MARETONG: Aplikasi Rumus Permutasi dan Kombinasi

Monday, December 16, 2019

Aplikasi Rumus Permutasi dan Kombinasi


Aplikasi Rumus Permutasi dan Kombinasi serta Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Apa sih perbedaan antara permutasi dan kombinasi? Pertanyaan ini sering sekali ditanyakan oleh adik-adik yang sedang mempelajari materi permutasi dan kombinasi. Sebelum membahas materi aplikasi rumus permutasi dan kombinasi dalam bentuk soal dan pembahasan, perlu memahami pengertian faktorial, permutasi dan kombinasi terlebih dahulu. Baiklah, admin akan menjelaskan secara singkat satu persatu.

Pengertian Faktorial

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan. Untuk setiap $n$ bilangan asli, maka:
$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$

Catatan:
$1! = 1$ dan $0! = 1$
$n! = n \times (n - 1)!$
$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2)!$

Ilustrasi:
$\begin{align}
6! &= 6.5.4.3.2.1\\
&= 6.5.4.3.2!\\
&= 6.5.4.3!\\
&= 6.5.4!\\
&= 6.5!\\
\end{align}$

Pengertian Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari sebagian atau seluruh unsur suatu himpunan. Misalkan himpunan A beranggotakan p, q, dan r maka susunan satu huruf atau permutasi 1 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah p, q, dan r (ada 3 susunan), susunan dua huruf atau permutasi 2 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah pq, qp, pr, rp, qr, dan rq (ada 6 susunan), susunan tiga huruf atau permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah pqr, prq, qpr, qrp, rpq, dan rqp (ada 6 susunan). Permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia dimana setiap unsur adalah berbeda atau berlainan dan $r \leq n$, harus memperhatikan urutan dan posisi. Perhatikan bahwa ab tidak sama dengan ba, demikian juga abc tidak sama dengan acb dan seterusnya. Beberapa notasi dari permutasi adalah $_nP_r,\ ^nP_r,\ P^n_r,\ P_{(n,r)},\ P_{n, r},\ P(n,r)$. Admin akan menggunakan notasi $P(n, r)$, karena lebih mudah untuk mengetiknya.

Rumus Permutasi Dengan Unsur yang Berbeda

Banyaknya permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia dimana setiap unsur adalah berbeda dirumuskan sebagai berikut:

$P(n,r) = \dfrac{n!}{(n - r)!}$ dimana $r \leq n$.

Rumus Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama

Sebagai ilustrasi, perhatikanlah kata NANONANOMAMA, kita bisa melihat bahwa kata tersebut terdiri dari $n = 12$ unsur dan ada beberapa unsur yang sama yaitu A ada 4, N ada 4, O ada 2, dan M ada 2. Jika dari $n$ unsur yang tersedia ada unsur-unsur yang sama, misalkan ada $n_1$ unsur yang sama, $n_2$ unsur yang sama, $n_3$ unsur yang sama dan seterusnya, maka permutasi tersebut dirumuskan sebagai berikut:

$P^n_{n_1, n_2, n_3,\cdots} = \dfrac{n!}{n_1!.n_2!.n_3!. \cdots}$

Rumus Permutasi Siklis

Jika tersedia $n$ unsur yang berbeda, maka banyaknya permutasi siklis dari $n$ unsur tersebut dirumuskan sebagai berikut:

$P_{siklis} = (n - 1)!$

Rumus Permutasi Berulang

Jika tersedia $n$ unsur yang berbeda, maka banyaknya permutasi berulang $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia dirumuskan sebagai berikut:

$P_{berulang} = n^r$, dengan $r \leq n$

Pengertian dan Rumus Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan sebagian atau seluruh unsur dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan dan posisi dari anggota kelompoknya. Misalkan anggota suatu himpunan A adalah p, q, dan r, maka kombinasi 1 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah p, q, dan r (ada tiga susunan). Kombinasi 2 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah pq, pr, dan qr (ada tiga susunan). Perhatikan bahwa pq = qp, pr = rp, qr = rq. Kombinasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah abc (satu susunan). Perhatikan bahwa pqr = prq = qpr = qrp = rpq = rqp. Dengan demikian jelas terlihat perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Beberapa notasi dari kombinasi adalah $_nC_r,\ ^nC_r,\ C^n_r,\ C_{(n,r)},\ C_{n, r},\ \left(^n_r\right),\ C(n,r)$. Admin akan menggunakan notasi $C(n, r)$, karena lebih mudah untuk mengetiknya.

Banyaknya kombinasi $r$ unsur dari $n$ unsur yang berbeda dirumuskan sebagai berikut:

$C(n, r) = \dfrac{n!}{(n - r)!.r!}$

Note:
$\bullet\ jika\ r = n → C(n, n) = 1$
$\bullet\ jika\ r = 0 → C(n, 0) = 1$
$\bullet\ C(0, 0) = 1$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal dan Pembahasan Faktorial

1. $5! - 4! - 3!$ sama dengan . . . .
$A.\ 15 \times 3!$
$B.\ 15 \times 4!$
$C.\ 5 \times 13!$
$D.\ 3 \times 15!$
$E.\ 13! \times 15!$
[Contoh Soal dan Pembahasan Faktorial]
$5! - 4! - 3! = 5.4.3! - 4.3! - 3!$
$= (5.4 - 4 - 1).3!$
$= (20 - 4 - 1).3!$
$= 15.3!$
jawab: A.

2. Nilai dari $\dfrac{15!}{13!.2!}$ adalah . . . .
$A.\ 85$
$B.\ 95$
$C.\ 105$
$D.\ 115$
$E.\ 125$
[Contoh Soal dan Pembahasan Faktorial]
$\dfrac{15!}{13!.2!} = \dfrac{15.14.13!}{13!.2.1}$
$= \dfrac{15.14}{2.1}$
$= 15.7$
$= 105$
jawab: C.

3. Bentuk sederhana dari: $2.1! + 4.2! + 6.3! + \cdots + 200.100!$ adalah . . . .
$A.\ 100! - 2$
$B.\ 101! - 2$
$C.\ 2(100! - 1)$
$D.\ 2(101! - 1)$
$E.\ 2(101! + 1)$
[Contoh Soal dan Pembahasan faktorial]
$2.1! + 4.2! + 6.3! + \cdots + 200.100!$
$= 2(1.1! + 2.2! + 3.3! + \cdots + 100.100!)$
$= 2((2 - 1).1! + (3 - 1).2! + (4 - 1).3!) +$ $\cdots + (101 - 1).100!$
$= 2(2.1! - 1!) + (3.2! - 2!) + (4.3! - 3!) +$ $\cdots + (101.100! - 100!))$
$= 2(2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + \cdots +$ $101! - 100!)$
$= 2(-1! + 101!)$
$= 2(101! - 1)$
jawab: D.

4. Untuk $n \geq 1$, maka $(n - 1)(n - 1)!$ sama dengan . . . .
$A.\ n! + (n - 1)!$
$B.\ (n - 1)! - n!$
$C.\ n! - (n - 1)!$
$D.\ n! + (n - 1)$
$E.\ (n - 1)! + n - 1$
[Contoh Soal dan Pembahasan Faktorial]
$(n - 1)(n - 1)! = n.(n - 1)! - 1.(n - 1)!$
$= n! - (n - 1)!$
jawab: C.

5. $\dfrac{5(2n + 1)!}{(n + 2)!} = \dfrac{3(2n - 1)!}{(n - 1)!}$, maka nilai $n$ adalah . . . .
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
[Contoh Soal dan Pembahasan Faktorial]
$\dfrac{5(2n + 1)!}{(n + 2)!} = \dfrac{3(2n - 1)!}{(n - 1)!}$
$\dfrac{5(2n + 1)!}{(2n - 1)!} = \dfrac{3(n + 2)!}{(n - 1)!}$
$\dfrac{5.(2n + 1).(2n).(2n - 1)!}{(2n - 1)!} =$ $\dfrac{3(n + 2).(n + 1).(n).(n - 1)!}{(n - 1)!}$
$5(2n + 1).2 = 3(n + 2).(n + 1)$
$10(2n + 1) = 3(n^2 + 3n + 2)$
$20n + 10 = 3n^2 + 9n + 6$
$3n^2 - 11n - 4 = 0$
$(3n + 1)(n - 4) = 0$
$n = -\dfrac13 →$ tidak memenuhi, karena $n$ harus bilangan asli
$n = 4$
jawab: B.

Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Unsur yang Berbeda

6. Banyak cara 5 orang dapat berdiri berdampingan dalam suatu sesi foto-foto adalah . . . . cara
A. 240
B. 180
C. 120
D. 100
E. 80
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
$n = 5,\ r = 5$
$P(5,\ 5) = \dfrac{5!}{(5 - 5)!}$
$= \dfrac{5!}{0!}$
$= 5!$
$= 5.4.3.2.1$
$= 120\ cara$
jawab: C.

7. Banyak bilangan yang terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka 1 sampai 9 tanpa ada angka yang berulang adalah . . . .
A. 640
B. 540
C. 504
D. 480
E. 408
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
$n = 9,\ r = 3$
$P(9,\ 3) = \dfrac{9!}{(9 - 3)!}$
$= \dfrac{9!}{6!}$
$= \dfrac{9.8.7.6!}{6!}$
$= 9.8.7$
$= 504$
jawab: C.

8. Banyak kata yang terdiri dari 4 huruf yang bisa disusun dari kata PINDAH jika tidak ada huruf yang sama adalah . . . .
A. 120
B. 240
C. 360
D. 480
E. 720
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
$n = 6,\ r = 4$
$P(6,\ 4) = \dfrac{6!}{(6 - 4)!}$
$= \dfrac{6!}{2!}$
$= \dfrac{6.5.4.3.2!}{2!}$
$= 6.5.4.3$
$= 360$
jawab: C.

9. Sebuah gedung mempunyai 5 pintu masuk. Jika 3 orang hendak memasuki gedung itu, banyaknya cara mereka masuk dari pintu yang berlainan adalah . . . .
A. 60
B. 50
C. 30
D. 20
E. 10
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
$n = 5,\ r = 3$
$P(5,\ 3) = \dfrac{5!}{(5 - 3)!}$
$= \dfrac{5!}{2!}$
$= \dfrac{5.4.3.2!}{2!}$
$= 5.4.3$
$= 60$
jawab: A.

10. Dalam sebuah ruang tunggu terdapat 2 kursi. Jika di ruang tunggu tersebut ada 10 orang, banyak cara mereka duduk berdampingan adalah . . . . cara.
A. 120
B. 90
C. 60
D. 30
E. 10
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
$n = 10,\ r = 2$
$P(10,\ 2) = \dfrac{10!}{(10 - 2)!}$
$= \dfrac{10!}{8!}$
$= \dfrac{10.9.8!}{8!}$
$= 10.9$
$= 90$
jawab: B.

11. Ada 10 orang calon pengurus OSIS yang akan menempati posisi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak formasi pengurus OSIS yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 3650
B. 4840
C. 5040
D. 5420
E. 6040
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
$n = 10,\ r = 4$
$P(10,\ 4) = \dfrac{10!}{(10 - 4)!}$
$= \dfrac{10!}{6!}$
$= \dfrac{10.9.8.7.6!}{6!}$
$= 10.9.8.7$
$= 5040$
jawab: C.

12. Terdapat 7 gambar yang berbeda dan diberi nomor 1 sampai 7, yang akan disusun pada sebuah majalah dinding (mading) dimana gambar dengan nomor 1, 2, dan 3 harus selalu bersama-sama. Banyak susunan yang mungkin adalah . . . .
A. 120
B. 240
C. 360
D. 720
E. 840
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
Banyak susunan gambar 1, 2, dan 3:
$P(3,\ 3) = 3! = 3.2.1 = 6$

Karena gambar dengan nomor 1, 2, dan 3 selalu bersama-sama, maka ketiga gambar tersebut bisa dipandang sebagai satu gambar, sehingga gambar seluruhnya dianggap hanya 5 gambar.
Banyak susunan 5 gambar:
$P(5,\ 5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120$

Banyak susunan seluruhnya:
$P(3,\ 3) \times P(5,\ 5) = 6.120 = 720$
jawab: D.

13. Andi memiliki 4 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku kimia, dimana masing-masing buku berbeda dengan lainnya. Buku-buku tersebut akan disusun dalam sebuah rak buku sehingga buku matematika bersama-sama, buku fisika bersama-sama, buku kimia bersama-sama. Banyak susunan yang mungkin adalah . . . .
A. 2732
B. 2728
C. 1732
D. 1728
E. 728
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
Banyaknya susunan buku matematika:
$P(4,\ 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24$

Banyaknya susunan buku fisika:
$P(3,\ 3) = 3! = 3.2.1 = 6$

Banyaknya susunan buku kimia:
$P(2,\ 2) = 2! = 2.1 = 2$

Banyak susunan buku matematika, fisika, dan kimia dimana semua buku matematika dianggap 1, semua buku fisika dianggap 1, dan semua buku kimia dianggap 1.
$P(3,\ 3) = 3! = 3.2.1 = 6$.

Banyak susunan seluruhnya:
$P(4,\ 4).P(3,\ 3).P(2,\ 2).P(3,\ 3) = 24.6.2.6$
$= 1728$
jawab: D.

14. Banyak kata yang terdiri dari enam huruf yang bisa dibentuk dari kata MONDAY apabila huruf pertama merupakan huruf vokal adalah . . . .
A. 60
B. 90
C. 120
D. 180
E. 240
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi dari Unsur yang Berbeda]
Huruf pertama harus huruf vokal, berarti huruf pertama haruslah huruf A atau O (ada 2 susunan). Banyak susunan huruf pertama adalah $2! = 2.1 = 2$. Jika huruf pertama sudah ditentukan, maka tinggal 5 huruf lagi yang harus disusun membentuk kata yang terdiri dari 5 huruf. Banyak susunan 5 huruf berbeda dari 5 huruf yang tersedia adalah $5! = 5.4.3.2.1 = 120$. Dengan demikian, banyak kata yang bisa dibentuk adalah $2.120 = 240$ kata.
jawab: E.

Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama

15. Dari angka 3, 3, 4, 5, 5, 6 akan dibentuk bilangan 6 angka. Banyak bilangan yang akan terbentuk adalah . . . .
A. 120
B. 140
C. 160
D. 180
E. 210
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama]
$n = 6$
Angka 3 ada dua sehingga $n_1 = 2$, angka 5 ada dua sehingga $n_3 = 2$.
$P^6_{(2,2)} = \dfrac{6!}{2!.2!}$
$= \dfrac{6.5.4.3.2!}{2!.2.1}$
$= 180$
jawab: D.

16. Banyak kata yang terdiri dari 5 huruf yang bisa disusun dari huruf CABE jika hanya huruf A yang boleh muncul 2 kali adalah . . . .
A. 120
B. 90
C. 60
D. 40
E. 20
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama]
Karena huruf A saja yang boleh muncul 2 kali, maka huruf yang akan disusun bisa kita anggap sebagai ACABE.
$n = 5$
$n_1 = 2$
$P^5_{(2)} = \dfrac{5!}{2!}$
$= \dfrac{5.4.3.2!}{2!}$
$= 5.4.3$
$= 60$
jawab: C.

17. Banyak permutasi berlainan yang dapat dibentuk dari semua huruf-huruf pada kata MAKARAM adalah . . . .
A. 240
B. 280
C. 340
D. 380
E. 420
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama]
$n = 7$
$n_1 = 2$ (huruf M), $n_2 = 3$ (huruf A)

$P^7_{(2,\ 3)} = \dfrac{7!}{2!.3!}$
$= \dfrac{7.6.5.4.3!}{2.1.3!}$
$= \dfrac{7.6.5.4}{2}$
$= 420$
jawab: E.

18. Andre ingin membuat tanda dengan 7 bendera yang terdiri dari 4 bendera warna merah dan 3 bendera warna hijau. Seluruh bendera digantung pada sebuah tiang. Banyak tanda yang bisa dibuat oleh Andre adalah . . . .
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
E. 50
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama]
$n = 7$
$n_1 = 4$ (4 bendera merah), $n_2 = 3$ (3 bendera hijau)
$P^7_{(4,\ 3)} = \dfrac{7!}{4!.3!}$
$= \dfrac{7.6.5.4!}{4!.3.2.1}$
$= \dfrac{7.6.5}{6}$
$= 35$
jawab: B.

19. Tiga buku yang berbeda masing-masing memiliki 3 salinan yang identik. Banyak cara untuk menyusun buku-buku tersebut dalam sebuah rak buku adalah . . . .
A. 3480
B. 2780
C. 2180
D. 1880
E. 1680
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama]
$n = 3.3 = 9$
$n_1 = 3,\ n_2 = 3,\ n_3 = 3$

$P^9_{(3,3,3)} = \dfrac{9!}{3!.3!.3!}$
$= \dfrac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!.3.2.1.3.2.1}$
$= \dfrac{9.8.7.5.4}{6}$
$= 1680$
jawab: E.

20. Luna mempunyai 5 balon warna hijau, 3 balon warna kuning, dan 2 balon warna merah. Seluruh balon akan disusun berjejer dan setiap balon adalah identik, maka banyak susunan yang mungkin jika balon warna merah harus berada pada sisi paling ujung adalah . . . .
A. 72
B. 65
C. 56
D. 48
E. 35
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Dengan Beberapa Unsur yang Sama]
Karena balon warna merah sudah ditetapkan menenpati posisi paling ujung, tinggal mengatur balon warna hijau dan kuning diantara kedua balon warna merah.
Banyak susunan:
$n = 5 + 3 = 8$
$n_1 = 5$ (5 balon warna hijau), $n_2 = 3$ (tiga balon warna kuning)
$P^8_{(5, 3)} = \dfrac{8!}{5!.3!}$
$= \dfrac{8.7.6.5!}{5!.3.2.1}$
$= 8.7$
$= 56$
jawab: C.

Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Siklis

21. Banyak cara untuk mengatur 5 orang untuk menduduki kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar adalah . . . . cara.
A. 60
B. 48
C. 32
D. 24
E. 18
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Siklis]
$n = 5$
$P_{siklis} = (n - 1)!$
$= (5 - 1)!$
$= 4!$
$= 4.3.2.1$
$= 24$
jawab: D.

22. Banyak cara untuk mengatur 3 orang Jepang, 4 orang Korea, dan 2 orang Tionghoa untuk duduk mengelilingi sebuah meja bundar, sehingga mereka yang satu negara duduk berkelompok adalah . . . . cara.
A. 968
B. 756
C. 654
D. 576
E. 472
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi siklis]
Susunan orang Jepang:
$P(3, 3) = 3! = 3.2.1 = 6$

Susunan orang Korea:
$P(4, 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24$

Susunan orang Tionghoa:
$P(2, 2) = 2! = 2.1 = 2$

Susunan negara:
Ada 3 negara disusun mengelilingi meja bundar
$P_{siklis} = (3 - 1)!$
$= 2!$
$= 2.1$
$= 2$

Banyak susunan seluruhnya:
$6.24.2.2 = 576$
jawab: D.

23. Delapan orang guru termasuk satu orang kepala sekolah dan satu orang wakil kepala sekolah akan mengadakan rapat dengan duduk mengelilingi meja bundar. Banyak cara untuk mengatur susunan duduk jika wakil kepala sekolah harus duduk disamping kepala sekolah adalah . . . .
A. 3430
B. 2840
C. 2120
D. 1860
D. 1440
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Siklis]
Karena wakil kepala sekolah harus duduk disamping kepala sekolah, kita bisa menganggap mereka hanya 1 orng. Banyak cara untuk mengatur duduk kepala sekolah dan wakil kepala sekolah ada $2! = 2$ cara. Karena Kepala sekolah dan wakil kepala sekolah sudah kita anggap hanya 1 orang, maka jumlah guru menjadi 7 orang saja, sehingga banyak permutasi siklis menjadi:
$P_{siklis} = (7 - 1)!$
$= 6!$
$= 6.5.4.3.2.1$
$= 720$

Banyak susunan seluruhnya:
$2.720 = 1440$
jawab: D.

24. Dalam suatu jamuan makan terdapat 4 orang laki-laki dan 4 orang perempuan. Jika setiap perempuan harus duduk diantara dua laki-laki, maka banyak susunan yang dapat terjadi adalah . . . .
A. 488
B. 362
C. 288
D. 144
E. 72
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Siklis]
Karena perempuan harus duduk diantara dua laki-laki, maka kita anggap saja laki-laki duduk lebih dahulu. Sehingga banyak susunan duduk laki-laki adalah:
$P_{siklis} = (4 - 1)!$
$= 3!$
$= 3.2.1$
$= 6$

Karena setiap perempuan harus duduk diantara dua laki-laki, maka banyak susunan duduk perempuan adalah:
$P(4, 4) = 4!$
$= 4.3.2.1$
$= 24$

Banyak susunan seluruhnya:
$6.24 = 144$
jawab: D.

25. Sebuah gelang emas akan dihiasi dengan 5 butir berlian di sekelilingnya. Jika jenis dan ukuran berliannya adalah berbeda, maka banyak susunan berlian yang mungkin terjadi adalah . . . .
A. 96
B. 84
C. 64
D. 32
E. 24
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Siklis]
$P_{siklis} = (5 - 1)!$
$= 4!$
$= 4.3.2.1$
$= 24$
jawab: E.

Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Berulang

26. Diberikan angka-angka 2, 3, 4, 7, dan 9. Jika pengulangan diperbolehkan, maka banyak cara menyusun bilangan yang terdiri dari tiga angka dari angka-angka tersebut adalah . . . .
A. 5
B. 25
C. 120
D. 125
E. 225
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Berulang]
Karena angka-angka boleh berulang, maka angka ratusan, puluhan, dan satuan masing-masing boleh diisi oleh angka 2, 3, 4, 7, dan 9 (ada 5 angka). Sehingga banyak bilangan yang mungkin adalah $5.5.5 = 5^3 = 125$.
jawab: D.

27. Banyak bilangan 4 angka yang bisa dibentuk dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 9 jika pengulangan diperbolehkan adalah . . .
$A.\ 8^4$
$B.\ 7.8^4$
$C.\ 7.8^3$
$D.\ 8^3$
$E.\ 7.8^2$
[Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Berulang]
Ribuan hanya boleh diisi oleh angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 9 (ada 7 angka) karena angka 0 tidak diperbolehkan mengawali angka sebuah bilangan. Angka ratusan, puluhan, dan satuan masing-masing boleh diisi oleh angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 9 (ada 8 angka). Dengan demikian banyak bilangan yang terbentuk adalah $7.8.8.8 = 7.8^3$.
jawab: C.

Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi

28. Nilai dari $C(10, 7) = \cdots$
A. 120
B. 160
C. 180
D. 200
E. 220
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
$C(10, 7) = \dfrac{10!}{(10 - 7)!.7!}$
$= \dfrac{10!}{3!.7!}$
$= \dfrac{10.9.8.7!}{3.2.1.7!}$
$= \dfrac{10.9.8}{6}$
$= 120$
jawab: A.

29. Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $C(n, 12) = C(n, 8)$ adalah . . . .
A. 12
B. 14
C. 16
D. 20
E. 24
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
$C(n, 12) = C(n, 8)$
$\dfrac{n!}{(n - 12)!.12!} = \dfrac{n!}{(n - 8)!.8!}$
$\dfrac{(n - 8)!}{(n - 12)!} = \dfrac{12!}{8!}$
$\dfrac{(n - 8).(n - 9).(n - 10).(n - 9)(n - 8)!}{(n - 8)!} = \dfrac{12.11.10.9.8!}{8!}$
$(n - 8).(n - 9).(n - 10).(n - 9) = 12.11.10.9$
Perhatikan perkalian 4 bilangan berurutan !
$n - 8 = 12$
$n = 20$
jawab: D.

30. Dari 12 orang siswa yang pintar akan dipilih 3 orang siswa untuk megikuti kompetisi matematika. Banyak kelompok yang terbentuk jika setiap kelompok merupakan orang yang berbeda adalah . . . .
A. 110
B. 220
C. 330
D. 440
E. 550
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
Tiga orang yang dipilih memiliki kedudukan yang sama. Sehingga soal seperi ini harus diselesaikan dengan rumus kombinasi.
Banyak kelompok:
$C(12, 3) = \dfrac{12!}{(12 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{12!}{9!.3!}$
$= \dfrac{12.11.10.9!}{9!.3.2.1}$
$= \dfrac{12.11.10}{6}$
$= 220$
jawab: B.

31. Banyak diagonal sebuah segi delapan adalah . . . .
A. 28
B. 24
C. 20
D. 18
E. 14
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
Diagonal adalah garis yang menghubungkan dua titik sudut. Segi delapan memiliki 8 titik sudut dan jika setiap dua titik sudut dihubungkan maka akan terbentuk garis sebanyak:
$C(8, 2) = \dfrac{8!}{(8 - 2)!.2!}$
$= \dfrac{8!}{6!.2!}$
$= \dfrac{8.7.6!}{6!.2.1}$
$= \dfrac{8.7}{2}$
$= 28$ garis.
Karena segi 8 memiliki sisi sebanyak 8, maka banyak diagonal adalah $28 - 8 = 20$.
jawab: C.

32. Dari 5 orang putra dan 10 orang putri akan dibentuk suatu tim yang terdiri dari 3 orang putra dan 2 orang putri. Banyak tim yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 35
B. 55
C. 150
D. 450
E. 540
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
Banyak cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang putra:
$C(5, 3) = \dfrac{5!}{(5 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{5!}{2!.3!}$
$= \dfrac{5.4.3!}{2.1.3!}$
$= \dfrac{5.4}{2}$
$= 10$ cara.

Banyak cara untuk memilih 2 orang dari 10 orang putri:
$C(10, 2) = \dfrac{10!}{(10 - 2)!.2!}$
$= \dfrac{10!}{8!.2!}$
$= \dfrac{10.9.8!}{8!.2.1}$
$= \dfrac{10.9}{2}$
$= 45$ cara.

Banyak tim yang dapat terbentuk $= 10.45 = 450$.
jawab: D.

33. Seorang siswa diminta untuk mengerjakan 5 soal dari 10 soal yang tersedia, tetapi soal nomor 1 dan soal nomor 3 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambil siswa tersebut adalah . . . .
A. 14
B. 21
C. 28
D. 35
E. 56
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
Karena soal nomor 1 dan soal nomor 3 wajib dikerjakan, maka siswa tersebut tinggal memilih 3 soal lagi dari 8 soal yang masih sisa.
$C(8, 3) = \dfrac{8!}{(8 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{8!}{5!.3!}$
$= \dfrac{8.7.6.5!}{5!.3.2.1}$
$= 8.7$
$= 56$
jawab: E.

34. Sepuluh orang akan bepergian dengan 2 mobil yang masing-masing berkapasitas 6 orang dan 7 orang. Banyaknya kemungkinan distribusi penumpang pada kedua mobil adalah . . . .
A. 792
B. 972
C. 1.458
D. 1548
E. 1684
[Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi]
Karena mobil I memiliki kapasitas 6 orang dan mobil II berkapasitas 7 orang, maka jumlah penumpang minimum pada mobil I haruslah 3 orang supaya yang 7 orang sisa bisa muat di mobil II.
Formasi Pertama:
3 orang pada mobil I dan sisanya otomatis masuk mobil II:
$C(10, 3) = \dfrac{10!}{(10 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{10!}{7!.3!}$
$= \dfrac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1}$
$= 120$

Formasi Kedua:
4 orang pada mobil pertama dan sisanya otomatis masuk mobil II:
$C(10, 4) = \dfrac{10!}{(10 - 4)!.4!}$
$= \dfrac{10!}{6!.4!}$
$= \dfrac{10.9.8.7.6!}{6!.4.3.2.1}$
$= 210$

Formasi Ketiga:
5 orang pada mobil I dan sisanya otomatis masuk mobil II:
$C(10, 5) = \dfrac{10!}{(10 - 5)!.5!}$
$= \dfrac{10!}{5!.5!}$
$= \dfrac{10.9.8.7.6.5!}{5!.5.4.3.2.1}$
$= 252$

Formasi Keempat:
6 orang pada mobil I dan sisanya otomatis masuk mobil II:
$C(10, 6) = \dfrac{10!}{(10 - 6)!.6!}$
$= \dfrac{10!}{4!.6!}$
$= \dfrac{10.9.8.7.6!}{4.3.2.1.6!}$
$= 210$

Jumlah formasi seluruhnya:
$120 + 210 + 252 + 210 = 792$
jawab: A.

35. Suatu tim bulutangkis terdiri dari 10 orang putra dan 5 orang putri. Dari tim ini akan dibuat pasangan ganda, baik ganda putra, ganda putri, maupun ganda campuran. Banyak pasangan ganda yang dapat dibuat adalah . . . .
A. 45
B. 50
C. 55
D. 95
E. 105
[Contoh soal dan Pembahasan kombinasi]
Banyak tim ganda putra:
$C(10, 2) = \dfrac{10!}{8!.2!}$
$= \dfrac{10.9.8!}{8!.2.1}$
$= 45$

Banyak tim ganda putri:
$C(5, 2) = \dfrac{5!}{3!.2!}$
$= \dfrac{5.4.3!}{3!.2.1}$
$= 10$

Banyak ganda campuran:
Ganda campuran terdiri dari 1 putra dan 1 putri. Dengan demikian harus dipilih 1 dari 10 orang putra dan 1 dari 5 orang putri.
$C(10, 1).C(5, 1) = \dfrac{10!}{9!.1!}.\dfrac{5!}{4!.1!}$
$= \dfrac{10.9!}{9!.1}.\dfrac{5.4!}{4!.1}$
$= 10.5$
$= 50$

Banyak pasangan ganda seluruhnya:
$45 + 10 + 50 = 105$
jawab: E.

Demikianlah alikasi rumus permutasi dan kombinsi, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.