MARETONG

Sunday, February 09, 2020

Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika IPA


Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA Tahun 2019. Ujian tulis masuk UGM yang sering disingkat Utul UGM atau UM UGM merupakan salah satu harapan untuk bisa melanjutkan study di salah satu universitas terbaik Indonesia. Setelah mengalami kegagalan dalam beberapa test masuk Perguruan Tinggi Negri, masih ada kesempatan buat adik-adik untuk menjajal Soal UM UGM tentunya. Untuk itu, tetap semangat dan pelajari Soal-soal dan Pembahasannya.

Soal nomor 1:
Sebuah kotak memuat 6 bola merah dan 4 bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyak kemungkinannya adalah . . . .
A. 234
B. 243
C. 324
D. 342
E. 432
Formasi:
MMM → 6.5.4 = 120 cara
MPM → 6.4.5 = 120 cara
PMM → 4.6.5 = 120 cara
PPM → 4.3.6 = 72 cara
Total = 432 cara
jawab: E.

Soal nomor 2:
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x + 3} + 3^x - 36}{9^x - 9} \leq 3$ adalah $a \leq x < b$ atau $x \geq c$. Nilai $a + 2b + c = \cdots$
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
$\dfrac{3^{x + 3} + 3^x - 36}{9^x - 9} \leq 3$
$\dfrac{3^3.3^x + 3^x - 36}{3^{2x} - 9} - 3 \leq 0$
$\dfrac{27.3^x + 3^x - 36 - 3(3^{2x} - 9)}{3^{2x} - 9}\leq 0$
$\dfrac{27.3^x + 3^x - 36 - 3.3^{2x} + 27}{3^{2x} - 9}\leq 0$
$\dfrac{-3.3^{2x} + 28.3^x - 9}{3^{2x} - 9}\leq 0$
$\dfrac{3.3^{2x} - 28.3^x + 9}{3^{2x} - 9}\geq 0$

Misalkan $3^x = p$
$\dfrac{3p^2 - 28p + 9}{p^2 - 9} \geq 0$
$\dfrac{(3p - 1)(p - 9)}{(p + 3)(p - 3)} \geq 0$ → $p \ne 3$
$(p + 3)(3p - 1)(p - 3)(p - 9) \geq 0$
$p \leq -3$ atau $\dfrac13 \leq p < 3$ atau $p \geq 9$
$3^x \leq -3$ → tidak memenuhi

$\dfrac13 \leq 3^x < 3$
$3^{-1} \leq 3^x < 3^1$
$-1 \leq x < 1$

$3^x \geq 9$
$3^x \geq 3^2$
$x \geq 2$
$a = -1,\ b = 1,\ c = 2$
$a + 2b + c = -1 + 2.1 + 2 = 3$
jawab: D.

Soal nomor 3:
Jika $a < x < b$ adalah solusi pertidaksamaan $1 + 2^x + 2^{2x} + 2^{3x} + \cdots > 2$, dengan $x \ne 1$, maka $a + b = \cdots$
$A.\ -1$
$B.\ -2$
$C.\ -3$
$D.\ -4$
$E.\ -5$
Deret geometri tak hingga:
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$a = 1,\ r = 2^x$

$S_{\infty} > 2$
$\dfrac{1}{1 - 2^x} > 2$
$\dfrac{1}{1 - 2^x} - 2 > 0$
$\dfrac{1 - 2(1 - 2^x)}{1 - 2^x} > 0$
$\dfrac{2.2^x - 1}{1 - 2^x} > 0$
$\dfrac{2.2^x - 1)}{2^x - 1} < 0$

Misalkan $p = 2^x$
$\dfrac{2p - 1}{p - 1} < 0$
$(2p - 1)(p - 1) < 0$
$\dfrac12 < p < 1$
$\dfrac12 < 2^x < 1$
$2^{-1} < 2^x < 2^0$
$-1 < x < 0$
$a = -1,\ b = 0$
$a + b = -1 + 0 = -1$
jawab: A.

Soal nomor 4:
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $(a,\ b)$ dan memotong sumbu X di titik $(3,\ 0)$ dan $(9,\ 0)$. Jika garis yang melalui titik $(0,\ 3)$ menyinggung lingkaran di titik $(3,\ 0)$ maka nilai dari $a^2 - b^2$ adalah . . . .
A. 9
B. 18
C. 27
D. 36
E. 45
Lihat Gambar !

$a = \dfrac{9 + 3}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$.
Jarak antara titik $(6,\ b)$ dengan garis $x + y - 3 = 0$ sama dengan jarak antara titik $(6,\ b)$ dengan titik $(9,\ 0)$.
$\begin{vmatrix}\dfrac{6 + b - 3}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \end{vmatrix} = \sqrt{(6 - 9)^2 + (b - 0)^2}$
$\begin{vmatrix}\dfrac{b + 3}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} = \sqrt{9 + b^2}$
$(b + 3)^2 = 2(9 + b^2)$
$b^2 + 6b + 9 = 18 + 2b^2$
$b^2 - 6b + 9 = 0$
$(b - 3)^2 = 0$
$b - 3 = 0$
$b = 3$

$a^2 - b^2 = 6^2 - 3^2 = 27$
jawab: C.

Soal nomor 5:
Jika $(x - 2)^2$ membagi habis $x^4 - ax^3 + bx^2 + 4x - 4$, maka $ab = \cdots$
A. 9
B. 12
C. 16
D. 20
E. 25
$x^4 - ax^3 + bx^2 + 4x - 4$
$= (x - 2)^2(x^2 + px - 1)$
$= (x^2 - 4x + 4)(x^2 + px - 1)$
$= x^4 + (p - 4)x^3 + (3 - 4p)x^2 + (4 + 4p)x - 4$

Kesamaan:
$4 + 4p = 4 → p = 0$

$-a = p - 4$
$- a = 0 - 4 → a = 4$

$3 - 4p = b$
$3 - 4.0 = b → b = 3$

$ab = 4.3 = 12$
jawab: B.

Soal nomor 6:
Diberikan empat matriks $A,\ B,\ C,\ D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^T = CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det(D^T - B) = m$ dan $det(C) = n$, maka $det(2A^{-1}) = \cdots$
$A.\ \dfrac{4}{mn}$
$B.\ \dfrac{mn}{4}$
$C.\ \dfrac{4m}{n}$
$D.\ 4mn$
$E.\ \dfrac{m + n}{4}$
$det(B) = det(B^T)$
$det(D^T) = det(D)$
$det(D - B^T) = det(D^T - B)$

$A + CB^T = CD$
$A = CD - CB^T$
$A = C(D - B^T)$
$det(A) = det(C(D - B^T))$
$det(A) = det(C).det(D - B^T)$
$det(A) = det(C).det(D^T - B)$
$det(A) = n.m = mn$

$\begin{align}
det(2A^{-1}) &= 2^2.\dfrac{1}{det(A)}\\
&= 4.\dfrac{1}{mn}\\
&= \dfrac{4}{mn}\\
\end{align}$
jawab: A.

Soal nomor 7:
Jika $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5cos^2\ x + 3sin\ xcos\ x \geq 1$, maka himpunan semua $y = tan\ x$ adalah . . . .
$A.\ \{y \in R: -1 \leq y \leq 4\}$
$B.\ \{y \in R: -4 \leq y \leq 1\}$
$C.\ \{y \in R: -4 \leq y \leq -1\}$
$D.\ \{y \in R: 1 \leq y \leq 4\}$
$E.\ R$
$5cos^2\ x + 3sin\ xcos\ x \geq 1$
$5cos^2\ x + 3sin\ xcos\ x - 1 \geq 0$ → bagi dengan $cos^2\ x$
$5 + 3tan\ x - sec^2\ x \geq 0$
$5 + 3tan\ x - (tan^2\ x + 1) \geq 0$
$-tan^2\ x + 3tan\ x + 4 \geq 0$
$tan^2\ x - 3tan\ x - 4 \leq 0$
$(tan\ x + 1)(tan\ x - 4) \leq 0$
$-1 \leq tan\ x \leq 4$
$-1 \leq y \leq 4$
jawab: A.

Soal nomor 8:
Jika suku banyak $x^4 + 3x^3 + Ax^2 + 5x + B$ dibagi $x^2 + 2x + 2$ bersisa $7x + 14$, maka jika dibagi $x^2 + 4x + 4$ akan bersisa . . . .
$A.\ x + 1$
$B.\ x + 2$
$C.\ x + 3$
$D.\ 2x + 1$
$E.\ 2x + 4$
Lakukan pembagian langsung !
$sisa = 7x + 14$
$sisa = (11 - 2A)x + B + 8 - 2A$
Kesamaan:
$11 - 2A = 7$
$4 = 2A → A = 2$

$B + 8 - 2A = 14$
$B + 8 - 2.2 = 14$
$B = 10$

Suku baanyak menjadi:
$x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 5x + 10$
Bagi dengan $x^2 + 4x + 4$ dengan pembagian langsung !
jawab: A.

Soal nomor 9:
Jika $(^2log\ x)^2 - (^2log\ y)^2 =\ ^2log\ 256$ dan $^2log\ x^2 -\ ^2log\ y^2 =\ ^2log\ 16$, maka nilai dari $^2log\ x^6y^{-2}$ adalah . . . .
A. 24
B. 20
C. 16
D. 8
E. 4
Misalkan:
$^2log\ x = p$
$^2log\ y = q$

$(^2log\ x)^2 - (^2log\ y)^2 =\ ^2log\ 256$
$p^2 - q^2 =\ ^2log\ 256$
$p^2 - q^2 =\ ^2log\ 2^8$
$p^2 - q^2 = 8$
$(p + q)(p - q) = 8$ . . . . (1)

$^2log\ x^2 -\ ^2log\ y^2 =\ ^2log\ 16$
$2.^2log\ x - 2.^2log\ y =\ ^2log\ 2^4$
$2.^2log\ x - 2.^2log\ y = 4$

$2p - 2q = 4$
$p - q = 2$ . . . . (2)

dari (1) dan (2):
$(p + q).2 = 8$
$p + q = 4$ . . . . (3)

Eliminasi persamaan (2) dan (3) !
$p - q = 2$
$p + q = 4$
---------------- +
$2p = 6$
$p = 3$
$q = 1$

$\begin{align}
^2log\ x^6y^{-2} &=\ ^2log\ x^6 +\ ^2log\ y^{-2}\\
&= 6.^2log\ x -\ 2.^2log\ y\\
&= 6p - 2q\\
&= 6.3 - 2.1\\
&= 16\\
\end{align}$
jawab: C.

Soal nomor 10:
Diberikan kubus ABCD.EFGH dan P adalah titik tengah BC. Perbandingan luas segitiga APG dan luas segitiga DPG adalah . . . .
$A.\ 1 : 1$
$B.\ \sqrt{3} : \sqrt{2}$
$C.\ \sqrt{2} : 1$
$D.\ 3 : 2$
$E.\ \sqrt{3} : 1$
Misalkan panjang sisi kubus adalah $a$.
$\begin{align}
GP^2 &= CG^2 + CP^2\\
&= a^2 + \left(\dfrac12a\right)^2\\
&= a^2 + \dfrac14a^2\\
&= \dfrac54a^2\\
GP &= \dfrac12a\sqrt{5}\\
AG &= a\sqrt{3} → diagonal\ ruang\\
DG &= a\sqrt{2} → diagonal\ sisi\\
\end{align}$

$Luas\ \Delta APG = \dfrac12.a\sqrt{3}.\dfrac12a\sqrt{2} = \dfrac14a^2\sqrt{6}$
$Luas\ \Delta DPG = \dfrac12.a\sqrt{2}.\dfrac12a\sqrt{3} = \dfrac14a^2\sqrt{6}$
$Luas\ \Delta APD : Luas\ \Delta DPG = 1 : 1$
jawab: A.

Soal nomor 11:
Misalkan $U_n$ menyatakan suku $ke-n$ dari barisan aritmetika. Diketahui $U_1 \times U_2 = 10$ dan $U_1 \times U_3 = 16$. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakan bilangan positif, maka $U_{10} = \cdots$
A. 21
B. 23
C. 25
D. 27
E. 29
$U_n = a + (n - 1)b$

$U_1 \times U_2 = 10$
$a(a + b) = 10$ . . . . (1)

$U_1 \times U_3 = 16$
$a(a + 2b) = 16$ . . . . (2)

$\dfrac{a(a + b)}{a(a + 2b)} = \dfrac{10}{16}$
$\dfrac{(a + b)}{(a + 2b)} = \dfrac{5}{8}$
$8(a + b) = 5(a + 2b)$
$8a + 8b = 5a + 10b$
$3a = 2b$ . . . . (3)

dari pers (2) dan (3)
$a(a + 3a) = 16$
$4a^2 = 16$
$a^2 = 4$
$a = 2$ → suku-suku positif
$b = 3$

$U_{10} = a + 9b$
$= 2 + 9.3$
$= 29$
jawab: E.

Soal nomor 12:
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x) = (2x + 1)^5$ dan $h = f\ o\ g$. Jika $g(5) = -1$ dan $g'\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) = 2x + 2$, maka $h'(x) = \cdots$
A. 10
B. 25
C. 50
D. 60
E. 120
$g'\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) = 2x + 2$
Jika $\dfrac{x + 1}{x - 1} = 5$, maka:
$x + 1 = 5(x - 1)$
$x + 1 = 5x - 5$
$6 = 4x$
$x = \dfrac32$
Dengan demikian:
$g'(5) = 2.\dfrac32 + 2 = 5$

$h = f\ o\ g$
$h(x) = (2g(x) + 1)^5$
$h'(x) = 5.(2g(x) + 1)^4.2g'(x)$
$h'(5) = 5.(2g(5) + 1)^4.2g'(5)$
$= 5.(2.(-1) + 1)^4.2.5$
$= 5.1.2.5$
$= 50$
jawab: C.

Soal nomor 13:
Jika $p > 0$ dan $\displaystyle \lim_{x \to p} \dfrac{x^3 + px^2 + qx}{x - p} = 12$, maka nilai $p - q$ adalah . . . .
A. 14
B. 10
C. 8
D. 5
E. 3
Limit adalah limit tak tentu $\dfrac 00$
Dengan demikian:
$p^3 + p.p^2 + qp = 0$
$2p^3 + qp = 0$
$p(2p^2 + q) = 0$
$p = 0\ atau\ q = -2p^2$ → $p > 0$

$\displaystyle \lim_{x \to p} \dfrac{x^3 + px^2 + qx}{x - p} = 12$
Gunakan L'Hospital !
$\displaystyle \lim_{x \to p} \dfrac{3x^2 + 2px + q}{1} = 12$
$3p^2 + 2p.p - 2p^2 = 12$
$3p^2 = 12$
$p^2 = 4$
$p = 2$
$q = -2p^2 = -2.2^2 = -8$

$p - q = 2 - (-8) = 2 + 8 = 10$
jawab: B.

Soal nomor 14:
Jika $sin\ x + sin\ 2x + sin\ 3x = 0$ untuk $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, maka $tan\ 2x = \cdots$
$A.\ -\sqrt{2}$
$B.\ -1$
$C.\ -\dfrac13\sqrt{3}$
$D.\ \dfrac13\sqrt{3}$
$E.\ \sqrt{3}$
$sin\ A + sin\ B = 2sin\dfrac12(A + B)cos\dfrac12(A - B)$
$cos\ (-A) = cos\ A$
$tan\ (180^o + A) = tan\ A$

$sin\ x + sin\ 2x + sin\ 3x = 0$
$sin\ x + sin\ 3x + sin\ 2x = 0$
$2sin\dfrac12(x + 3x)cos\dfrac12(x - 3x) + sin\ 2x = 0$
$2sin\ 2xcos(-x) + sin\ 2x = 0$
$2sin\ 2xcos\ x + sin\ 2x = 0$
$sin\ 2x(2cos\ x + 1) = 0$
$sin\ 2x = 0\ atau\ cos\ x = -\dfrac12$

$sin\ 2x = 0$
$x = \dfrac{\pi}{2},\ \pi$ → tidak memenuhi syarat

$cos\ x = -\dfrac12$
$x = \dfrac{2\pi}{3} = 120^o$
$tan\ 2x = tan\ (2.120^o)$
$= tan\ 240^o$
$= tan\ (180 + 60)^o$
$= tan\ 60^o$
$= \sqrt{3}$
jawab: E.

Soal nomor 15:
Diketahui $x^2 + 2xy + 4x = -3$ dan $9y^2 + 4xy + 12y = -1$. Nilai dari $x + 3y$ adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 1$
$C.\ 0$
$D.\ -1$
$E.\ -2$
$x^2 + 2xy + 4x = -3$
$9y^2 + 4xy + 12y = -1$
----------------------------------- +
$x^2 + 9y^2 + 6xy + 4x + 12y = -4$
$(x + 3y)^2 - 6xy + 6xy + 4(x + 3y) + 4 = 0$
$(x + 3y)^2 + 4(x + 3y) + 4 = 0$
Misalkan $x + 3y = p$
$p^2 + 4p + 4 = 0$
$(p + 2)^2 = 0$
$p + 2 = 0$
$p = -2$
$x + 3y = -2$
jawab: E.

Demikianlah pembahasan soal UM UGM 2019 Matematika IPA, semoga bermanfaat dan bisa membantu. Selamat belajar !
Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

www.maretong.com



Saturday, January 25, 2020

Garis Singgung Persekutuan SMA kelas 11

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran SMA kelas 11. Dua buah lingkaran memiliki garis singgung persekutuan jika kedua lingkaran tersebut saling berjauhan, bersinggungan, atau berpotongan. Banyak garis singgung persekutuan dua buah lingkaran bergantung kepada posisi kedua lingkaran. Perhatikan gambar di bawah!


# Jika dua buah lingkaran saling berjauhan maka kedua lingkaran tersebut memiliki empat buah garis singgung persekutuan.
# Jika dua buah lingkaran saling bersinggungan maka kedua lingkaran memiliki tiga buah garis singgung persekutuan.
# Jika dua buah lingkaran saling berpotongan maka kedua lingkaran memiliki dua garis singgung persekutuan.
Garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik singgung, dengan demikian jarak antara pusat lingkaran dengan garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran. Konsep inilah yang kita gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran. Perhatikan contoh soal dan penyelesaian yang berikut.

Contoh soal nomor 1:
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dari lingkaran A: $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 + 6x - 12y + 29 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$\begin{align}
Pusat &= A(3, -2)\\
\\
R_A^2 &= \dfrac14.(-6)^2 + \dfrac14.4^2 - 4\\
&= 9 + 4 - 4\\
&= 9\\
R_A &= 3\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$\begin{align}
Pusat &= (-3, 6)\\
\\
R_B^2 &= \dfrac14.(6)^2 + \dfrac14.(-12)^2 - 29\\
&= 9 + 36 - 29\\
&= 16\\
R_B &= 4\\
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB^2 &= (-3 - 3)^2 + (6 - (-2))^2\\
&= (-6)^2 + 8^2\\
&= 100\\
AB &= 10\\
\end{align}$

$AB > R_A + R_B$ → Lingkaran A dan lingkaran B saling berjauhan, sehingga lingkaran A dan lingkaran B memliki 4 garis singgung persekutuan. Perhatikan gambar dibawah!


Misalkan persamaan garis singgung persekutuannya adalah $mx + y + c = 0$. Jarak titik pusat lingkaran A dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran A dan jarak titik pusat lingkaran B dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran B. Ingat rumus jarak antara titik dengan garis!

$R_A = \left|\dfrac{3m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$3 = \left|\dfrac{3m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{3m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 3$
$3m - 2 + c = \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (1)

$R_B = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 4$
$-3m + 6 + c = \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 3m - 6 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):
$2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1} = 3m - 6 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$8 - 6m = \pm 3\sqrt{m^2 + 1} \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
Persamaan menjadi:
$8 - 6m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (*)
$8 - 6m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (**)

Kerjakan persamaan (*) dan (**) satu persatu!
Persamaan (*):
$8 - 6m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$
$64 - 96m + 36m^2 = m^2 + 1$
$35m^2 - 96m + 63 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{12} &= \dfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4.35.63}}{2.35}\\
&= \dfrac{96 \pm \sqrt{396}}{70}\\
&= \dfrac{96 \pm 19,9}{70}\\
m_1 &= 1,66\\
m_2 &= 1,09\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_1 = 1,66$ → $c = 2 - 3.1,66 \pm 3\sqrt{1,66^2 + 1}$
$c = 2,83\ atau\ c = -8,79$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -8,79$. Dengan demikian:
$m_1 = 1,66 → c_1 = -8,79$
Persamaan garis persekutuan 1 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$1,66x + y - 8,79 = 0$

$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_2 = 1,09$ → $c = 2 - 3.1,09 \pm 3\sqrt{1,09^2 + 1}$
$c = 3,17\ atau\ c = -5,7$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 3,17$. Dengan demikian:
$m_2 = 1,09 → c_2 = 3,17$
Persamaan garis persekutuan 2 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$1,09x + y + 3,17 = 0$

Persamaan (**):
$8 - 6m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$
$64 - 96m + 36m^2 = 49(m^2 + 1)$
$64 - 96m + 36m^2 = 49m^2 + 49$
$13m^2 + 96m - 15 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{34} &= \dfrac{-96 \pm \sqrt{96^2 - 4.13.(-15)}}{2.13}\\
&= \dfrac{-96 \pm \sqrt{9996}}{26}\\
&= \dfrac{-96 \pm 99,98}{26}\\
m_3 &= 0,15\\
m_4 &= -7,54\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_3 = 0,15$ → $c = 2 - 3.0,15 \pm 3\sqrt{0,15^2 + 1}$
$c = 4,58\ atau\ c = -1,48$

Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -1,48$. Dengan demikian:
$m_3 = 0,15 → c_3 = -1,48$
Persamaan garis persekutuan 3 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$0,15x + y - 1,48 = 0$

$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_4 = -7,54$ → $c = 2 - 3.(-7,54) \pm 3\sqrt{(-7,54)^2 + 1}$
$c = 47,43\ atau\ c = 1,8$

Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 1,8$. Dengan demikian:
$m_4 = -7,54 → c_4 = 1,8$
Persamaan garis persekutuan 4 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$-7,54x + y + 1,8 = 0$

Dengan demikian persamaan-persamaan garis singgung persekutuannya adalah:
$a.\ 1,66x + y - 8,79 = 0$
$b.\ 1,09x + y + 3,17 = 0$
$c.\ 0,15x + y - 1,48 = 0$
$d.\ -7,54x + y + 1,8 = 0$

Contoh soal nomor 2:
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran A: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 - 10x - 2y + 17 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$
$Pusat = A(1, -2)$
$\begin{align}
R_A^2 &= \dfrac14.(-2)^2 + \dfrac14.4^2 - 1\\
&= 1 + 4 - 1\\
&= 4\\
R_A &= 2\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$x^2 + y^2 - 10x - 2y + 17 = 0$
$Pusat = B(5, 1)$
$\begin{align}
R_B^2 &= \dfrac14.(-10)^2 + \dfrac14.(-2)^2 - 17\\
&= 25 + 1 - 17\\
&= 9\\
R_B &= 3\\
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB &= (5 - 1)^2 + (1 - (-2))^2\\
&= 4^2 + 3^2\\
&= 25\\
AB &= 5\\
\end{align}$

$AB = R_A + R_B$ → Lingkaran A dengan lingkaran B saling bersinggungan, dengan demikian ada 3 garis singgung persekutuan. Perhatikan gambar!


Misalkan persamaan garis singgung persekutuannya adalah $mx + y + c = 0$. Jarak titik pusat lingkaran A dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran A dan jarak titik pusat lingkaran B dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran B. Ingat rumus jarak antara titik dengan garis!

$R_A = \left|\dfrac{m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$2 = \left|\dfrac{m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 2$
$m - 2 + c = \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (1)

$R_B = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 3$
$5m + 1 + c = \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$c = -5m - 1 \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):
$2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1} = -5m - 1 \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$4m + 3 = \pm 2\sqrt{m^2 + 1} \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
Persamaan menjadi:
$4m + 3 = \pm \sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (*)
$4m + 3 = \pm 5\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (**)

Kerjakan persamaan (*) dan (**) satu persatu!
Persamaan (*):
$4m + 3 = \pm \sqrt{m^2 + 1}$
$16m^2 + 24m + 9 = m^2 + 1$
$15m^2 + 24m + 8 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{12} &= \dfrac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4.15.8}}{2.15}\\
&= \dfrac{-24 \pm \sqrt{96}}{30}\\
&= \dfrac{-24 \pm 9,8}{30}\\
m_1 &= -0,47\\
m_2 &= -1,13\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$m_1 = -0,47$ → $c = 2 - (-0,47) \pm 2\sqrt{(-0,47)^2 + 1}$
$c = 4,68\ atau\ c = 0,26$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 4,68$. Dengan demikian:
$m_1 = -0,47 → c_1 = 4,68$
Persamaan garis persekutuan 1 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$-0,47x + y + 4,68 = 0$

$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$m_2 = -1,13$ → $c = 2 - (-1,13) \pm 2\sqrt{(-1,13)^2 + 1}$
$c = 6,15\ atau\ c = 0,11$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 0,11$. Dengan demikian:
$m_2 = -1,13 → c_2 = 0,11$
Persamaan garis persekutuan 2 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$-1,13x + y + 0,11 = 0$

Persamaan (**):
$4m + 3 = \pm 5\sqrt{m^2 + 1}$
$16m^2 + 24m + 9 = 25(m^2 + 1)$
$16m^2 + 24m + 9 = 25m^2 + 25$
$9m^2 - 24m + 16 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{34} &= \dfrac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4.9.(16)}}{2.9}\\
&= \dfrac{24 \pm \sqrt{0}}{18}\\
&= \dfrac{24}{18}\\
m_3 &= \dfrac43\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$m_3 = \dfrac43$ → $c = 2 - \dfrac43 \pm 2\sqrt{\left(\dfrac43\right)^2 + 1}$
$c = 4\ atau\ c = -2,67$

Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -2,67$. Dengan demikian:
$m_3 = \dfrac43 → c_3 = -2,67$
Persamaan garis persekutuan 3 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$\dfrac43x + y - 2,67 = 0$

Dengan demikian persamaan-persamaan garis singgung persekutuannya adalah:
$a.\ -0,47x + y + 4,68 = 0$
$b.\ -1,13x + y + 0,11 = 0$
$c.\ \dfrac43x + y - 2,67 = 0$

Contoh Soal nomor 3:
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dari lingkaran A: $x^2 + y^2 -8x + 4y + 11 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$x^2 + y^2 - 8x + 4y + 11 = 0$
$Pusat = A(4, -2)$
$\begin{align}
R_A^2 &= \dfrac14.(-8)^2 + \dfrac14.4^2 - 11\\
&= 16 + 4 - 11\\
&= 9\\
R_A &= 3\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$
$Pusat = B(1, 2)$
$\begin{align}
R_B^2 &= \dfrac14.(-2)^2 + \dfrac14.(-4)^2 + 11\\
&= 1 + 4 + 11\\
&= 16\\
R_B &= 4\\
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB &= (1 - 4)^2 + (2 - (-2))^2\\
&= (-3)^2 + 4^2\\
&= 25\\
AB &= 5\\
\end{align}$

$AB < R_A + R_B$ → Lingkaran A dengan lingkaran B saling berpotongan di dua titik yang berbeda, dengan demikian ada 2 garis singgung persekutuan. Perhatikan gambar!

Misalkan persamaan garis singgung persekutuannya adalah $mx + y + c = 0$. Jarak titik pusat lingkaran A dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran A dan jarak titik pusat lingkaran B dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran B. Ingat rumus jarak antara titik dengan garis!

$R_A = \left|\dfrac{4m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$3 = \left|\dfrac{4m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{4m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 3$
$4m - 2 + c = \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (1)

$R_B = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 4$
$m + 2 + c = \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$c = -m - 2 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):
$2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1} = -m - 2 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$4 - 3m = \pm 3\sqrt{m^2 + 1} \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
Persamaan menjadi:
$4 - 3m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (*)
$4 - 3m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (**)

Kerjakan persamaan (*) dan (**) satu persatu!
Persamaan (*):
$4 - 3m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$
$16 - 24m + 9m^2 = m^2 + 1$
$8m^2 - 24m + 15 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{12} &= \dfrac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4.8.15}}{2.8}\\
&= \dfrac{24 \pm \sqrt{96}}{16}\\
&= \dfrac{24 \pm 9,8}{16}\\
m_1 &= 2,11\\
m_2 &= 0,89\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_1 = 2,11$ → $c = 2 - 4.2,11 \pm 3\sqrt{2,11^2 + 1}$
$c = 0,56\ atau\ c = -13,44$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -13,44$. Dengan demikian:
$m_1 = 2,11 → c_1 = -13,44$
Persamaan garis persekutuan 1 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$2,11x + y - 13,44 = 0$

$c = 2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_2 = 0,89$ → $c = 2 - 4.0,89 \pm 3\sqrt{0,89^2 + 1}$
$c = 2,46\ atau\ c = -5,58$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 2,46$. Dengan demikian:
$m_2 = 0,89 → c_2 = 2,46$
Persamaan garis persekutuan 2 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$0,89x + y + 2,46 = 0$

Persamaan (**):
$4 - 3m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$
$16 - 24m + 9m^2 = 49(m^2 + 1)$
$16 - 24m + 9m^2 = 49m^2 + 49$
$40m^2 + 24m + 33 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{34} &= \dfrac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4.40.33}}{2.40}\\
&= \dfrac{-24 \pm \sqrt{-4704}}{80}\\
\end{align}$

Tidak ada nilai $m$ yang memenuhi, karena tidak ada akar negatif.

Dengan demikian persamaan-persamaan garis singgung persekutuannya adalah:
$a.\ 2,11x + y - 13,44 = 0$
$b.\ 0,89x + y + 2,46 = 0$

Contoh soal nomor 4:
Tentukanlah persamaan garis singgung persekutuan lingkaran A: $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$Pusat = A(-2, 3)$
$\begin{align}
R_A^2 &= \dfrac14.(-4)^2 + \dfrac14.(-6)^2 - 4\\
&= 4 + 9 - 4\\
&= 9\\
R_A &= 3\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$Pusat = B(-1, 4)$
$\begin{align}
R_B^2 &= \dfrac14.2^2 + \dfrac14.(-8)^2 + 8\\
&= 1 + 16 + 8\\
&= 25\\
R_B &= 5
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB^2 &= (-1 - (-2))^2 + (4 - 3)^2\\
&= 1^2 + 1^2\\
&= 2\\
AB &= \sqrt{2}\\
\end{align}$

$AB < |R_A - R_B|$, dengan $R_A < R_B$, maka lingkaran A ada di dalam lingkaran B, dengan demikian lingkaran A dan lingkaran B tidak memiliki garis singgung persekutuan. Demikianlah pembahasan tentang garis singgung persekutuan dua lingkaran SMA kelas 11, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com



Friday, January 24, 2020

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Menyusun persamaan kuadrat adalah mencari persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui, atau akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lain. Disini akan dibahas juga persamaan kuadrat yang akar-akarnya simetris. Misalnya akar-akar suatu persamaan kuadrat diketahui $x_1$ dan $x_2$, kemudian ditanyakan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya misalnya $x_1 + 2$ dan $x_2 + 2$. Karena akar-akarnya $x_1 + 2$ dan $x_2 + 2$ dimana $x_1$ dan $x_2$ sama-sama ditambah dengan 2, maka akar-akarnya disebut simetris. Untuk lebih memahami persamaan kuadrat yang akar-akarnya simetris, simak contoh-contoh soal dan penjelasan-penjelasan di bawah.
Ingat!
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ adalah:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
Jika akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ maka persamaannya adalah:
$x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
Apabila akar-akarnya simetris, kita bisa melakukan penggantian $x$ untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang baru, tergantung hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat yang baru dengan persamaan kuadrat yang lama. Misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah $\alpha$ dan $\beta$ dan akar persamaan kuadrat yang lama adalah $x_1$ dan $x_2$.

A. jika $\alpha = x_1 + n$ dan $\beta = x_2 + n$, ganti $x$ dengan $x - n$
B. jika $\alpha = x_1 - n$ dan $\beta = x_2 - n$, ganti $x$ dengan $x + n$
C. jika $\alpha = nx_1$ dan $\beta = nx_2$, ganti $x$ dengan $\dfrac{x}{n}$
D. jika $\alpha = \dfrac{x_1}{n}$ dan $\beta = \dfrac{x_2}{n}$, ganti $x$ dengan $nx$
E. jika $\alpha = \dfrac{1}{x_1}$ dan $\beta = \dfrac{1}{x_2}$, ganti $x$ dengan $\dfrac{1}{x}$
F. jika $\alpha = \dfrac{n}{x_1}$ dan $\beta = \dfrac{n}{x_2}$, ganti $x$ dengan $\dfrac{n}{x}$
G. jika $\alpha = x_1^{2}$ dan $\beta = x_2^{2}$, ganti $x$ dengan $\sqrt{x}$
H. jika $\alpha = -x_1$ dan $\beta = -x_2$, ganti $x$ dengan $-x$
Supaya lebih jelas, simak soal-soal berikut!

Contoh Soal 1:.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2\ dan\ 5$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} - 3x - 10 = 0$
  $B.\ x^{2} + 3x - 10 = 0$
  $C.\ x^{2} - 3x + 10 = 0$
  $D.\ x^{2} + 3x + 10 = 0$
  $E.\ 2x^{2} - 3x - 5 = 0$

Pembahasan:
$x_1 = -2$
$x_2 = 5$
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1.x_2 = 0$
$x^{2} - ( -2 + 5)x + (-2).5 = 0$
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 2:
Bila $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 3x + 2 = 0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\alpha + 1$ dan $\beta + 1$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} + 6x + 5 = 0$
  $B.\ x^{2} + 5x + 6 = 0$
  $C.\ x^{2} - 6x + 5 = 0$
  $D.\ x^{2} - 5x + 6 = 0$
  $E.\ x^{2} - 5x - 6 = 0$

Pembahasan:
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = 3$
$\alpha.\beta = \dfrac{c}{a} = 2$
misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $x_1$ dan $x_2$, dimana:
$x_1 = \alpha + 1$ dan $x_2 = \beta + 1$
sehingga:
$x_1 + x_2 = \alpha + 1 + \beta + 1$
$= \alpha + \beta + 2$
$= 3 + 2$
$= 5$
$x_1.x_2 = (\alpha + 1)(\beta + 1)$
$= \alpha\beta + \alpha + \beta + 1$
$= 2 + 3 + 1$
$= 6$

persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
jawab: D.

Cara Cepat:
Ganti $x$ dengan $(x - 1)$.
$x^{2} - 3x + 2 = 0$
menjadi:
$(x - 1)^{2} - 3(x - 1) + 2 = 0$
$x^{2} - 2x + 1 - 3x + 3 + 2 = 0$
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
jawab: D.

Contoh soal 3:
Persamaan kuadrat $3x^{2} + 2x - 6 = 0$ akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_1}$ dan $\dfrac{1}{x_2}$ adalah . . . .
  $A.\ 6x^{2} - 3x + 2 = 0$
  $B.\ 6x^{2} + 3x - 2 = 0$
  $C.\ 3x^{2} - 6x + 2 = 0$
  $D.\ 3x^{2} - 3x + 6 = 0$
  $E.\ 6x^{2} - 2x - 3 = 0$

Pembahasan:
Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya $a$ dan $b$, dimana:
$a = \dfrac{1}{x_1}$ dan $b = \dfrac{1}{x_2}$.
$\begin{align}
x_1 + x_2 &= -\dfrac23\\
x_1.x_2 &= -2\\
a + b &= \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\\
&= \dfrac{x_1 + x_2}{x_1.x_2}\\
&= \dfrac{-\dfrac23}{-2}\\
&= \dfrac13\\
\\
a.b &= \dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}\\
&= \dfrac{1}{x_1.x_2}\\
&= \dfrac{1}{-2}\\
&= -\dfrac12\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (a + b)x + a.b = 0$
$x^2 - \dfrac13x - \dfrac12 = 0$
$6x^2 - 2x - 3 = 0$
jawab: E.

Cara cepat:
Ganti $x$ dengan $\dfrac{1}{x}$
$3x^{2} + 2x - 6 = 0$
menjadi:
$3\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} + 2.\left(\dfrac{1}{x}\right) - 6 = 0$
$\dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{2}{x} - 6 = 0$
$3 + 2x - 6x^{2} = 0$ → semua dikal $x^{2}$
$6x^{2} - 2x - 3 = 0$
jawab: E.

Contoh soal 4:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya empat kali akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} - 3x - 2 = 0$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} - 6x - 16 = 0$
  $B.\ x^{2} - 6x + 16 = 0$
  $C.\ x^{2} + 6x - 16 = 0$
  $D.\ x^{2} + 6x + 16 = 0$
  $E.\ x^{2} - 16x + 6 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah $a$ dan $b$ dan persamaan kuadrat yang baru misalkan akar-akarnya adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = 4a$
$q = 4b$
$\begin{align}
a + b &= \dfrac32\\
a.b &= -1\\
\\
p + q &= 4a + 4b\\
&= 4(a + b)\\
&= 4.\dfrac32\\
&= 6\\
\\
p.q &= 4a.4b\\
&= 16ab\\
&= 16.(-1)\\
&= -16\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
jawab: A.

Cara cepat:
ganti $x$ dengan $\dfrac{x}{4}$
$2x^{2} - 3x - 2 = 0$
menjadi:
$2\left(\dfrac{x}{4}\right)^{2} - 3.\dfrac{x}{4} - 2 = 0$
$\dfrac{2x^{2}}{16} - \dfrac{3x}{4} - 2 = 0$
$x^{2} - 6x - 16 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 5:
$x_1\ dan\ x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 3x + 2 = 0$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1^{2}$ dan $x_2^{2}$ adalah . . . .
  $A.\ 9x^{2} - 3x + 4 = 0$
  $B.\ 9x^{2} + 3x + 4 = 0$
  $C.\ 4x^{2} - 3x - 9 = 0$
  $D.\ 9x^{2} + 3x 4 = 0$
  $E.\ 4x^{2} - 3x + 9 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = x_1^2$
$q = x_2^2$

$\begin{align}
x_1 + x_2 &= 1\\
x_1.x_2 &= \dfrac23\\
p + q &= x_1^2 + x_2^2\\
&= (x_1 + x^2)^2 - 2x_1x_2\\
&= (1)^2 - 2.\dfrac23\\
&= 1 - \dfrac43\\
&= -\dfrac13\\
\\
p.q &= x_1^2.x_2^2\\
&= (x_1.x_2)^2\\
&= \left(\dfrac23\right)^2\\
&= \dfrac49\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac13\right)x + \dfrac49 = 0$
$9x^2 + 3x + 4 = 0$
jawab: B.

Cara cepat:
ganti $x$ dengan $\sqrt{x}$
$3x^{2} - 3x + 2 = 0$.
menjadi:
$3(\sqrt{x})^{2} - 3\sqrt{x} + 2 = 0$.
$3x + 2 = 3\sqrt{x}$
$(3x + 2)^{2} = (3\sqrt{x})^{2}$
$9x^{2} + 12x + 4 = 9x$
$9x^{2} + 3x + 4 = 0$
jawab: B.

Contoh soal 6:
Akar-akar persamaan $x^2 + 6x - 12 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left(\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2}\right)$ dan $x_1x_2$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + 9x - 18 = 0$
$B.\ x^2 - 21x - 18 = 0$
$C.\ x^2 + 21x + 24 = 0$
$D.\ 2x^2 + 21x - 24 = 0$
$E.\ 2x^2 + 21x - 18 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$\begin{align}
p &= \left(\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2}\right)\\
&= \dfrac{3(x_1 + x_2)}{x_1x_2}\\
&= \dfrac{3.(-6)}{-12}\\
&= \dfrac32\\
\\
q &= x_1x_2\\
&= -12\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - \left(\dfrac32 - 12\right)x - 12 = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac{21}{2}\right)x - 12 = 0$
$x^2 + \dfrac{21}{2}x - 12 = 0$
$2x^2 + 21x - 24 = 0$
jawab: D.

Akar-akar persamaan kuadrat baru tidaklah simetris.

Contoh Soal 7:
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - 4x + 3 = 0$ adalah $x_1\ dan\ x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2x_1 + 5$ dan $2x_2 + 5$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 2x + 3 = 0$
$B.\ x^2 - 2x - 3 = 0$
$C.\ x^2 - 6x - 7 = 0$
$D.\ x^2 - 18x + 77 = 0$
$E.\ x^2 + 18x + 77 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = 2x_1 + 5$
$q = 2x_2 + 5$

$x_1 + x_2 = 4$
$x_1x_2 = 3$

$\begin{align}
p + q &= 2x_1 + 5 + 2x_2 + 5\\
&= 2(x_1 + x_2) + 10\\
&= 2.4 + 10\\
&= 18\\
\\
pq &= (2x_1 + 5)(2x_2 + 5)\\
&= 4x_1x_2 + 10(x_1 + x_2) + 25\\
&= 4.3 + 10.4 + 25\\
&= 12 + 40 + 25\\
&= 77\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 18x + 77 = 0$
jawab: D.

Cara cepat:
Mencari pengganti $x$, lakukan trik berikut:
Misalkan salah satu akar persamaan kuadrat adalah $x$, sehingga:
$2x_1 + 5 = x$
$2x_1 = x - 5$
$x_1 = \dfrac{x - 5}{2}$

kemudian ganti $x$ pada persamaan $x^2 - 4x + 3$ dengan $\dfrac{x - 5}{2}$ seperti berikut:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$\left(\dfrac{x - 5}{2}\right)^2 - 4\left(\dfrac{x - 5}{2}\right) + 3 = 0$
$\dfrac{x^2 - 10x + 25}{4} - 2x + 13 = 0$
$x^2 - 10x + 25 - 8x + 52 = 0$
$x^2 - 18x + 77 = 0$
jawab: D.

Contoh soal 8:
Jika $x_1\ dan\ x_2$ adalah akar-akar persamaan $x^2 - x + 2 = 0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2x_1 - 2$ dan $2x_2 - 2$ adalah . . . .
$A.\ 8x^2 + 2x + 1 = 0$
$B.\ x^2 + 8x + 2 = 0$
$C.\ x^2 + 2x + 8 = 0$
$D.\ x^2 - 8x - 2 = 0$
$E.\ x^2 - 2x + 8 = 0$

Pembahasan:
Berhubung akar-akarnya simetris, kita langsung ke cara cepatnya. Untuk mendapatkan $x$ pengganti, lakukan trik berikut:
Misalkan salah satu akar persamaan yang baru adalah $x$, sehingga:
$2x_1 - 2 = x$
$2x_1 = x + 2$
$x_1 = \dfrac{x + 2}{2}$
Kemudian ganti $x$ pada persamaan kuadrat $x^2 - x + 2 = 0$ dengan $\dfrac{x + 2}{2}$.

$x^2 - x + 2 = 0$
$\left(\dfrac{x + 2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{x + 2}{2}\right) + 2 = 0$
$\dfrac{x^2 + 4x + 4}{4} - \dfrac{x + 2}{2} + 2 = 0$
$x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 + 8 = 0$
$x^2 + 2x + 8 = 0$
jawab: C.

Contoh Soal 9:
Akar-akar persamaan $2x^2 + 3x - 2 = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\dfrac{\alpha}{\beta}$ dan $\dfrac{\beta}{\alpha}$ adalah . . . .
$A.\ 4x^2 + 17x + 4 = 0$
$B.\ 4x^2 - 17x + 4 = 0$
$C.\ 4x^2 + 17x - 4 = 0$
$D.\ 9x^2 + 22x - 9 = 0$
$E.\ 9x^2 - 22x - 9 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p\ dan\ q$, dimana:
$p = \dfrac{\alpha}{\beta}$
$q = \dfrac{\beta}{\alpha}$

$\begin{align}
p + q &= \dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}\\
&= \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\\
&= \dfrac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}\\
&= \dfrac{\left(\dfrac32\right)^2 - 2.(-1)}{-1}\\
&= \dfrac{\dfrac94 + 2}{-1}\\
&= -\dfrac{17}{4}
\\
pq &= \dfrac{\alpha}{\beta}.\dfrac{\beta}{\alpha}\\
&= 1\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q) + pq = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac{17}{4}\right)x + 1 = 0$
$x^2 + \dfrac{17}{4}x + 1 = 0$
$4x^2 + 17x + 4 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 10:
Akar-akar persamaan $x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah $a\ dan\ b$. Persamaan yang akar-akarnya adalah $a^2 + 1$ dan $b^2 + 1$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 15x + 18 = 0$
$B.\ x^2 - 18x + 15 = 0$
$C.\ x^2 + 15x + 18 = 0$
$D.\ x^2 + 15x - 18 = 0$
$E.\ 4x^2 - 15x + 18 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = a^2 + 1$
$q = b^2 + 1$

$a + b = 3$
$ab = -2$
$\begin{align}
p + q &= a^2 + 1 + b^2 + 1\\
&= a^2 + b^2 + 2\\
&= (a + b)^2 - 2ab + 2\\
&= 3^2 - 2.(-2) + 2\\
&= 9 + 4 + 2\\
&= 15\\
\\
pq &= (a^2 + 1)(b^2 + 1)\\
&= a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1\\
&= (ab)^2 + (a + b)^2 - 2ab + 1\\
&= (-2)^2 + 3^2 - 2.(-2) + 1\\
&= 4 + 9 + 4 + 1\\
&= 18\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 15x + 18 = 0$
jawab: A.

Demikianlah cara menyusun persamaan kuadrat baru serta contoh soal dan pembahasan, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com





Friday, January 17, 2020

Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat



Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara Menentukan atau Cara Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat. Pengertian dari akar persamaan kuadrat adalah nilai pengganti $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c$, yang biasanya dituliskan sebagai $x_1$ dan $x_2$. Akar-akar disebut juga sebagai penyelesaian atau pemecahan. Jika akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$, maka selalu berlaku hubungan $ax_1^2 + bx_1 + c = 0$ dan $ax_2^2 + bx_2 + c = 0$. Persamaan kuadrat mempunyai satu atau dua akar. Akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan tiga cara, yaitu: memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus ABC.


Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, tergantung bentuk persamaan kuadratnya. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat difaktorkan jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah rasional. Secara umum bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ diubah menjadi $(x - P)(x - Q) = 0$. Bentuk-bentuk persamaan kuadrat yang mudah difaktorkan adalah:
$A.\ Bentuk\ ax^2 + bx = 0$
$B.\ Bentuk\ x^2 + bx + c = 0$
$C.\ Bentuk\ ax^2 + bx + c = 0$

A. Memfaktorkan Bentuk $ax^2 + bx = 0$

Bentuk $ax^2 + bx = 0$ dapat dirombak menjadi $x(ax + b) = 0$, sehingga akar-akarnya adalah $x_1 = 0$ dan $x_2 = \dfrac{-b}{a}$
Contoh soal 1.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 6x = 0$

Pembahasan:
$2x^2 - 6x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
$x = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = 0\ atau\ x_2 = 3$

Contoh soal 2.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 4x = 0$

Pembahasan:
$3x^2 + 4x = 0$
$x(3x + 4) = 0$
$x = 0\ atau\ 3x + 4 = 0$
$x_1 = 0\ atau\ x_2 = -\dfrac{4}{3}$.

B. Memfaktorkan bentuk $x^{2} + bx + c = 0$

Jika akar-akar dari $x^2 + bx + c = 0$ adalah rasional, maka bentuk $x^2 + bx + c = 0$ dapat kita ubah menjadi bentuk $(x + P)(x + Q) = 0$. Dengan $P.Q = c$ dan $P + Q = b$. Dengan bahasa sederhana: dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah $c$ dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $b$.

Contoh soal 3.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 4x + 3 = 0$

Pembahasan:
$x^{2} - 4x + 3 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 3 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $-4$. Tidak perlu berpikir keras untuk menemukan, karena jawabnya hanya membutuhkan sedikit nalar. Hal ini terpenuhi jika bilangannya adalah $-1\ dan\ -3$, karena $-1 + -3 = -4$ dan $(-1) \times (-3) = 3$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = 3\ dan\ P + Q = -4$
berarti $P = -1\ dan\ Q = -3$
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x - 1)(x - 3) = 0$
$x - 1 = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = 1\ atau\ x_2 = 3$.

Contoh soal 4.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 7x + 12 = 0$

Pembahasan:
$x^{2} + 7x + 12 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 12 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah 7. Tentu sangat mudah untuk menentukannya bukan? Kedua bilangan tersebut pastilah 3 dan 4, karena $3 \times 4 = 12$ dan $3 + 4 = 7$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = 12\ dan\ P + Q = 7$
berarti $P = 3\ dan\ Q = 4$.
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x + 3)(x + 4) = 0$
$x + 3 = 0\ atau\ x + 4 = 0$.
$x_1 = -3\ atau\ x_2 = -4$.

Contoh soal 5.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - x - 6 = 0$

Pembahasan:
$x^{2} - x - 6 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah $-6$ dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $-1$. So pasti bilangan tersebut adalah $2\ dan\ -3$, karena $2 \times -3 = -6$ dan $2 + (-3) = -1$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = -6\ dan\ P + Q = -1$
$P = 2\ dan\ Q = -3$
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x + 2)(x - 3) = 0$
$x + 2 = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = -2\ atau\ x_2 = 3$.

C. Memfaktorkan bentuk $ax^{2} + bx + c = 0$

Akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat dengan mudah dicari jika akar-akarnya rasional. Misalkan faktornya adalah $\dfrac{(ax + P)(ax + Q)}{a} = 0$, dimana: $P.Q = ac\ dan\ P + Q = b$.

Contoh soal 6.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} - x - 3 = 0$

Pembahasan:
$2x^{2} - x - 3 = 0$
$P.Q = 2.(-3) = -6$ dan $P + Q = -1$
berarti $P = 2\ dan\ Q = -3$.
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(2x + 2)(2x - 3)}{2} = 0$
$\dfrac{\cancel2(x + 1)(2x - 3)}{\cancel2} = 0$
$(x + 1)(2x - 3) = 0$
$x + 1 = 0\ atau\ 2x - 3 = 0$
$x_1 = -1\ atau\ x_2 = \dfrac{3}{2}$

Contoh soal 7.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 7x + 4 = 0 $

Pembahasan:
$3x^{2} - 7x + 4 = 0 $
$P.Q = 3.4 = 12$ dan $P + Q = -7$
berarti $P = -3\ dan\ Q = -4.$
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(3x - 3)(3x - 4)}{3} = 0$
$\dfrac{\cancel3(x - 1)(3x - 4)}{\cancel3} = 0$
$(x - 1)(3x - 4) = 0$
$x - 1 = 0\ atau\ 3x - 4 = 0$
$x = 1\ atau\ x = \dfrac{4}{3}$

Contoh soal 8.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $5x^{2} + 8x - 4 = 0$

Pembahasan:
$5x^{2} + 8x - 4 = 0$
$P.Q = 5.(-4) = -20$ dan $P + Q = 8$
berarti $P = 10\ dan\ Q = -2.$
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(5x + 10)(5x - 2)}{5} = 0$
$\dfrac{\cancel5(x + 2)(5x - 2)}{\cancel5} = 0$
$(x + 2)(5x - 2) = 0$
$x + 2 = 0\ atau\ 5x - 2 = 0$
$x_1 = -2\ atau\ x_2 = \dfrac{2}{5}$.

Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Kita sering menghadapi masalah ketika memfaktorkan, karena P dan Q tidak selalu mudah didapat. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat ketika kondisi demikian bisa kita lakukan dengan cara melengkapkan bentuk-bentuk kuadrat. Jika persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, ubah sehingga koefisien dari $x^2$ bernilai satu dengan cara membagi persamaan kuadrat menjadi:

$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{ a} = 0$
$x^2 + \dfrac{b}{a}x = - \dfrac{c}{a}$
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 = - \dfrac{c}{a}$
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}$
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right) = ± \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}}$
$x = -\dfrac{b}{2a} ± \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}}$
dan seterusnya....
Supaya lebih jelas, pelajari contoh soal berikut.

Contoh soal 9.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2} + 5x + 3 = 0$

Pembahasan:
$2x^{2} + 5x + 3 = 0$
$2x^{2} + 5x = -3$
$x^{2} + \dfrac{5}{2}x = -\dfrac{3}{2}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} - \left(\dfrac{5}{4}\right)^{2} = -\dfrac{3}{2}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \left(\dfrac{25}{16}\right) - \dfrac{24}{16}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \dfrac{1}{16} $
$\left(x + \frac{5}{4}\right) = ± \dfrac{1}{4} $
$x = -\dfrac{5}{4} ± \dfrac{1}{4}$
$x = -\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4}$ atau $x = -\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = -\dfrac{3}{2}$.

Contoh soal 10.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2} + 6x + 2 = 0$

Pembahasan:
$3x^{2} + 6x + 2 = 0$
$3x^{2} + 6x = -2$
$x^{2} + 2x = -\dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} - 1 = -\dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = 1 - \dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = \dfrac{1}{3}$
$(x + 1) = ±\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$(x + 1) = ±\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$
$x_1 = -1 + \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ atau $x_2 = -1 - \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$.

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan menggunakan rumus yang disebut dengan Rumus ABC. Perhatikan rumus ABC berikut:

$x_{1,2} = \dfrac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

Contoh soal 11.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2} - 3x - 5 = 0$

Pembahasan:
$a = 2,\ b = -3,\ c = -5$
$x_{1,2} = \dfrac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \dfrac{-(-3) ± \sqrt{(-3)^{2} - 4.2.(-5)}}{2.2}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± \sqrt{49}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± 7}{4}$
$x_1 = \dfrac{3 + 7}{4}$ dan $x_2 = \dfrac{3 - 7}{4}$
$x_1 = \dfrac{5}{2}$ dan $x_2 = -1$

Contoh soal 12.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2} + 4x - 4 = 0$

Pembahasan:
$3x^{2} + 4x - 4 = 0$
$a = 3,\ b = 4,\ c = -4$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{4^{2} - 4.3.(-4)}}{2.3}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{16 + 48}}{6}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{64}}{6}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± 8}{6}$
$x_1 = \dfrac{-4 + 8}{6}$ dan $x_2 = \dfrac{-4 - 8}{6}$
$x_1 = \dfrac{4}{6}$ dan $x_2 = \dfrac{-12}{6}$
$x_1 = \dfrac{2}{3}$ dan $x_2 = -2$

Demikianlah pembahasan tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com





Saturday, January 11, 2020

Rumus Luas Permukaan Limas


Pengertian Luas Permukaan Limas

Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Luas permukaan limas adalah luas alas limas ditambah luas sisi tegak limas. Seperti yang sudah adik-adik ketahui bahwa sisi tegak limas adalah bangun datar berbentuk segitiga, seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga sembarang. Sementara alas limas bisa berbentuk segitiga atau segi empat bahkan segi banyak yang lain seperti segilima, segienam dan lain-lain. Dengan demikian untuk menghitung luas permukaan kubus dibutuhkan keteterampilan menghitung luas bangun datar segiempat dan luas bangun datar segitiga, pastikan bahwa adik-adik sudah terampil. Okelah kalau begitu, kita langsung ke contoh soal dan pembahasan. Ingat dan jangan lupa bahwa rumus luas permukaan limas adalah luas alas ditambah luas sisi tegak limas.

Contoh Soal dan Pembahasan Luas Permukaan Limas

Contoh Soal nomor 1:
Diketahui sebuah limas dengan alas persegi yang panjang sisinya 18 cm. Jika tinggi limas 12 cm, maka luas permukaan limas tersebut adalah . . . . $cm^2$.
A. 568
B. 684
C. 748
D. 864
[Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas Alas Persegi]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas di bawah!

rumus-luas-permukaan-prisma-alas-persegi

Perhatikan segitiga EOT !
OT adalah tinggi limas = 12 cm. Panjang OE sama dengan setengah panjang AB = 9 cm. Dengan begitu panjang ET bisa dihitung dengan teorema atau tripel Pythagoras. Dengan tripel Pyth didapat panjang ET = 15 cm. Kalau masih bingung dengan tripel Pyth, baiklah kita hitung dengan teorema Pyth.
$\begin{align}
ET^2 &= OE^2 + OT^2\\
&= 9^2 + 12^2\\
&= 81 + 144\\
&= 225\\
ET &= \sqrt{225}\\
&= 15\ cm\\
\end{align}$

Panjang ET sudah didapat, sekarang kita dapat menghitung luas segitiga BCT. Perhatikan segitiga BCT !
$\begin{align}
L\Delta BCT &= \dfrac12.BC.ET\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto9{18}.15\\
&= 9.15\\
&= 135\ cm^2\\
\end{align}$

Sisi tegak limas dengan alas persegi merupakan empat buah segitiga kongruen sehingga luas setiap segitiga adalah sama. Berarti luas sisi tegak limas sama dengan 4 kali luas segitiga BCT. Dengan demikian luas permukaan limas bisa dihitung.
$\begin{align}
L &= L_a + 4.L\Delta BCT\\
&= 18.18 + 4.135\\
&= 324 + 540\\
&= 864\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: D.

Contoh Soal nomor 2:
Sebuah limas mempunyai alas persegi panjang yang panjangnya 32 cm dan lebarnya 18 cm. Jika tinggi limas 12 cm, maka luas permukaan limas tersebut adalah . . . . $cm^2$.
A. 840
B. 1.228
C. 1.416
D. 1.840
[Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas Alas Persegi Panjang]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas persegi panjang di bawah!

rumus-luas-permukaan-limas-alas-persegi-panjang

Sisi tegak limas persegi panjang merupakan dua pasang segitiga kongruen. Segitiga ABT kongruen dengan segitiga CDT, sehingga luas segitiga ABT sama dengan luas segitiga CDT. Segitiga BCT kongruen dengan segitiga ADT, sehingga luas segitiga BCT sama dengan luas segitiga ADT. Dengan demikian luas sisi tegak limas adalah 2 kali luas segitiga ABT ditambah 2 kali luas segitiga BCT. Luas alas mudah dihitung karena merupakan persegi panjang. Mari kita tinjau segitiga ABT terlebih dahulu.
Perhatikan segitiga OFT !
Panjang OT sama dengan tinggi limas = 12 cm, OF sama dengan setengah BC = 9 cm. Panjang FT bisa dihitung dengan tripel pyth atau teorema Pyth. Dengan tripel Pyth didapat panjang FT = 15 cm.
Dengan rumus Pyth:
$\begin{align}
FT^2 &= OF^2 + OT^2\\
&= 9^2 + 12^2\\
&= 81 + 144\\
&= 225\\
FT &= \sqrt{225}\\
&= 15\ cm\\
\end{align}$

Setelah FT didapat, kita bisa menghitung luas segitiga ADT.
$\begin{align}
L\Delta ADT &= \dfrac12.AB.FT\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto{16}{32}.15\\
&= 16.15\\
&= 240\ cm^2\\
\end{align}$

Sekarang kita tinjau segitiga BCT, perhatikan segitiga OET !
Panjang OT sama denga tinggi limas = 12 cm, OE sama dengan setengah AB = 16 cm. Dengan tripel Pyth didapat panjang ET = 20 cm.
Dengan rumus Pyth:
$\begin{align}
ET^2 &= OE^2 + OT^2\\
&= 16^2 + 12^2\\
&= 256 + 144\\
&= 400\\
ET &= \sqrt{400}\\
&= 20\ cm\\
\end{align}$

Setelah ET didapat, kita bisa menghitung luas segitiga BCT.
$\begin{align}
L\Delta BCT &= \dfrac12.BC.ET\\
&= \dfrac12.18.20\\
&= 180\ cm^2\\
\end{align}$

Luas permukaan limas:
$\begin{align}
L &= L_a + 2.L\Delta ABT + 2.L\Delta BCT\\
&= 32.18 + 2.240 + 2.180\\
&= 576 + 480 + 360\\
&= 1.416\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 3:
Diketahui limas dengan alas segitiga sama sisi mempunyai luas alas $36\sqrt{3}\ cm^2$. Jika panjang rusuk tegaknya 10 cm, maka luas permukaan limas adalah . . . . $cm^2$.
$A.\ 36\sqrt{3} + 96$
$B.\ 36\sqrt{3} + 144$
$C.\ 36\sqrt{3} + 192$
$D.\ 36\sqrt{3} + 288$
[Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas Alas Segitiga]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas segitiga di bawah!

rumus-luas-permukaan-limas-alas-segitiga

Sisi tegak limas segitiga sama sisi merupakan 3 segitiga kongruen. Segitiga ABT, segitiga BCT, dan segitiga ACT adalah kongruen sehingga luas segitiga ABT sama dengan luas segitiga BCT sama dengan luas segitiga ACT. Dengan demikian luas sisi tegak limas T.ABC sama dengan 3 kali luas segitiga ABT. Supaya luas segitiga ABT bisa didapat, kita hitung panjang AB terlebih dahulu.
Ingat rumus luas segitiga sama sisi.
$L = \dfrac14s^2\sqrt{3}$
$\begin{align}
L\Delta ABC &= \dfrac14.AB^2\sqrt{3}\\
36\cancel{\sqrt{3}} &= \dfrac14.AB^2\cancel{\sqrt{3}}\\
4.36 &= AB^2\\
AB &= \sqrt{4.36}\\
&= 2.6\\
&= 12\ cm\\
\end{align}$

Perhatikan segitiga ABT ! Dengan tripel Pyth didapat panjang PT = 8 cm.

$\begin{align}
L\Delta ABT &= \dfrac12.AB.PT\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto6{12}.8\\
&= 6.8\\
&= 48\ cm^2\\
\end{align}$

Luas permukaan limas:
$\begin{align}
L &= L_a + 3.L\Delta ABT\\
&= 36\sqrt{3} + 3.48\\
&= (36\sqrt{3} + 144)\ cm^2\\
\end{align}$

Contoh Soal nomor 4:
Sebuah limas mempunyai alas belah ketupat dengan panjang diagonal-diagonal 12 cm dan 16 cm. Jika panjang rusuk tegak limas 13 cm, maka luas permukaan limas tersebut adalah . . . . $cm^2$.
A. 96
B. 156
C. 216
D. 336
[Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas Alas Belah Ketupat]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas belah ketupat di bawah!

rumus-luas-permukaan-limas-alas-belah-ketupat

Sisi tegak limas belah ketupat merupakan 4 segitiga kongruen. Segitiga ABT, segitiga BCT, segitiga CDT, dan segitiga ADT adalah segitiga-segitiga kongruen, sehingga luasnya adalah sama. Dengan demikian luas sisi tegak limas T.ABCD sama dengan 4 kali luas segitiga ABT. Diagonal-diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang. Jika AC = 16, maka OA = OC = 8 cm dan BC = 12, maka OB = OD = 6 cm. Perhatikan segitiga AOB, dengan tripel Pyth didapat panjang AB = BC = CD = AD = 10 cm. Perhatikan segitiga BET ! Dengan tripel Pyth didapat ET = 12 cm.
Sekarang perhatikan segitiga ABT !
$\begin{align}
L\Delta ABT &= \dfrac12.AB.ET\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.10.\cancelto6{12}\\
&= 10.6\\
&= 60\ cm^2\\
\end{align}$

Luas alas limas, alas merupakan belah ketupat:
$\begin{align}
L_a &= \dfrac12.d_1.d_2\\
&= \dfrac12.16.12\\
&= 96\ cm^2\\
\end{align}$

Luas permukaan limas:
$\begin{align}
L &= L_a + 4.L\Delta ABT\\
&= 96 + 4.60\\
&= 96 + 240\\
&= 336\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: D.

Contoh Soal nomor 5:
Diketahui sebuah limas dengan alas persegi mempunyai volume $1.280\ cm^3$. Jika panjang rusuk alas 16 cm, maka luas permukaan limas tersebut adalah . . . . $cm^2$.
A. 500
B. 600
C. 700
D. 800
[Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas Alas Persegi]

Pembahasan:
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
1280 &= \dfrac13.16.16.t\\
t &= 1280 : \dfrac{16.16}{3}\\
&= \cancelto{80}{1280} \times \dfrac{3}{\cancel{16}.16}\\
&= \cancelto5{80} \times \dfrac{3}{\cancel{16}}\\
&= 5.3\\
&= 15\ cm\\
\end{align}$

Perhatikan gambar limas persegi di bawah!

luas-permukaan-limas

Perhatikan segitiga EOT !
OT adalah tinggi limas = 15 cm. Panjang OE sama dengan setengah panjang AB = 8 cm. Dengan begitu panjang ET bisa dihitung dengan teorema atau tripel Pythagoras. Dengan tripel Pyth didapat panjang ET = 17 cm. Kalau masih bingung dengan tripel Pyth, baiklah kita hitung dengan teorema Pyth.
$\begin{align}
ET^2 &= OE^2 + OT^2\\
&= 8^2 + 15^2\\
&= 64 + 225\\
&= 289\\
ET &= \sqrt{289}\\
&= 17\ cm\\
\end{align}$

Panjang ET sudah didapat, sekarang kita dapat menghitung luas segitiga BCT. Perhatikan segitiga BCT !
$\begin{align}
L\Delta BCT &= \dfrac12.BC.ET\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto8{16}.17\\
&= 8.17\\
&= 136\ cm^2\\
\end{align}$

Sisi tegak limas dengan alas persegi merupakan empat buah segitiga kongruen sehingga luas setiap segitiga adalah sama. Berarti luas sisi tegak limas sama dengan 4 kali luas segitiga BCT. Dengan demikian luas permukaan limas bisa dihitung.
$\begin{align}
L &= L_a + 4.L\Delta BCT\\
&= 16.16 + 4.136\\
&= 256 + 544\\
&= 800\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: D.

Contoh Soal nomor 6:
Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi mempunyai keliling alas 64 cm dan jumlah luas sisi tegak $544\ cm^2$. Tinggi limas tersebut adalah . . . .
A. 9 cm
B. 10 cm
C. 12 cm
D. 15 cm
[Rumus dan Cara Menghitung Luas Permukaan Limas Alas Persegi]

Pembahasan:
Alas limas merupakan persegi dan keliling alas = 64 cm, berarti panjang sisi alas = 16 cm (panjang sisi persegi = keliling persegi dibagi 4). Sisi tegak limas persegi merupakan 4 buah segitiga kongruen. Jika luas sisi tegak limas $544\ cm^2$, maka luas salah satu segitiga adalah $544\ cm^2 : 4 = 136\ cm^2$.

Perhatikan gambar di bawah!

cara-menghitung-luas-permukaan-limas

Perhatikan segitiga BCT, luas segitiga BCT $= 136\ cm^2$
$\begin{align}
L &= \dfrac12.BC.ET\\
136 &= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto8{16}.ET\\
136 &= 8.ET\\
ET &= 17\ cm\\
\end{align}$

Perhatikan segitiga OET !
$\begin{align}
OT^2 &= ET^2 - OE^2\\
&= 17^2 - 8^2\\
&= 289 - 64\\
&= 225\\
OT &= \sqrt{225}\\
&= 15\ cm\\
\end{align}$

Tinggi limas = OT = 15 cm.
jawab: D.

Demikianlah pembahasan rumus dan cara menghitung luas permukaan limas serta contoh soal dan pembahasan, semoga bermanfaat.

BACA JUGA:
1. Teorema dan Tripel Pythagoras
2. Bangun Datar Segitiga
3. Bangun Datar Segiempat

SHARE THIS POST


www.maretong.com





Friday, January 10, 2020

Rumus Volume Limas


Pengertian dan Rumus Volume Limas

Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Untuk Menghitung volume limas, dibutuhkan keterampilan untuk menghitung luas alas limas. Seperti yang sudah adik-adik ketahui, bahwa alas limas merupakan bangun datar $segi-n$ yang sering juga disebut sebagai segi banyak. Limas dengan alas segitiga antara lain seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga sembarang. Limas dengan alas segiempat antara lain seperti persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, trapesium siku-siku, trapesium sama kaki, trapesium sembarang, dan layang-layang. Untuk itu, diharapkan adik-adik sudah menguasai teknik-teknik menghitung luas dan keliling bangun datar segitiga dan bangun datar segiempat. Berikut ini adalah contoh limas dengan alas persegi panjang.

rumus-volume-limas

Alas limas adalah persegi panjang ABCD, sehingga luas alas limas $(L_a)$ adalah luas persegi panjang ABCD dan tinggi limas $(t)$ adalah OT.

Rumus Volume Limas:
$V = \dfrac13L_a.t$

$V →$ volume limas
$L_a →$ luas alas limas
$t →$ tinggi limas

Pelajari rumus volume limas serta contoh soal dan pembahasan yang berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan Volume Limas

Contoh Soal nomor 1:
Diketahui sebuah limas memiliki alas yang luasnya $240\ cm^2$ dan tinggi limas 12 cm. Volume limas tersebut adalah . . . . $cm^3$.
A. 720
B. 840
C. 960
D. 1.20
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas]

Pembahasan:
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a \times t\\
&= \dfrac13.240.12\\
&= 960\ cm^3\\
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 2:
Sebuah limas memiliki volume 480 $cm^3$ dan luas alas 180 $cm^2$, maka tinggi limas tersebut adalah . . . .
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 12 cm
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas]

Pembahasan:
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
480 &= \dfrac13.180.t\\
480 &= 60t\\
t &= 8\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 3:
Volume sebuah limas yang bentuk alasnya persegi adalah $720\ cm^3$. Jika tinggi limas 15 cm, maka keliling alas limas adalah . . . .
A. 48 cm
B. 42 cm
C. 36 cm
D. 24 cm
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Persegi]

Pembahasan:
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
720 &= \dfrac{1}{\cancel3}.L_a.\cancelto5{15}\\
720 &= 5L_a\\
L_a &= 144\ cm^2\\
\\
L_a &= s^2\\
144 &= s^2\\
s &= \sqrt{144}\\
&= 12\ cm\\
\\
K &= 4s\\
&= 4.12\\
&= 48\ cm\\
\end{align}$
jawab: A.

Contoh Soal nomor 4:
Sebuah limas mempunyai alas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya 12 cm, 16 cm, dan 20 cm. Jika tinggi limas 21 cm, maka volume limas tersebut adalah . . . . $cm^3$.
A. 480
B. 672
C. 840
D. 1.008
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Segitiga Siku-siku]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas di bawah!

rumus-volume-limas-alas-segitiga-siku-siku

Alas limas adalah segitiga ABC.
Luas Alas $(L_a)$ dan Volume $V$ Limas:
$\begin{align}
L_a &= \dfrac12.AB.BC\\
&= \dfrac12.16.12\\
&= 96\ cm^2\\
\\
V &= \dfrac13L_a.t\\
&= \dfrac{1}{\cancel3}.96.\cancelto7{21}\\
&= 96.7\\
&= 672\ cm^3\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 5:
Alas sebuah limas berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 8 cm. Jika tinggi limas $10\sqrt{3}\ cm$, maka volume limas adalah . . . . $cm^3$.
$A.\ 120$
$B.\ 120\sqrt{3}$
$C.\ 160$
$D.\ 160\sqrt{3}$
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Segitiga Sama sisi]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

rumus-volume-limas-alas-segitiga-sama-sisi

Alas limas adalah segitiga sama sisi ABC.
$\begin{align}
CP^2 &= BC^2 - BP^2\\
&= 8^2 - 4^2\\
&= 64 - 16\\
&= 48\\
CP &= \sqrt{48}\\
&= \sqrt{16.3}\\
&= 4\sqrt{3}\\
\\
L_a &= \dfrac12.AB.CP\\
&= \dfrac12.8.4\sqrt{3}\\
&= 16\sqrt{3}\\
\\
V &= \dfrac13L_a.t\\
&= \dfrac{1}{3}.16\sqrt{3}.10\sqrt{3}\\
&= \dfrac{1}{\cancel3}.16.10.\cancel3\\
&= 16.10\\
&= 160\ cm^3\\
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 6:
Sebuah limas dengan alas persegi panjang mempunyai panjang 8 cm dan lebar 6 cm. Jika panjang rusuk tegaknya 13 cm, maka volume limas itu adalah . . . . $cm^3$.
A. 96
B. 192
C. 208
D. 288
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Persegi Panjang]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas di bawah!

rumus-volume-limas-alas-persegi-panjang

Untuk menghitung tinggi limas OT, kita harus mencari panjang OC terlebih dahulu. Perhatikan segitiga OCE!
$OE = \dfrac12AB = 4\ cm$
$CE = \dfrac12BC = 3\ cm$
Dengan teorema Pyth dan tripel Pyth, didapat OC = 5 cm.

Sekarang perhatikan segitiga OCT!
$OC = 5\ cm$
$CT = 13\ cm$
Dengan teorema Pyth dan tripel Pyth didapat panjang OT atau tinggi limas 12 cm. Dengan begitu volume limas bisa dihitung.
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
&= \dfrac{1}{\cancel3}.8.6.\cancelto4{12}\\
&= 8.6.4\\
&= 192\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 7:
Alas sebuah limas berbentuk belah ketupat dengan keliling alas 52 cm dan panjang salah satu diagonalnya 24 cm. Jika tinggi limas 21 cm, maka volume limas tersebut adalah . . . . $cm^3$.
A. 1.860
B. 1.680
C. 1.183
D. 840
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Belah Ketupat]

Pembahasan:
Perhatikan gambar limas di bawah!

rumus-volume-limas-alas-belah-ketupat

Untuk menghitung volume limas, kita harus terlebih dahulu menghitung luas alas limas. Alas limas adalah sebuah belah ketupat ABCD. Berhubung karena belah ketuat memiliki empat sisi yang sama panjang, maka panjang sisi belah ketupat bisa dihitung dengan rumus: Panjang sisi sama dengan keliling dibagi empat.
$\begin{align}
s &= \dfrac{K}{4}\\
&= \dfrac{52}{4}\\
&= 13\ cm\\
\end{align}$
Sehingga AB = BC = CD = AD = 13 cm.

Panjang salah satu diagonal alas diketahui 24 cm, misalkan diagonal tersebut adalah AC, sehingga AO = 12 cm. Ingat bahwa diagonal-diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang. Kemudian perhatikan segitiga AOB! Dengan teorema Pyth atau tripel Pyth didapat panjang OB = 5 cm, sehingga panjang BD = 10 cm. Karena panjang diagonal-diagonalnya sudah didapat, maka volume limas bisa dihitung.
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
&= \dfrac13.\dfrac12.d_1.d_2.t\\
&= \dfrac{1}{\cancel3}.\dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto{12}{24}.10.\cancelto7{21}\\
&= 12.10.7\\
&= 840\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: D.

Contoh Soal nomor 8:
Perhatikan limas TABCD alasnya berbentuk persegi. Keliling alas limas 72 cm, dan panjang TP = 15 cm. Volume limas tersebut adalah . . . . $cm^3$.

contoh-soal-volume-limas-persegi

A. 4.860
B. 3.888
C. 1.620
D. 1.296
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Persegi]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

rumus-volume-limas-alas-persegi

Alas limas adalah persegi ABCD. Karena keliling alas limas diketahui 72 cm, maka panjang sisi alas limas bisa dihitung dengan rumus sederhana yaitu keliling dibagi empat.
$\begin{align}
s &= \dfrac{K}{4}\\
&= \dfrac{72}{4}\\
&= 18\ cm\\
\end{align}$
Sehingga AB = BC = CD = AD = 18 cm.
$OP = \dfrac12AB = 9\ cm$

Perhatikan segitiga siku-siku OPT ! Dengan teorema Pyth atau tripel Pyth tinggi limas yaitu panjang OT didapat 12 cm. Dengan demikian volume limas bisa dihitung.
$\begin{align}
V &= \dfrac13.L_a.t\\
&= \dfrac{1}{\cancel3}.\cancelto6{18}.18.12\\
&= 6.18.12\\
&= 1296\ cm^3\\
\end{align}$
jawab: D.

Contoh Soal nomor 9:
Volume limas E.ABCD pada gambar di bawah adalah 16 liter. Volume kubus ABCD.EFGH yang terletak di luar limas adalah . . . .

cara-menghitung-volume-limas

A. 16 liter
B. 24 liter
C. 32 liter
D. 36 liter
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Beraturan]

Pembahasan:
Volume kubus diluar limas adalah volume kubus dikurangi volume limas.
$\begin{align}
V_{limas} &= \dfrac13.AB.BC.AD.\\
V_{kubus} &= AB.BC.AD\\
V_{kubus} - V_{limas} &= AB.BC.AD - \dfrac13.AB.BC.AD\\
&= \dfrac{3AB.BC.AD - AB.BC.AD}{3}\\
&= \dfrac23AB.BC.AD\\
&= 2.\dfrac13AB.BC.AD\\
&= 2.V_{limas}\\
&= 2.16\\
&= 32\ liter\\
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 10:
Perhatikan gambar limas di bawah! Panjang AB = BC = CD = AD = 30 cm. Jika volume limas $6.000\ cm^3$, maka panjang sisi TE adalah . . . .

rumus-dan-cara-menghitung-volume-limas-persegi

A. 24 cm
B. 25 cm
C. 26 cm
D. 27 cm
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Beraturan]

Pembahasan:
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
6000 &= \dfrac13.30.30.t\\
6000 &= 300t\\
t &= 20\ cm\\
\\
OT &= t\\
&= 20\ cm\\
\\
OE &= \dfrac12AB\\
&= \dfrac12.30\\
&= 15\ cm\\
\\
TE^2 &= OE^2 + OT^2\\
&= 15^2 + 20^2\\
&= 225 + 400\\
&= 625\\
TE &= \sqrt{625}\\
&= 25\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 11:
Sebuah limas mempunyai alas berbentuk jajargenjang berukuran 15 cm dan tinggi 8 cm. Jika volume limas adalah $800\ cm^3$, maka tinggi limas tersebut adalah . . . .
A. 15 cm
B. 20 cm
C. 25 cm
D. 27 cm
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Jajargenjang]

Pembahasan:
$\begin{align}
V &= \dfrac13L_a.t\\
800 &= \dfrac{1}{\cancel3}.\cancelto5{15}.8.t\\
800 &= 5.8.t\\
800 &= 40t\\
t &= 20\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 12:
Sebuah limas segitiga terdapat di dalam sebuah prisma segitiga. Jika alas lima dan prisma berimpit dan tinggi limas sama dengan tinggi prisma, maka perbandingan volume prisme dengan volume limas adalah . . . .
A. 1 : 2
B. 1 : 3
C. 2 : 1
D. 3 : 1
[Rumus dan Cara Menghitung Volume Limas Segitiga]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-volume-limas-segitiga

$\begin{align}
\dfrac{V_{prisma}}{V_{limas}} &= \dfrac{\cancel{L_a.t}}{\dfrac13.\cancel{L_a.t}}\\
\dfrac{V_{prisma}}{V_{limas}} &= \dfrac{1}{\dfrac13}\\
\dfrac{V_{prisma}}{V_{limas}} &= 1.\dfrac31\\
\dfrac{V_{prisma}}{V_{limas}} &= \dfrac31\\
V_{prisma} : V_{limas} &= 3 : 1\\
\end{align}$
jawab: D.

Demikianlah pembahasan tentang rumus dan cara menghitung volume limas serta contoh soal dan pembahasan, semoga bermanfaat.

BACA JUGA:
1. Teorema dan Tripel Pythagoras
2. Bangun Datar Segitiga
3. Bangun Datar Segiempat
4. Rumus Luas Permukaan Prisma
SHARE THIS POST


www.maretong.com