MARETONG: Panjang Busur dan Luas Juring

Saturday, December 28, 2019

Panjang Busur dan Luas Juring


Pengertian Busur dan Juring Lingkaran

Rumus dan cara menghitung panjang busur dan luas juring lingkaran serta contoh soal dan pembahasan. Busur lingkaran adalah segmen garis yang terletak pada keliling lingkaran yang merupakan bagian dari lingkaran. Segmen garis tersebut dibatasi oleh dua titik. Panjang busur lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut yang dibentuk oleh titik pusat lingkaran dan kedua titik yang membatasi segmen garis tersebut. Juring lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan busur lingkaran. Seperti panjang busur, luas juring lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut yang dibentuk oleh kedua jari-jari (sudut pusat). Perhatikan gambar di bawah!

panjang-busur-dan-luas-juring-lingkaran

Segmen garis AB, MN, dan KL adalah busur lingkaran, sedangkan daerah yang dibatasi oleh OAB, OMN, dan OKL adalah juring lingkaran. Hubungan antara besar sudut pusat, panjang busur, dan luas juring lingkaran dirumuskan sebagai berikut:

Rumus Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran


Perhatikan gambar lingkaran di atas!
$1.\ \dfrac{\alpha}{360^o} = \dfrac{\widehat{AB}}{2\pi r}$
$2.\ \dfrac{\alpha}{360^o} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\pi r^2}$
$3.\ 2 \times (Luas\ Juring\ OAB) = r \times \widehat{AB}$

$4.\ \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\widehat{MN}}{\widehat{KL}}$
$5.\ \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{Luas\ Juring\ OMN}{Luas\ Juring\ OKL}$
$6.\ \dfrac{Luas\ Juring\ OMN}{Luas\ Juring\ OKL} = \dfrac{\widehat{MN}}{\widehat{KL}}$

Pelajari contoh soal dan pembahasan tentang panjang busur dan luas juring lingkaran berikut!

Contoh Soal dan Pembahasan Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran

Soal nomor 1:
Perhatikan gambar di bawah!

luas-juring-lingkaran

Titik O adalah pusat lingkaran. Luas juring OAB adalah . . . .
$A.\ 225\ cm^2$
$B.\ 231\ cm^2$
$C.\ 308\ cm^2$
$D.\ 352\ cm^2$
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\alpha}{360^o} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\pi r^2}$
$\begin{align}
Luas\ Juring\ OAB &= \dfrac{\alpha}{360^o}.\pi.r.r\\
&= \dfrac{\cancelto3{135^o}}{\cancelto8{360^o}}.\dfrac{22}{\cancel7}.\cancelto2{14}.14\\
&= \dfrac{3}{8}.22.2.14\\
&= \dfrac{3}{\cancel8}.11.\cancel{2.2.2}.7\\
&= 3.11.7\\
&= 231\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: B.

Soal nomor 2:
Perhatikan gambar pada soal nomor 1 ! Panjang busur kecil AB adalah . . . .
A. 11 cm
B. 22 cm
C. 33 cm
D. 44 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\alpha}{360^o} = \dfrac{\widehat{AB}}{2\pi r}$
$\begin{align}
\widehat{AB} &= \dfrac{\alpha}{360^o}.2\pi r\\
&= \dfrac{\cancelto3{135^o}}{\cancelto8{360^o}}.2.\dfrac{22}{\cancel7}.\cancelto2{14}\\
&= \dfrac{3}{8}.2.22.2\\
&= \dfrac{3}{\cancel8}.\cancel{2.2.2}.11\\
&= 3.11\\
&= 33\ cm\\
\end{align}$
jawab: C.

Soal nomor 3:
Perhatikan gambar di bawah!

panjang-busur-lingkaran

Titik O adalah titik pusat lingkaran. Jika luas juring OAB $= 24\ cm^2$, maka luas juring OCD adalah . . . .
$A.\ 56\ cm^2$
$B.\ 48\ cm^2$
$C.\ 42\ cm^2$
$D.\ 36\ cm^2$
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\angle AOB}{\angle COD} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{Luas\ Juring\ OCD}$
$\dfrac{\cancelto4{60^o}}{\cancelto7{105^o}} = \dfrac{24}{Luas\ Juring\ OCD}$
$\dfrac{4}{7} = \dfrac{24}{Luas\ Juring\ OCD}$
$4 .(Luas\ Juring\ OCD) = 7 . 24$
$\begin{align}
Luas\ Juring\ OCD &= \dfrac{7.\cancelto6{24}}{\cancel4}\\
&= 7.6\\
&= 42\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: C.

Soal nomor 4:
Perhatikan gambar pada soal nomor 3! Jika panjang busur CD = 21 cm, maka panjang busur AB adalah . . . .
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 12 cm
D. 14 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\angle AOB}{COD} = \dfrac{\widehat{AB}}{\widehat{CD}}$
$\dfrac{\cancelto4{60^o}}{\cancelto7{105^o}} = \dfrac{\widehat{AB}}{21}$
$\dfrac47 = \dfrac{\widehat{AB}}{21}$
$\dfrac{4}{\cancel7}.\cancelto3{21} = \widehat{AB}$
$4.3 = \widehat{AB}$
$12 = \widehat{AB}$
jawab: C.

Soal nomor 5:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-panjang-busur-lingkaran

Diketahui luas juring OAB $= 16\ cm^2$, luas juring OCD $= 48\ cm^2$, dan panjang busur CD $= 12\ cm$. Panjang busur AB adalah . . . .
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\widehat{AB}}{\widehat{CD}} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{Luas\ Juring\ OCD}$
$\dfrac{\widehat{AB}}{12} = \dfrac{\cancel{16}}{\cancelto3{48}}$
$\dfrac{\widehat{AB}}{12} =\dfrac13$
$\widehat{AB} = \cancelto4{12}.\dfrac{1}{\cancel3}$
$\widehat{AB} = 4\ cm$
jawab: B.

Soal Nomor 6:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-luas-juring-lingkaran

Diketahui Luas juring OPQ $= 36\ cm^2$, panjang busur PQ = 16 cm, dan panjang busur RS = 12 cm. Luas juring OSR adalah . . . .
$A.\ 12\ cm^2$
$B.\ 18\ cm^2$
$C.\ 27\ cm^2$
$D.\ 32\ cm^2$
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\widehat{PQ}}{\widehat{RS}} = \dfrac{Luas\ Juring\ OPQ}{Luas\ Juring\ ORS}$
$\dfrac{\cancelto4{16}}{\cancelto3{12}} = \dfrac{36}{Luas\ Juring\ ORS}$
$\dfrac43 = \dfrac{36}{Luas\ Juring\ ORS}$
$4.(Luas\ Juring\ ORS) = 3.36$
$\begin{align}
Luas\ Juring\ ORS &= \dfrac{3.\cancelto{9}{36}}{\cancel4}\\
&= 3.9\\
&= 27\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: C.

Soal nomor 7:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-panjang-busur-dan-luas-juring-lingkaran

Diketahui luas juring OAB $= 16\ cm^2$ dan panjang busur AB = 3,2 cm. Panjang OA adalah . . . .
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 11 cm
D. 12 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\dfrac{\angle AOB}{360^o} = \dfrac{\widehat{AB}}{2\pi r}$ . . . . (*)

$\dfrac{\angle AOB}{360^o} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\pi r^2}$ . . . . (**)

Dari parsamaan (*) dan (**):
$\dfrac{\widehat{AB}}{2\pi r} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\pi r^2}$
$\dfrac{\cancel{\pi.r}.r}{2\cancel{\pi r}} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\widehat{AB}}$
$\dfrac{r}{2} = \dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\widehat{AB}}$
$\begin{align}
r &= 2.\dfrac{Luas\ Juring\ OAB}{\widehat{AB}}\\
&= 2.\dfrac{16}{3,2}\\
&= \dfrac{32}{3,2}\\
&= 10\ cm\\
\\
OA &= r\\
&= 10\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Cara cepat:
$2.(Luas\ Juring\ OAB) = r.\widehat{AB}$
$2.16 = r.3,2$
$32 = r.3,2$
$r = 10\ cm$
$OA = r = 10\ cm$

Soal nomor 8:
Diketahui sebuah juring lingkaran memiliki luas $20\ cm^2$. Jika jari-jari lingkaran tersebut 4 cm, maka panjang busur dari juring lingkaran tersebut adalah . . . .
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$2 \times (Luas\ Juring) = r \times (Panjang\ Busur)$
$2 \times 20 = 4 \times (Panjang\ Busur)$
$\begin{align}
Panjang\ Busur &= \dfrac{2 \times \cancelto5{20}}{\cancel4}\\
&= 2.5\\
&= 10\ cm\\
\end{align}$
jawab: D.

Soal nomor 9:
Perhatikan gambar di bawah!

soal-panjang-busur-dan-luas-juring-lingkaran

Diketahui AC merupakan diameter lingkaran, panjang busur AB = 12 cm dan besar sudut AOB $= 72^o$, maka panjang busur BC adalah . . . .
A. 15 cm
B. 18 cm
C. 21 cm
D. 24 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\angle AOB + \angle BOC = 180^o$ → sudut berpelurus.
$72^o + \angle BOC = 180^o$
$\angle BOC = 180^o - 72^o$
$\angle BOC = 108^o$

$\dfrac{\angle AOB}{\angle BOC} = \dfrac{\widehat{AB}}{\widehat{BC}}$
$\dfrac{\cancelto2{72^o}}{\cancelto3{108^o}} = \dfrac{12}{\widehat{BC}}$
$\dfrac23 = \dfrac{12}{\widehat{BC}}$
$2.\widehat{BC} = 3.12$
$\widehat{BC} = \dfrac{3.\cancelto6{12}}{\cancel2}$
$\widehat{BC} = 18\ cm$
jawab: B.

Soal nomor 10:
Perhatikan gambar di bawah!

cara-menghitung-luas-tembereng-lingkaran

Jika panjang OA = 20 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah . . . . $(\pi = 3,14)$
$A.\ 114\ cm^2$
$B.\ 57\ cm^2$
$C.\ 48\ cm^2$
$D.\ 35\ cm^2$
[Cara Menghitung Luas tembereng lingkaran]

Pembahasan:
$\begin{align}
Luas\ Juring\ OAB &= \dfrac{\angle AOB}{360^o}.\pi r^2\\
&= \dfrac{\cancel{90^o}}{\cancelto4{360^o}}.3,14.20^2\\
&= \dfrac{1}{\cancel4}.3,14.\cancelto{100}{400}\\
&= 3,14.100\\
&= 314\ cm^2\\
\end{align}$

$\begin{align}
Luas\ Segitiga\ AOB &= \dfrac12.OA.OB\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto{10}{20}.20\\
&= 10.20\\
&= 200\ cm^2\\
\end{align}$

$\begin{align}
LA &= Luas\ Juring\ OAB - Luas Segitiga\ AOB\\
&= 314 - 200\\
&= 114\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: A.

Demikianlah rumus, contoh soal dan pembahasan tentang panjang busur dan luas juring lingkaran. Semoga membawa manfaat buat adik-adik.

SHARE THIS POST


www.maretong.com





No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.