\dfrac{1}{2}\ atau\ -2 < x < -1\dfrac{1}{2}$
  $C.\ -1\dfrac{1}{2} < x < -1\ atau\ 2 < x < 3$
  $D.\ -2 < x < -1\ atau\ 1\dfrac{1}{2} < x < 3$
  $E.\ -3 < x < -\dfrac{1}{2}\ atau\ 2 < x < 2\dfrac{1}{2}$
[Soal SPMB]
$3.$ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{(x - 1)(2x + 4)}{(x^{2} + 4)} < 1$
  adalah . . . .
  $A.\ \{x| x > 2\}$
  $B.\ \{x| x > -4\}$
  $C.\ \{x| x < 2\}$
  $D.\ \{x| x > -4\}$
  $E.\ \{x| -4 < x < 2\}$
[Soal UMPTN]
$4.$ Nilai-nilai interval berikut yang memenuhi pertidaksamaan
  $\dfrac{4 - x^{2}}{x^{2} + 2} ≤ 0$ adalah . . . .
  $A.\ x ≤ -2\ atau\ x ≥ 2$
  $B.\ -2 < x < 2$
  $C.\ 0 < x < 4$
  $D.\ x ≤ 2$
  $E.\ x ≥ 2$
[Soal UMPTN]
$5.$ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
  $\dfrac{2x - 6}{x^{2} - 6x + 5} < 0$ adalah . . . .
  $A.\ (1, 5)$
  $B.\ (5,∞)$
  $C.\ (-∞, 1)$
  $D.\ (-∞, 1) ∪ (3, 5)$
  $E.\ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)$
[Soal UMPTN]
$6.$ Pertidaksamaan $2x - a > \dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{ax}{3}$
  mempunyai penyelesaian $x > 5$.
  Nilai $a$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ 2$
  $B.\ 3$
  $C.\ 4$
  $D.\ 5$
  $E.\ 6$
[Soal UMPTN]
$7.\ \dfrac{3}{x^{2} - 3x + 2} < \dfrac{5}{x^{2} - 4x + 3}$
  berlaku untuk . . . .
  $A.\ x > \dfrac{1}{2}$
  $B.\ x > 2$
  $C.\ x > 3$
  $D.\ \dfrac{1}{2} < x < 3$
  $E.\ 2 < x < 3$
[Soal UMPTN]
$8.$ Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}} $
  adalah . . . .
  $A.\ -\sqrt{10} ≤ x le; \sqrt{10}$
  $B.\ x < -3\ atau\ x > 1$
  $C.\ 2 ≤ x ≤ \sqrt{10} $
  $D.\ 1 < x < \sqrt{10}$
  $E.\ -3 < x ≤ \sqrt{10}$
[Soal UMPTN]
$9.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan:
  $\sqrt{x - 3} > 5 - x$ adalah . . . .
  $A.\ 4 < x < 7$
  $B.\ 3 < x < 7$
  $C.\ x > 4$
  $D.\ x ≥ 4$
  $E.\ 3 ≤ x ≤ 5$
[Soal SPMB]
$10.$ Jika $\{x ∈ R| a < x < b\}$ adalah himpunan
  penyelesaian dari pertidaksamaan:
  $( x - 1)^{2} + \sqrt{(x - 1)^{2}} < 6 $ maka
  nilai $a + b$ adalah . . . .
  $A.\ 4$
  $B.\ 2$
  $C.\ 1$
  $D.\ -2$
  $E.\ -4$
[Soal UM - UGM]

Demikianlah ulasan singkat tentang pertidaksamaan bentuk linear, kuadrat, pecahan, dan bentuk akar. Semoga bermanfaat.

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.