MARETONG: Persamaan Trigonometri dan Pertidaksamaan Trigonometri

Wednesday, July 03, 2019

Persamaan Trigonometri dan Pertidaksamaan Trigonometri


Persamaan Trigonometri dan pertidaksamaan trigonometri Matematika SMA Minat kelas 11 serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Persamaan Trigonometri dan pertidaksamaan trigonometri yang akan kita ulas adalah persamaan dan pertidaksamaan bentuk $sin\ ax$, $cos\ ax$, dan $tan\ ax$. Sebelum memasuki topik persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, sebaiknya kuasai terlebih dahulu
Dasar-dasar Trigonometri, terutama sudut-sudut berelasi dan identitas trigonometri. Pelajari dan kuasai juga materi tentang Grafik sinus, cosinus, dan tangen, karena sangat penting dalam pertidaksamaan trigonometri.

Persamaan Trigonometri dan Contoh Soal

$\ \ \ I.\ Jika\ sin\ ax = sin\ \alpha,\ maka:$
$x = \dfrac {\alpha}{a} \pm k.\dfrac{360}{a}\ \ \ atau\ \ \ \ x = \dfrac{(180 - \alpha)}{a} \pm k.\dfrac{360}{a}$
$II.\ Jika\ cos\ ax = cos\ \alpha,\ maka:$
$ x = \dfrac{\alpha}{a} \pm k.\dfrac{360}{a}\ \ \ atau\ \ \ \ x = -\dfrac{\alpha}{a} \pm k\dfrac{360}{a} $
$III.\ Jika\ tan\ ax = tan\ \alpha,\ maka:$
$ x = \dfrac{\alpha}{a} \pm k\dfrac{180}{a} $ $k → bilangan\ bulat$

Contoh soal 1.
Tentukanlah nilai $x$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o$ yang memenuhi $sin\ x = \dfrac 12\ !$
$sin\ x = \dfrac12$
$sin\ x = sin\ 30^o$
$(i).\ x = 30^o \pm k.360$
$k = 0 → x = 30^o$
Jika kita ambil $k = 1$, maka $x$ akan berada di luar interval yang diminta. Interval yang diminta adalah $0^o \leq x \leq 360^o.$

$(ii).\ x = (180^o - 30^o) \pm k.360^o$
$x = 150 \pm k.360^o$
$k = 0 → x = 150^o$
Jika kita ambil $k = 1$, maka $x$ akan berada di luar interval yang diminta.
Jadi himpunan penyelesaian adalah: $\{30^o,\ 150^o\}$

Contoh soal 2.
Tentukanlah nilai $x$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o$ yang memenuhi $sin\ 2x = -\dfrac12\sqrt{3}\ !$
$sin\ 2x = -\dfrac12\sqrt{3}$
$sin\ 2x = sin\ 240^o$
$(i).\ 2x = 240^o \pm k.360^o$
$x = 120^o \pm k.180^o$
$k = 0 → x = 120^o$
$k = 1 → x = 300^o\ atau\ x = -60^o$
Jika kita ambil $k = 2$, maka $x$ akan berada di luar interval.

$(ii).\ 2x = (180 - 240) \pm k.360$
$2x = -60 \pm k.360$
$x = -30 \pm k.180$
Jika kita ambil $k = 0$, maka $x$ akan berada di luar interval.
$k = 1 → x = 150^o$
$k = 2 → x = 330^o$
$k = 3 → x$ di luar interval yang diminta.
Jadi himpunan penyelesaian adalah: $\{120^o,\ 150^o,\ 300^o,\ 330^o \}$

Contoh soal 3.
Tentukanlah nilai $x$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o$ yang memenuhi $sin\ (3x - 60^o) = \dfrac12\sqrt{2}\ !$
$sin\ (3x - 60^o) = \dfrac12\sqrt{2}$
$sin\ (3x - 60^o) = sin\ 45^o$

$(i).\ 3x - 60^o = 45^o \pm k.360^o$
$x - 20^o = 15^o \pm k.120^o$
$x = 35^o \pm k.120^o$
$k = 0 → x = 35^o$
$k = 1 → x = 155^o\ atau\ x = -85^o$
$k = 2 → x = 275^o\ atau\ x = -205^o$
$k = 3 → x$ di luar interval yang diminta.

$(ii).\ 3x - 60^o = (180^o - 45^o) \pm k.360^o$
$3x - 60^o = 135^o \pm k.360^o$
$x - 20^o = 45^o \pm k.120^o$
$x = 65^o \pm k.120^o$
$k = 0 → x = 65^o$
$k = 1 → x = 185^o\ atau\ x = -55^o$
$k = 2 → x = 305^o\ atau\ x = -175^o$
$k = 3 → x$ di luar interval yang diminta.

Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{35^o,\ 65^o,\ 155^o,\ 185^o,\ 275^o,\ 305^o\}$

Contoh soal 4.
Tentukanlah nilai $x$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o$ yang memenuhi persamaan $cos\ x = \dfrac12\ !$
$cos\ x = \dfrac12$
$cos\ x = cos\ 60^o$
$(i).\ x = 60^o \pm k.360^o$
$k = 0 → x = 60^o$
$k = 1 → x$ di luar interval yang diminta.

$(ii).\ x = -60^o \pm k.360^o$
$k = 0 → x = -60^o → x$ diluar interval yang diminta.
$k = 1 → x = 300^o\ atau\ x = -420^o$
$k = 3 → x$ tidak memenuhi syarat karena diluar interval.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$\{60^o,\ 300^o \}$

Contoh soal 5.
Tentukanlah nilai $x$ pada interval $-\pi \leq x \leq \pi$ yang memenuhi persamaan $cos\ 2x = -\dfrac12\ !$
$cos\ 2x = -\dfrac12$
$cos\ 2x = cos\ \dfrac{2\pi}{3}$
$(i).\ 2x = \dfrac{2\pi}{3} \pm k.2\pi$
$x = \dfrac{\pi}{3} \pm k.\pi$
$k = 0 → x = \dfrac{\pi}{3}$
$k = 1 → x = \dfrac{4\pi}{3}\ atau\ x = -\dfrac{2\pi}{3}$
$k = 2 → x$ di luar interval yang diminta.

$(ii).\ 2x = -\dfrac{2\pi}{3} \pm k.2\pi$
$x = -\dfrac{\pi}{3} \pm k.\pi$
$k = 0 → x = -\dfrac{\pi}{3}$
$k = 1 → x = \dfrac{2\pi}{3}\ atau\ x = -\dfrac{4\pi}{3}$
$k = 2 → x$ di luar interval yang diminta.
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{-\dfrac{2}{3}\pi,\ -\dfrac{1}{3}\pi,\ \dfrac{1}{3}\pi,\ \dfrac23\pi \}$

Contoh soal 6.
tentukanlah nilai $x$ pada interval $0^o \leq x \leq 180^o$ yang memenuhi persamaan $cos(2x - 40^o) = \dfrac12\sqrt{3}\ !$
$cos(2x - 40^o) = \dfrac12\sqrt{3}$
$cos(2x - 40^o) = cos\ 30^o$
$(i).\ 2x - 40^o = 30^o \pm k.360^o$
$x - 20^o = 15^o \pm k.180^o$
$x = 35^o \pm k.180^o$
$k = 0 → x = 35^o$
$k = 1 → x$ di luar interval yang diminta.

$(ii).\ 2x - 40^o = -30^o \pm k.360^o$
$x - 20^o = -15^o \pm k.180^o$
$x = 5^o \pm k.180^o$
$k = 0 → x = 5^o$
$k = 1 → x$ berada di luar interval yang di minta.
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{5^o,\ 35^o \}$

Contoh soal 7.
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $tan\ x = \sqrt{3}$ pada interval $0 \leq x \leq 360^o$
$tan\ x = \sqrt{3}$
$tan\ x = tan\ 60^o$
$x = 60^o \pm k.180^o$
$k = 0 → x = 60^o$
$k = 1 → x = 240^o\ atau\ x = -120^o$
$k = 2 → x$ berada di luar interval.
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{60^o,\ 240^o \}$

Contoh soal 8.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $tan\ (3x + 90^o) = \dfrac13\sqrt{3}$ pada interval $-180^o < x < 180^o\ !$
$tan\ (3x + 90^o) = \dfrac13\sqrt{3}$
$tan\ (3x + 90^o) = tan\ 30^o$
$3x + 90^o = 30^o \pm k.180^o$
$x + 30^o = 10^o \pm k.60^o$
$x = -20^o \pm k.60^o$
$k = 0 → x = -20^o$
$k = 1 → x = 40^o\ atau\ x = -80^o$
$k = 2 → x = 100^o\ atau\ x = -140^o$
$k = 3 → x = 160^o\ atau\ x = -200^o$
$k = 4 → x$ tidak memenuhi syarat.
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{-140^o,\ -80^o,\ -20^o,\ 40^o,\ 100^o,\ 160^o \}$

Contoh soal 9.
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $sin\ (2x - 30^o) = cos\ (x + 60)$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o\ !$
$ingat: $
$(i).\ cos\ \alpha = sin\ (90^o - \alpha)$
$(ii).\ cos\ \alpha = sin\ (90^o + \alpha)$

$sin\ (2x - 30^o) = cos\ (x + 60^o)$
$(i).\ sin\ (2x - 30^o) = sin [90^o - (x + 60^o)]$
$sin\ (2x - 30^o) = sin (30^o - x)$
$2x - 30^o = 30^o - x \pm k.360^o$
$3x = 60^o \pm k.360^o$
$x = 20^o \pm k.120^o$
$k = 0 → x = 20^o$
$k = 1 → x = 140^o\ atau\ x = -100^o$
$k = 2 → x = 260^o\ atau\ x = -220^o$
$k = 3 → x$ tidak memenuhi syarat.

$(ii).\ cara\ 1:$
$2x - 30^o = [180^o - (30^o - x)] \pm k.360^o$
$2x - 30^o = 150^o + x \pm k.360^o$
$x = 180^o \pm k.360^o$
$k = 0 → x = 180^o$
$k = 1 → x$ tidak memenuhi syarat.

$cara\ 2:$

$sin\ (2x - 30^o) = sin\ [90^o + (x + 60^o)]$
$sin\ (2x - 30^o) = sin\ (x + 150^o)$
$2x - 30^o = x + 150^o \pm k.360^o$
$x = 180^o \pm k.360^o$
$k = 0 → x = 180^o$
$k = 1 → x$ tidak memenuhi syarat.
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{20^o,\ 140^o,\ 180^o,\ 260^o\}$

Contoh soal 10.
Jika $tan\ (3x + 10^o) = cot\ (2x - 20^o)$ maka nilai $x$ yang memenuhi pada interval $0^o \leq x \leq 90^o$ adalah . . . .
$Ingat:$
$cot\ \alpha = tan\ (90^o - \alpha)$
$cot\ \alpha = tan\ (270^o - \alpha)$

$tan\ (3x + 10^o) = cot\ (2x - 20^o)$
$tan\ (3x + 10^o) = tan [90^o - (2x - 20^o)]$
$tan\ (3x + 10^o) = tan (110^o - 2x)$
$3x + 10 = 110^o - 2x \pm k.180^o$
$5x = 100^o \pm k.180^o$
$x = 20^o \pm k.36^o$
$k = 0 → x = 20^o$
$k = 1 → x = 56^o\ atau\ x = -16^o$
Himpunan penyelesaian adalah:
$\{20^o,\ 56^o \}$

Contoh soal 11.
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $sin\ (x + 45^o) + cos\ (x + 45^o) = 0$ pada interval $0 \leq x \leq 360^o$ adalah . . . .
$sin\ (x + 45^o) + cos\ (x + 45^o) = 0$
$sin\ (x + 45^o) = -cos\ (x + 45^o)$
$\left(\dfrac{sin\ (x + 45^o)}{cos\ (x + 45^o)}\right) = -1$
$tan\ (x + 45^o) = -1$
$tan\ (x + 45^o) = tan\ 135^o$
$x + 45^o = 135^o \pm k.180^o$
$x = 90^o \pm k.180^o$
$k = 0 → x = 90^o$
$k = 1 → x + 270^o\ atau\ x = -90^o$
$k = 2 → x$ ada di luar interval yang diminta.
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$\{90^o,\ 270^o \}$

Contoh soal 12.
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $sin^2\ x - 5sin\ x + 6 = 0$ pada interval $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah . . . .
$sin^2\ x - 5sin\ x + 6 = 0$
$(sin\ x - 6)(sin\ x + 1) = 0$
$sin\ x = 6\ atau\ sin\ x = -1$
$sin\ x = 6$ tidak memenuhi syarat karena $-1 \leq sin\ x \leq 1$
sehingga $sin\ x = 6$ bisa diabaikan.
$sin\ x = -1 → x = \dfrac32\pi $

Contoh soal 13.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $cos^2\ x + sin\ x - 1 = 0$ pada interval $0^o \leq x \leq 180^o$
$Ingat:$
$sin^2\ x + cos^2\ x = 1$

$cos^2\ x + sin\ x - 1 = 0$
$1 - sin^2\ x + sin\ x - 1 = 0$
$-sin^2\ x + sin\ x = 0$
$sin^2\ x - sin\ x = 0$
$sin\ x(sin\ x - 1) = 0$
$sin\ x = 0\ atau\ sin\ x = 1$
$sin\ x = 0 → x = 0^o,\ 180^o, 360^o$
$sin\ x = 1 → x = 90^o$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$\{0^o,\ 90^o,\ 180^o \}$

Contoh soal 14.
Himpunan penyelesaian $cos\ 2x + sin\ x - 1 = 0$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah . . . .
$ Ingat:$
$cos\ 2x = cos^2\ x - sin^2\ x$
$cos\ 2x = 1 - 2sin^2\ x$
$cos\ 2x = 2cos^2\ x - 1$

$cos\ 2x + sin\ x - 1 = 0$
$cos^2\ x - sin^2\ x + sin\ x - 1 = 0$
$1 - sin^2\ x - sin^2\ x + sin\ x - 1 = 0$
$-2sin^2\ x + sin\ x = 0$
$2sin^2\ x - sin\ x = 0$
$sin\ x(2sin\ x - 1) = 0$
$sin\ x = 0\ atau\ sin\ x = \dfrac12$
$sin\ x = 0 → x = 0,\ \pi,\ 2\pi$
$sin\ x = \dfrac12 → x = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$\{0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \pi,\ 2\pi \}$

Contoh soal 15.
Jika $tan^2\ x - 2tan\ x - 8 = 0$ dan $0 \leq x \leq \pi,$ tentukanlah nilai $cos\ x\ !$
$tan^2\ x - 2tan\ x - 8 = 0$
$(tan\ x - 4)(tan\ x + 2) = 0$
$tan\ x = 4\ atau\ tan\ x = -2$


$tan\ x = 4 → $ dari interval yang diberikan berarti ada di kuadran I (bernilai positif). Dengan demikian
$cos\ x $ bernilai positif.
$cos\ x = \dfrac{1}{17}\sqrt{17}$

$tan\ x = -2 →$ dari interval yang diberikan berarti ada di kuadran II (bernilai negatif). Dengan demikian
$cos\ x$ bernilai negatif.
$cos\ x = -\dfrac{1}{5}\sqrt{5}.$

Pertidaksamaan Trigonometri dan Contoh Soal

Pertidaksamaan trigonometri bisa diselesaikan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan grafik fungsi trigonometri dan dengan cara menggunakan garis bilangan.
1. Menggunakan grafik fungsi trigonometri.
Langkah-langkah:
a. Sederhanakan pertidaksamaan menjadi bentuk paling sederhana.
b. Gambarkan sketsa grafik fungsi trigonometri yang sudah disederhanakan.
c. Tandai grafik sesuai dengan pertidaksamaan.

2. Menggunakan garis bilangan.
Langkah-langkah:
a. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk persamaan dan tentukan akar-akarnya.
b. Plot akar-akar tersebut pada garis bilangan dan tentukan tanda positif dan tanda negatif.

Note:
Tanda (< 0) artinya adalah negatif.
Tanda (≤ 0) artinya adalah nol atau negatif.
Tanda (> 0) artinya adalah positif.
Tanda (≥ 0) artinya adalah nol atau positif.

Contoh:
$sin\ x cos\ x < 0$ memiliki pengertian bahwa $sin\ x . cos\ x$ bernilai negatif. Dengan demikian kemungkinannya adalah $sin\ x > 0$ (positif) dan $cos\ x < 0$ (negatif) atau $sin\ x < 0$ (negatif) dan $cos\ x > 0$ (positif).

Contoh soal 16.
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri $sin\ x \geq \dfrac12\sqrt{2}$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o\ !$
Dengan grafik
$sin\ x \geq \dfrac12\sqrt{2}$



Perhatikan gambar !
Dari gambar telah kelihatan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah $45^o \leq x \ \leq 135^0$

Dengan garis bilangan
$sin\ x \geq \dfrac12\sqrt{2}$ ubah menjadi persamaan
$sin\ x = \dfrac12\sqrt{2}$
$x = 45^o,\ 135^o$


Untuk menentukan tanda $+$ atau tanda $-$, ambil $x = 30^o,\ 60^o,\ 150^o$ dan uji ke persamaan $sin\ x - \dfrac12\sqrt{2}\ !$
$\bullet$ $sin\ 30^o - \dfrac12\sqrt{2}$ $ = \dfrac12 - \dfrac12\sqrt{2} → negatif.$
$\bullet$ $sin\ 60^o - \dfrac12\sqrt{2}$ $ = \dfrac12\sqrt{3} - \dfrac12\sqrt{2} → positif.$
$\bullet$ $sin\ 150^o - \dfrac12\sqrt{2}$ $ = \dfrac12 - \dfrac12\sqrt{2} → negatif.$
Yang diminta adalah $sin\ x - \dfrac12\sqrt{2} \geq 0\ (yang\ positif) $
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $45^o \leq x \leq 135^o$

Contoh soal 17.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $cos\ x < \dfrac12$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o\ !$
Dengan grafik
$cos\ x < \dfrac12$


Perhatikan gambar !
Dari gambar telah kelihatan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah $60^o \leq x \leq 300^o$

Dengan garis bilangan
$cos\ x < \dfrac12$ ubah ke bentuk persamaan
$cos\ x = \dfrac12$
$x = 60^o, 300^o$


Untuk menentukan tanda $+$ atau tanda $-$, ambil $x = 30^o,\ 90^o,\ 315^o$ dan uji ke persamaan $cos\ x - \dfrac12\ !$
$\bullet$ $cos\ 30^o - \dfrac12 = \dfrac12\sqrt{3} - \dfrac12 → positif.$
$\bullet$ $cos\ 90 - \dfrac12 = 0 - \dfrac12 → negatif.$
$\bullet$ $cos\ 315 - \dfrac12 = \dfrac12\sqrt{2} - \dfrac12 → positif.$
Yang diminta adalah $cos\ x - \dfrac12 < 0\ (yang\ negatif)$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $60^o < x < 300^o.$

Contoh soal 18.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $tan\ x \leq \sqrt{3}$ dengan interval $0^o \leq x \leq 360^o\ !$
Dengan grafik
$tan\ x \leq \sqrt{3}$


Dari gambar terlihat bahwa himpunan penyelesaiannya adalah $0^o \leq x \leq 60^o$ atau $90^o < x \leq 240^o$ atau $270^o < x \leq 360^o.$

Dengan garis bilangan
$tan\ x \leq \sqrt{3}$ ubah ke bentuk persamaan
$tan\ x = \sqrt{3}$
$x = 60^o,\ 240^o$
$Ingat:\ tan\ x$ tidak terdefinisi pada $x = 90^o\ dan\ 270^o$


Untuk menentukan tanda $+$ atau tanda $-$ cukup uji salah satu titik. Tanda $+$ dan tanda $-$ akan berselang seling. Ambil sembarang titik misalnya $x = 30^o,$ uji ke persamaan $tan\ x - \sqrt{3}\ !$
$\bullet$ $tan\ 30^o - \sqrt{3} = \dfrac13\sqrt{3} - \sqrt{3} → negatif.$
Karena yang diminta adalah $tan\ x - \sqrt{3} \leq 0$ (yang negatif) maka himpunan penyelesaiannya adalah:
$0^o \leq x \leq 60^o$ atau $90^o < x \leq 240^o$ atau $270^o < x \leq 360^o$

Contoh soal 19.
tentukanlah himpunan penyelesaian dari $sin\ xcos\ 2x \leq 0$ pada interval $0 \leq x \leq 2\pi\ !$
Dengan grafik
$sin\ xcos\ 2x \leq 0$


$sin\ xcos\ 2x \leq 0$ memiliki pengertian yaitu:
$(i).\ sin\ x \geq 0\ dan\ cos\ 2x \leq 0$
Pengertian sederhananya adalah kurva $y = sin\ x$ di atas sumbu $x$ dan kurva $y = cos\ 2x$ di bawah sumbu $x$. Dari gambar terlihat bahwa hal ini terpenuhi pada interval $\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{3\pi}{4}$

$(ii).\ sin\ x \leq 0\ dan\ cos\ 2x \geq 0$
Pengertian sederhananya adalah kurva $y = sin\ x$ di bawah sumbu $x$ dan kurva $y = cos\ 2x$ berada di atas sumbu $x$. Dari gambar terlihat bahwa hal ini terpenuhi pada interval $\pi \leq x \leq \dfrac{5\pi}{4}$ dan pada interval $\dfrac{7\pi}{4} \leq x \leq 2\pi.$ Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah:
$\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{3\pi}{4}$ $ atau\ \pi \leq x \leq \dfrac{5\pi}{4}$ $ atau\ \dfrac{7\pi}{4} \leq x \leq 2\pi.$

Dengan garis bilangan
$sin\ xcos\ 2x \leq 0$ ubah ke dalam persamaan
$sin\ xcos\ 2x = 0$
$sin\ x = 0 → x = 0,\ \pi,\ 2\pi$
$cos\ 2x = 0 → x = \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4} $


Untuk menentukan tanda $+$ atau tanda $-$, cukup uji salah satu titik sembarang. Misalnya ambil $x = \dfrac{\pi}{3},$ uji ke persamaan $sin\ xcos\ 2x\ !$
$\bullet$ $sin\ \dfrac{\pi}{3}cos\ \dfrac{2\pi}{3} $ $= \dfrac12\sqrt{3}.(-\dfrac12) → negatif$
Tanda $-$ dan tanda $+$ akan berselang seling. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah:
$\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{3\pi}{4}$ $ atau\ \pi \leq x \leq \dfrac{5\pi}{4}$ $ atau\ \dfrac{7\pi}{4} \leq x \leq 2\pi.$

Contoh soal 20.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $sin\ 2xcos\ x \geq 0$ pada interval $0^o \leq x \leq 360^o\ !$
Dengan grafik
$sin\ 2xcos\ x \geq 0$ memiliki pengertian yaitu:


$(i).\ sin\ 2x \geq 0\ dan\ cos\ x \geq 0.$
Dengan bahasa yang sederhana, bisa kita katakan bahwa kurva $y = sin\ 2x$ dan $y = cos\ x$ berada di atas sumbu $x.$ Lihat gambar ! Hal ini terpenuhi pada interval $0^o \leq x \leq 90^o.$

$(ii).\ sin\ 2x \leq 0\ dan\ cos\ x \leq 0.$
Dengan bahasa yang sederhana bisa kita katakan bahwa kurva $y = sin\ 2x$ dan $y = cos\ 2x$ berada di bawah sumbu $x.$ Lihat gambar ! Hal ini terpenuhi pada interval $90^o \leq x \leq 180^o.$

Titik-titik potong sumbu $x$ yang memenuhi syarat:
$270^o\ dan\ 360^o.$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$0^o \leq x \leq 180^o$ $ atau\ x = 270^o$ $ atau\ x = 360^o.$

Dengan garis bilangan
$sin\ 2xcos\ x \geq 0$ ubah ke bentuk persamaan !
$sin\ 2xcos\ x = 0$
$sin\ 2x = 0\ → x = 0^o,\ 90^o,\ 180^o,\ 270^o,\ 360^o$
$cos\ x = 0\ → x = 90^o,\ 270^o$


Dengan menguji beberapa titik kita dapatkan himpunan penyelesaian seperti pada gambar di atas. Tidak selamanya himpunan penyelesaian akan berselang seling. Dengan pemahaman tentang grafik, kita bisa dapat gambaran tentang himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$0^o \leq x \leq 180^o$ $ atau\ x = 270^o$ $ atau\ x = 360^o.$

Contoh soal 21.
Untuk interval $0^o < x < 180^o$, tentukan himpunan penyelesaian dari $\dfrac{sin\ 3x}{cos\ 2x} < 0\ !$
Dengan grafik
$\dfrac{sin\ 3x}{cos\ 2x} < 0 → cos\ 2x \neq 0$


$\dfrac{sin\ 3x}{cos\ 2x} < 0$ memiliki pengertian yaitu:
$(i).\ sin\ 3x > 0\ dan\ cos\ 2x < 0$
Dengan bahasa yang sederhana $y = sin\ 3x$ berada di atas sumbu $x$ dan $y = cos\ 2x$ berada di bawah sumbu $x$. Hal ini terpenuhi pada interval $45^o < x < 60^o$ $ atau\ 120^o < x < 135^o.$

$(ii).\ sin\ 3x < 0\ dan\ cos\ 2x > 0$
Dengan bahasa yang sederhana $y = sin\ 3x$ berada di bawah sumbu $x$ dan $y = cos\ 2x$ berada di atas sumbu $x$. Pada hal ini, jika kita lihat dan perhatikan gambar, tidak ada interval yang memenuhi syarat. Jadi himpunan penyelesaian adalah:
$45^o < x < 60^o$ $ atau\ 120^o < x < 135^o.$

Dengan garis bilangan
$\dfrac{sin\ 3x}{cos\ 2x} < 0 → cos\ 2x \neq 0$
Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan !
$\dfrac{sin\ 3x}{cos\ 2x} = 0$
$sin\ 3x = 0 → x = 0^o,\ 60^o,\ 120^o,\ 180^o$
$cos\ 2x = 0 → x = 45^o,\ 135^o$


Uji salah satu titik misalkan titik $x = 30^o$ ke persamaan
$\dfrac{sin\ 3x}{cos\ 2x} →\dfrac{sin\ 3.30}{cos\ 2.30}$ $ = \dfrac{sin\ 90}{cos\ 60}$ $ = \dfrac{1}{\dfrac12}$ $ = 2 → positif$
Tanda $+$ dan tanda $-$ akan berselang seling. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$45^o < x < 60^o$ $ atau\ 120^o < x < 135^o.$

Contoh soal 22.
Pada interval $0 \leq x \leq 2\pi$ maka grafik fungsi $y = \dfrac{2 + cos\ x}{sin\ x}$ berada di bawah sumbu $x$ apabila . . . .
$A.\ \pi \leq x \leq 2\pi$
$B.\ \pi < x < 2\pi$
$C.\ 0 \leq x \leq \pi$
$D.\ 0 < x < \pi$
$E.\ \dfrac12\pi \leq x \leq \dfrac32\pi$
Grafik $y = \dfrac{2 + cos\ x}{sin\ x}$ berada di bawah sumbu $x$ artinya $\dfrac{2 + cos\ x}{sin\ x} < 0.$ Perhatikan bahwa $2 + cos\ x$ akan selalu positif atau definit positif, karena $cos\ x$ selalu bernilai antara $-1$ hingga $1$ $(-1 \leq cos\ x \leq 1)$. Karena $2 + cos\ x$ sudah pasti positif, supaya $\dfrac{2 + cos\ x}{sin\ x} < 0$ (negatif) maka $sin\ x$ haruslah negatif $(< 0).$ $Sin\ x < 0 → \pi < x < 2\pi.$
$Jawab:\ B.$
[Silahkan coba dengan grafik dan garis bilangan.]

Contoh soal 23.
Pada interval $0^o \leq x \leq 180^o$ pernyataan $3tan(2x + 120^o) \leq \sqrt{3}$ benar apabila . . . .
$A.\ 0^o \leq x \leq 45^o\ atau 135^o \leq x \leq 180^o$
$B.\ 0^o \leq x \leq 45^o\ atau 75^o \leq x \leq 135^o$
$C.\ 0^o \leq x \leq 45^o\ atau 755^o < x \leq 180^o$
$D.\ 45^o \leq x \leq 75^o\ atau 135^o \leq x \leq 180^o$
$E.\ 45^o \leq x < 75^o\ atau 135^o \leq x \leq 180^o$
$tan(2x + 120^o) \ne 90^o → x \ne -15^o$
$tan(2x + 120^o) \ne 270^o → x \ne 75^o$

$3tan(2x + 120^o) \leq \sqrt{3}$ ubah ke bentuk persamaan
$3tan(2x + 120^o) = \sqrt{3}$
$tan(2x + 120^o) = \dfrac13\sqrt{3}$
$tan(2x + 120^o) = tan\ 30^o$
$2x + 120^o = 30^o \pm k.180^o$
$2x = -90 \pm k.180$
$x = -45 \pm k.90^o$
$k = 0 → x$ tidak memenuhi syarat
$k = 1 → x = 45^o\ atau\ x = -135^o$
$k = 2 → x = 135^o\ atau x = -225^o$
$k = 3 → x\ TMS$


Uji salah satu titik misalnya titik $x = 30^o$ ke persamaan $3tan(2x + 120^o) - \sqrt{3} $
$3tan(2.30 + 120^o) - \sqrt{3}$ $ = 3tan\ 180^o - \sqrt{3}$ $ = -\sqrt{3} → negatif$
Karena yang diminta adalah yang negatif $(3tan(2x + 120^o) - \sqrt{3} \leq 0)$, maka himpunan penyelesaiannya adalah:
$0^o \leq x \leq 45^o$ $ atau\ 75^o < x \leq 135^o$
$Jawab:\ C.$

Contoh soal 24.
Jika $0 \leq x \leq \pi$, maka himpunan penyelesaian pertaksamaan $cos\ x - sin\ 2x < 0$ adalah . . . .
Dengan grafik
Kita sederhanakan pertidaksamaannya terlebih dahulu !
$cos\ x - sin\ 2x < 0$
$cos\ x - 2sin\ x\ cos\ x < 0$
$cos\ x(1 - 2sin\ x) < 0$


$(i).\ cos\ x > 0\ dan\ 1 - 2sin\ x < 0$
Artinya kurva $y = cos\ x$ berada di atas sumbu $x$ dan kurva $y = -2sin\ x + 1$ berada di bawah sumbu $x$. Hal ini terpenuhi pada interval $\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{\pi}{2}$

$(ii).\ cos\ x < 0\ dan\ 1 - 2sin\ x > 0$
Artinya kurva $y = cos\ x$ berada di bawah sumbu $x$ dan kurva $y = -2sin\ x + 1$ berada di bawah sumbu $x$. Hal ini terpenuhi pada interval $\dfrac{5\pi}{6} < x < \pi$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{\pi}{2}$ atau $\dfrac{5\pi}{6} < x < \pi$

Dengan garis bilangan
$cos\ x - sin\ 2x < 0$
$cos\ x - 2sin\ x\ cos\ x < 0$
$cos\ x(1 - 2sin\ x) < 0$
Ubah ke bentuk persamaan
$cos\ x(1 - 2sin\ x) = 0$
$cos\ x = 0 → x = \dfrac{\pi}{2}$

$1 - 2sin\ x = 0$
$sin\ x = \dfrac12 → x = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$


Uji salah satu titik, misalnya titik $x = \dfrac{\pi}{4}$ ke persamaan $cos\ x - sin\ 2x$ ! $cos\ \dfrac{\pi}{4} - sin\ \dfrac{\pi}{2} = \dfrac12\sqrt{2} - 1 → negatif$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{\pi}{2}$ atau $\dfrac{5\pi}{6} < x < \pi$

Contoh soal 25.
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3cos\ x + 1}{cos\ x} \geq 5$ dengan $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$ adalah . . . .
Kali ini kita selesaikan dengan garis bilangan saja.
Adik-adik bisa coba cara grafik.
$\dfrac{3cos\ x + 1}{cos\ x} \geq 5$
$\dfrac{3cos\ x + 1}{cos\ x} - 5 \geq 0$
$\dfrac{3cos\ x + 1}{cos\ x} - \dfrac{5cos\ x}{cos\ x} \geq 0$
$\dfrac{3cos\ x + 1 - 5cos\ x}{cos\ x}\geq 0$
$\dfrac{1 - 2cos\ x}{cos\ x} \geq 0$
Ubah ke persamaan !
$\dfrac{1 - 2cos\ x}{cos\ x} = 0$

$1 - 2cos\ x = 0$
$cos\ x = \dfrac12 → x = -\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{3}$

$cos\ x = 0 → x$ tidak ada yang memenuhi syarat dalam batas interval yang diminta.


Uji salah satu titik, misalnya titik x = 0 ke persamaan $\dfrac{3cos\ x + 1}{cos\ x} - 5$
$\dfrac{3cos\ 0 + 1}{cos\ 0} - 5 = -1$ → negatif. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
$-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{3}$ atau $\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{\pi}{2}$

Contoh soal 26.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{2 - sin\ \theta}{cos\ \theta} \leq \dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta}$ untuk $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ adalah . . . .
$\dfrac{2 - sin\ \theta}{cos\ \theta} - \dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta} \leq 0$
$\dfrac{(2 - sin\ \theta).sin\ \theta}{cos\ \theta.sin\ \theta} - \dfrac{cos\ \theta.cos\ \theta}{cos\ \theta.sin\ \theta} \leq 0$
$\dfrac{2sin\ \theta - sin^2\ \theta - cos^2\ \theta}{cos\ \theta.sin\ \theta} \leq 0$
$\dfrac{2sin\ \theta - sin^2\ \theta - (1 - sin^2\ \theta)}{cos\ \theta.sin\ \theta} \leq 0$
$\dfrac{(2sin\ \theta - 1)}{cos\ \theta.sin\ \theta} \leq 0$ → $\theta \ne 0,\ x \ne \dfrac{\pi}{2}$
Ubah ke bentuk persamaan !
$\dfrac{(2sin\ \theta - 1)}{cos\ \theta.sin\ \theta} = 0$

$2sin\ \theta - 1 = 0$
$sin\ \theta = \dfrac12 → \theta = \dfrac{\pi}{6}$

$sin\ \theta = 0 → \theta = 0$

$cos\ \theta = 0 → \theta = \dfrac{\pi}{2}$


Uji salah satu titik, misalnya titik $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ke persamaan $\dfrac{(2sin\ \theta - 1)}{cos\ \theta.sin\ \theta}$
$\dfrac{(2sin\ \dfrac{\pi}{4} - 1)}{cos\ \dfrac{\pi}{4}.sin\ \dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\dfrac12\sqrt{2} - 1}{\dfrac12\sqrt{2}.\dfrac12\sqrt{2}} →$ positif. Karena yang diminta adalah yang negatif (< 0), maka himpunan penyelesaiannya adalah:
$0 < \theta \leq \dfrac{\pi}{6}$.

Contoh soal 27.
Jika pertidaksamaan $2sin^2\ x + \sqrt{3}sin\ x - 3 \geq 0$ mempunyai penyelesaian dalam interval $\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$, maka selisih nilai terbesar dan terkecil dari $x$ adalah . . . .
$2sin^2\ x + \sqrt{3}sin\ x - 3 \geq 0$
Misalkan $sin\ x = p$
$2p^2 + \sqrt{3}p - 3 \geq 0$
$(p + \sqrt{3})(2p - \sqrt{3}) \geq 0$
$p \leq -\sqrt{3}$ atau $p \geq \dfrac12\sqrt{3}$
$(i).\ sin\ x \leq -\sqrt{3}$ ← tidak mungkin, karena $-1 \leq sin\ x \leq 1$

$(ii).\ sin\ x \geq \dfrac12\sqrt{3}$ Hanya dengan membayangkan grafik dari $y = sin\ x$ kita dapat dengan mudah mengetahui


himpunan penyelesaiannya.
Himpunan penyelesaiannya adalah:
$\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{2\pi}{3}$
$x$ terbesar $= \dfrac{2\pi}{3}$
$x$ terkecil $= \dfrac{\pi}{2}$
Selisih nilai $x$ terbesar dan $x$ terkecil $= \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{6}$
[Silahkan coba dengan garis bilangan]

Contoh soal 28.
Grafik fungsi $f(x) = \sqrt{3}cos\ x$ terletak di bawah grafik
$g(x) = \sqrt{2} - sin\ x$ pada interval . . . .
$A.\ 75^o < x < 285^o$
$B.\ 75^o < x < 345^o$
$C.\ x < 75^o\ atau\ x > 285^o$
$D.\ x < 75^o\ atau\ x > 345^o$
$E.\ x < 15^o\ atau\ x > 75^o$
$f(x)$ terletak di bawah grafik $g(x)$ berarti $f(x) < g(x)$
$\sqrt{3}cos\ x < \sqrt{2} - sin\ x$
$\sqrt{3}cos\ x + sin\ x < \sqrt{2}$

Bentuk $acos\ x + bsin\ x < c$
Ubah ke bentuk $kcos(x - \theta) < c$
$k = \sqrt{a^2 + b^2}$
$\theta = arc\ tan(\dfrac ba)$

$k = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$
$k = 2$
$tan\ \theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac13\sqrt{3}$
$\theta = 30^o$
Pertidaksamaan menjadi:
$2cos(x - 30^o) < \sqrt{2}$
$cos(x - 30^o) < \dfrac12\sqrt{2}$
Ubah ke bentuk persamaan !
$cos (x - 30^o) = \dfrac12\sqrt{2}$
$cos(x - 30^o) = cos\ 45^o$
$x - 30^o = \pm 45^o \pm k.360^o$

$(i).\ x - 30^o = 45^o \pm k.360^o$
$x = 75^o \pm k.360^o$
$k = 0 → x = 75^o$

$(ii).\ x - 30^o = -45^o \pm k.360^o$
$x = -15^o \pm k.360^o$
$k = 1 → x = 345^o$


Himpunan penyelesaiannya adalah:
$75^o < x < 345^o$
$Jawab:\ B.$

Contoh soal 29.
Penyelesaian pertidaksamaan $3sin\ 2x - \sqrt{3}cos\ 2x < 3$, $0 \leq x \leq \pi$ adalah . . . .
Sama seperti contoh soal nomor 28.
Ubah ke bentuk $kcos(x - \theta) < c$
$k = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}$
$k = 2\sqrt{3}$
$tan\ \theta = \dfrac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$
$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$
Pertidaksamaan menjadi:
$2\sqrt{3}cos(2x - \dfrac{2\pi}{3}) < 3$
$cos(2x - \dfrac{2\pi}{3}) < \dfrac12\sqrt{3}$
Ubah ke bentuk persamaan !
$cos(2x - \dfrac{2\pi}{3}) = \dfrac12\sqrt{3}$
$cos(2x - \dfrac{2\pi}{3}) = cos\ \dfrac{\pi}{6}$
$(2x - \dfrac{2\pi}{3}) = \pm \dfrac{\pi}{6} \pm k.2\pi$
$(i).\ 2x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} \pm k.2\pi$
$2x = \dfrac{5\pi}{6} \pm k.2\pi$
$x = \dfrac{5\pi}{12} \pm k.\pi$
$k = 0 → x = \dfrac{5\pi}{12}$
$(ii).\ 2x - \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \pm k.2\pi$
$2x = \dfrac{\pi}{2} \pm k.2\pi$
$x = \dfrac{\pi}{4} \pm k.\pi$
$k = 0 → x = \dfrac{\pi}{4}$


Himpunan penyelesaiannya adalah:
$0 \leq x < \dfrac{\pi}{4}$ atau $\dfrac{5\pi}{12} < x \leq \pi$

Contoh soal 30.
Nilai $x$ yang memenuhi $sin\ x - cos\ x > 0,$ $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah . . . .
$sin\ x - cos\ x > 0$
Ubah ke bentuk $kcos(x - \theta) > 0$
Tapi kita akan mencari himpunan penyelesaian dengan grafik, karena lebih mudah.

$sin\ x - cos\ x > 0$
$sin\ x > cos\ x$
Ini berarti kurva $y = sin\ x$ berada di atas kurva $y = cos\ x$. Hanya dengan membayangkan kurva dari $y = sin\ x$ dan $y = cos\ x$ kita bisa menentukan himpunan penyelesaian. Tetapi supaya lebih jelas, perhatikan gambar berikut !


Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah:
$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}$

Demikianlah Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri, semoga bermanfaat. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.