Topik yang akan kita ulas pada episode kali ini adalah Limit Fungsi Aljabar dengan contoh soal dan pembaasan. Limit fungsi aljabar yang akan kita bahas adalah limit bentuk tertentu dan limit bentuk tak tentu. Limit bentuk tertentu adalah jika nilai limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dapat kita peroleh dengan cara mensubsitusikan nilai $a$ ke dalam rumus $f(x)$. Jika f(x) terdefinisi untuk $x = a$ dengan $f(a) = c$, maka:
$\displaystyle \lim_{x \to a}\ f(x) = f(a) = c$
Jika nilai limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ tidak dapat kita peroleh dengan cara mensubsitusikan nilai $a$ ke dalam rumus $f(x)$, karena akan diperoleh bentuk $\dfrac{0}{0},\ \dfrac{\infty}{\infty},\ \infty - \infty,\ dan\ \dfrac{p}{0} - \dfrac{q}{0},$ maka limit seperti ini disebut limit tak tentu. Limit tak tentu memiliki cara penyelesaian sesuai dengan konteks dari masing-masing bentuk soal dan akan kita ulas secara singkat sebelum kita masuk ke materi soal dan pembahasan limit fungsi aljabar. Secara umum masalah limit tak tentu dapat diatasi dengan cara melakukan operasi aljabar seperti memfaktorkan, membagi, mengalikan dengan bentuk sekawan, dan lain-lain. Supaya lebih mudah untuk memahami persoalan tentang limit, sebaiknya simak terlebih dahulu tentang sifat-sifat limit berikut:
$1.\ \displaystyle \lim_{x \to a} c = c$, dimana c adalah suatu konstanta.
$2.\ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
$3.\ \displaystyle \lim_{x \to a}kf(x) = k\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$
$4.\ \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$
$5.\ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a}f(x).\lim_{x \to a}g(x)$
$6.\ \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\displaystyle _{x \to a}^{lim}\ f(x)}{\displaystyle _{x \to a}^{lim}\ g(x)}$
$7.\ \displaystyle \lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n = \left(\displaystyle _{x \to a}^{lim} f(x) \right)^n$
$8.\ \displaystyle \lim_{x \to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)}$
$2.\ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
$3.\ \displaystyle \lim_{x \to a}kf(x) = k\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$
$4.\ \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$
$5.\ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a}f(x).\lim_{x \to a}g(x)$
$6.\ \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\displaystyle _{x \to a}^{lim}\ f(x)}{\displaystyle _{x \to a}^{lim}\ g(x)}$
$7.\ \displaystyle \lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n = \left(\displaystyle _{x \to a}^{lim} f(x) \right)^n$
$8.\ \displaystyle \lim_{x \to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)}$
A. Limit Bentuk Tertentu
Contoh soal 1.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + 2)\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + 2)\ !$
$f(x) = x^2 + 2$
$f(2) = 2^2 + 2 = 6$
Karena $f(2)$ ada nilainya berarti $f(x)$ terdefinisi untuk $x = 2,$
sehingga: $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + 2) = 2^2 + 2 = 6$
$f(2) = 2^2 + 2 = 6$
Karena $f(2)$ ada nilainya berarti $f(x)$ terdefinisi untuk $x = 2,$
sehingga: $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + 2) = 2^2 + 2 = 6$
Contoh soal 2.
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\ =\ .\ .\ .\ .$
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\ =\ .\ .\ .\ .$
$f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$
$f(3) = \dfrac{3^2 - 9}{3 + 3} = \dfrac{0}{6} = 0$
Karena $f(3)$ ada nilainya berarti $f(x)$ terdefinisi untuk $x = 3,$
sehingga:
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{3^2 - 9}{3 + 3} = \dfrac{0}{6} = 0$
$f(3) = \dfrac{3^2 - 9}{3 + 3} = \dfrac{0}{6} = 0$
Karena $f(3)$ ada nilainya berarti $f(x)$ terdefinisi untuk $x = 3,$
sehingga:
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{3^2 - 9}{3 + 3} = \dfrac{0}{6} = 0$
B. Limit Bentuk Tak Tentu
$I.\ Bentuk\ Tak\ Tentu\ \dfrac{0}{0}$
Contoh soal 3.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\ !$
$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$
$f(2) = \dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$
Karena hasilnya adalah $\dfrac{0}{0}$ maka limit tersebut adalah limit tak tentu. Untuk mendapatkan hasil kita bisa melakukan operasi aljabar seperti memfaktorkan.
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}(x + 2)$
$= 2 + 2$
$= 4$
$f(2) = \dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$
Karena hasilnya adalah $\dfrac{0}{0}$ maka limit tersebut adalah limit tak tentu. Untuk mendapatkan hasil kita bisa melakukan operasi aljabar seperti memfaktorkan.
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}(x + 2)$
$= 2 + 2$
$= 4$
Contoh soal 4.
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 + 3x} =\ .\ .\ .\ .$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 + 3x} =\ .\ .\ .\ .$
$f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 + 3x}$
$f(0) = \dfrac{0^3 - 2.0^2 + 0}{0^2 + 3.0} = \dfrac{0}{0}$
Karena hasilnya adalah $\dfrac{0}{0}$ maka limit tersebut adalah limit tak tentu. Untuk mendapatkan hasil kita bisa melakukan operasi aljabar seperti membagi pembilang dan penyebut dengan $x.$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 + 3x} = \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{(x^2 - 2x + 1)x.\dfrac{1}{x}}{(x + 3)x.\dfrac{1}{x}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{(x^2 - 2x + 1)}{(x + 3)}$
$= \dfrac{0^2 - 2.0 + 1}{0 + 3}$
$= \dfrac{1}{3}$
$f(0) = \dfrac{0^3 - 2.0^2 + 0}{0^2 + 3.0} = \dfrac{0}{0}$
Karena hasilnya adalah $\dfrac{0}{0}$ maka limit tersebut adalah limit tak tentu. Untuk mendapatkan hasil kita bisa melakukan operasi aljabar seperti membagi pembilang dan penyebut dengan $x.$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x^2 + 3x} = \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{(x^2 - 2x + 1)x.\dfrac{1}{x}}{(x + 3)x.\dfrac{1}{x}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{(x^2 - 2x + 1)}{(x + 3)}$
$= \dfrac{0^2 - 2.0 + 1}{0 + 3}$
$= \dfrac{1}{3}$
Contoh soal 5.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}\ !$
Jika kita substitusi langsung x = 3, maka kita akan dapat bentuk $\dfrac{0}{0}$. Untuk mendapatkan nilainya kita bisa memfaktorkan atau mengalikan dengan bentuk sekawan.
$\bullet$ Dengan memfaktorkan:
$\displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} = \displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 9}(\sqrt{x} + 3)$
$= \sqrt{9} + 3$
$= 3 + 3$
$= 6$
$\bullet$ Mengalikan dengan bentuk sekawan:
$\displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} = \displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{(x - 9)}{(\sqrt{x} - 3)}.\dfrac{(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 9}\sqrt{x} + 3$
$= \sqrt{9} + 3$
$= 3 + 3$
$= 6$
$\bullet$ Dengan memfaktorkan:
$\displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} = \displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 9}(\sqrt{x} + 3)$
$= \sqrt{9} + 3$
$= 3 + 3$
$= 6$
$\bullet$ Mengalikan dengan bentuk sekawan:
$\displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} = \displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{(x - 9)}{(\sqrt{x} - 3)}.\dfrac{(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 9}\dfrac{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 9}\sqrt{x} + 3$
$= \sqrt{9} + 3$
$= 3 + 3$
$= 6$
Contoh soal 6.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 5x + 6}$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 5x + 6}$
Jika kita substitusi $x = 3$, maka kita akan dapat $\dfrac{0}{0}$. Untuk mendapatkan nilai dari limitnya faktorkan pembilang dan penyebut.
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 5x + 6} = \displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x(x - 3)}{(x - 3)(x - 2)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x}{x - 2}$
$= \dfrac{3}{3 - 2}$
$= 3$
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 5x + 6} = \displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x(x - 3)}{(x - 3)(x - 2)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x}{x - 2}$
$= \dfrac{3}{3 - 2}$
$= 3$
$II.\ Bentuk\ Tak\ Tentu\ \dfrac{\infty}{\infty}$
$RUMUS\ PENTING:$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{ax^m + bx^{m-1} + cx^{m-2} +\ .\ .\ .\ + d }{px^n + qx^{n - 1} + rx^{n - 2} +\ .\ .\ .\ + s} $
$\ \ \ \ \ = \begin{cases}\
\infty\ atau\ -\infty&\text{jika}\ m > n \\ \dfrac{a}{p} & \text{jika}\ m = n \\ 0 & \text{jika}\ m < n \end{cases}$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{ax^m + bx^{m-1} + cx^{m-2} +\ .\ .\ .\ + d }{px^n + qx^{n - 1} + rx^{n - 2} +\ .\ .\ .\ + s} $
$\ \ \ \ \ = \begin{cases}\
\infty\ atau\ -\infty&\text{jika}\ m > n \\ \dfrac{a}{p} & \text{jika}\ m = n \\ 0 & \text{jika}\ m < n \end{cases}$
Contoh soal 7.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{2x^3 + 4x^2 - 6x}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{2x^3 + 4x^2 - 6x}\ !$
Jika substitusi langsung akan didapat $\dfrac{\infty}{\infty}$. Untuk mendapatkan hasil, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^3$ ($x$ dengan pangkat tertinggi).
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{2x^3 + 4x^2 - 6x}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{5}{x^2} + \dfrac{6}{x^3}}{2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{6}{x^2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5 + \dfrac{2}{\infty} - \dfrac{5}{\infty^2} + \dfrac{6}{\infty^3}}{2 + \dfrac{4}{\infty} - \dfrac{6}{\infty^2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5 + 0 - 0 + 0}{2 + 0 - 0}$
$= \dfrac52$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{2x^3 + 4x^2 - 6x}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{5}{x^2} + \dfrac{6}{x^3}}{2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{6}{x^2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5 + \dfrac{2}{\infty} - \dfrac{5}{\infty^2} + \dfrac{6}{\infty^3}}{2 + \dfrac{4}{\infty} - \dfrac{6}{\infty^2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{5 + 0 - 0 + 0}{2 + 0 - 0}$
$= \dfrac52$
Contoh soal 8.
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + x - 5}{2x^3 + x^2 - 3} =$ . . . .
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + x - 5}{2x^3 + x^2 - 3} =$ . . . .
Jika substitusi langsung akan didapat $\dfrac{\infty}{\infty}$. Untuk mendapatkan hasil, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^3$ ($x$ yang pangkatnya paling tinggi).
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + x - 5}{2x^3 + x^2 - 3}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{5}{x^3}}{2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\dfrac{3}{\infty} + \dfrac{1}{\infty^2} - \dfrac{5}{\infty^3}}{2 + \dfrac{1}{\infty} - \dfrac{3}{\infty^3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{0 + 0 - 0}{2 + 0 - 0}$
$= \dfrac{0}{2}$
$= 0$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + x - 5}{2x^3 + x^2 - 3}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{5}{x^3}}{2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\dfrac{3}{\infty} + \dfrac{1}{\infty^2} - \dfrac{5}{\infty^3}}{2 + \dfrac{1}{\infty} - \dfrac{3}{\infty^3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{0 + 0 - 0}{2 + 0 - 0}$
$= \dfrac{0}{2}$
$= 0$
Contoh soal 9.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{3x^3 + 5x^2 - 6x + 1}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{3x^3 + 5x^2 - 6x + 1}\ !$
Jika substitusi langsung akan didapat $\dfrac{\infty}{\infty}$. Untuk mendapatkan hasil, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^4$ ($x$ dengan pangkat tertinggi).
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{3x^3 + 5x^2 - 6x + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}}{\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} + \dfrac{1}{x^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2 + \dfrac{3}{\infty} - \dfrac{4}{\infty^2} + \dfrac{2}{\infty^3}}{\dfrac{3}{\infty} + \dfrac{5}{\infty^2} - \dfrac{6}{\infty^3} + \dfrac{1}{\infty^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2 + 0 - 0 + 0}{0 + 0 - 0 + 0}$
$= \dfrac{2}{0}$
$= \infty$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{3x^3 + 5x^2 - 6x + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}}{\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} + \dfrac{1}{x^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2 + \dfrac{3}{\infty} - \dfrac{4}{\infty^2} + \dfrac{2}{\infty^3}}{\dfrac{3}{\infty} + \dfrac{5}{\infty^2} - \dfrac{6}{\infty^3} + \dfrac{1}{\infty^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2 + 0 - 0 + 0}{0 + 0 - 0 + 0}$
$= \dfrac{2}{0}$
$= \infty$
Contoh soal 10.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{5x^3 + 5x^2 - 6x + 1}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{5x^3 + 5x^2 - 6x + 1}\ !$
Jika substitusi langsung akan didapat $\dfrac{\infty}{\infty}$. Untuk mendapatkan hasil, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^4$ ($x$ dengan pangkat tertinggi).
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{5x^3 + 5x^2 - 6x + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}}{\dfrac{5}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} + \dfrac{1}{x^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + \dfrac{3}{\infty} - \dfrac{4}{\infty^2} + \dfrac{2}{\infty^3}}{\dfrac{5}{\infty} + \dfrac{5}{\infty^2} - \dfrac{6}{\infty^3} + \dfrac{1}{\infty^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + 0 - 0 + 0}{0 + 0 - 0 + 0}$
$= \dfrac{-3}{0}$
$= -\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3x^4 + 3x^2 - 4x + 2}{5x^3 + 5x^2 - 6x + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}}{\dfrac{5}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} + \dfrac{1}{x^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + \dfrac{3}{\infty} - \dfrac{4}{\infty^2} + \dfrac{2}{\infty^3}}{\dfrac{5}{\infty} + \dfrac{5}{\infty^2} - \dfrac{6}{\infty^3} + \dfrac{1}{\infty^4}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + 0 - 0 + 0}{0 + 0 - 0 + 0}$
$= \dfrac{-3}{0}$
$= -\infty$
$III.\ Bentuk\ Tak\ Tentu\ \infty - \infty$
$RUMUS\ PENTING:$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{ax + b} - \sqrt{px + q} \right)$
$\ \ \ \ \ \ = \begin{cases}\ \infty & \text{ jika } a > p \\ 0 & \text{ jika } a = p \\ -\infty & \text{ jika } a < p \end{cases}$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{ax + b} - \sqrt{px + q} \right)$
$\ \ \ \ \ \ = \begin{cases}\ \infty & \text{ jika } a > p \\ 0 & \text{ jika } a = p \\ -\infty & \text{ jika } a < p \end{cases}$
Contoh soal 11.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{3x - 5} \right)\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{3x - 5} \right)\ !$
Jika nilai $x = \infty$ disubstitusikan secara langsung, akan didapat limit bentuk tak tentu $\infty - \infty.$ Untuk mengatasi hal ini, lakukan perkalian dengan bentuk sekawan.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{3x - 5} \right) $
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{3x - 5} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 5} \right)}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 5} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{7}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 5} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{7}{\left(\sqrt{3.\infty + 2} + \sqrt{3.\infty - 5} \right)}$
$= \dfrac{7}{\infty}$
$= 0$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{3x - 5} \right) $
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{3x - 5} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 5} \right)}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 5} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{7}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 5} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{7}{\left(\sqrt{3.\infty + 2} + \sqrt{3.\infty - 5} \right)}$
$= \dfrac{7}{\infty}$
$= 0$
Contoh soal 12.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x - 3} \right)\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x - 3} \right)\ !$
Substitusi langsung akan menghasilkan $\infty - \infty$. Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x - 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x - 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{2x - 3} \right)}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{2x - 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 5}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{2x - 3} \right)}$
Didapat bentuk tak tentu $\dfrac{\infty}{\infty}$
Bagi pembilang dengan $x$ dan bagi penyebut dengan $\sqrt{x^2} $
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{1 + \dfrac{5}{x}}{\left(\sqrt{\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{1 + \dfrac{5}{\infty}}{\left(\sqrt{\dfrac{3}{\infty} + \dfrac{2}{\infty^2}} + \sqrt{\dfrac{2}{\infty} - \dfrac{3}{\infty^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{1 + 0}{\left(\sqrt{0 + 0} + \sqrt{0 - 0} \right)}$
$= \dfrac{1}{0}$
$= \infty$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x - 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x - 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{2x - 3} \right)}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{2x - 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 5}{\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{2x - 3} \right)}$
Didapat bentuk tak tentu $\dfrac{\infty}{\infty}$
Bagi pembilang dengan $x$ dan bagi penyebut dengan $\sqrt{x^2} $
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{1 + \dfrac{5}{x}}{\left(\sqrt{\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{1 + \dfrac{5}{\infty}}{\left(\sqrt{\dfrac{3}{\infty} + \dfrac{2}{\infty^2}} + \sqrt{\dfrac{2}{\infty} - \dfrac{3}{\infty^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{1 + 0}{\left(\sqrt{0 + 0} + \sqrt{0 - 0} \right)}$
$= \dfrac{1}{0}$
$= \infty$
Contoh soal 13.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x - 3} \right)\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x - 3} \right)\ !$
Substitusi langsung akan menghasilkan $\infty - \infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x - 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x - 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{3x - 3} \right)}{\left(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{3x - 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-x + 5}{\left(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{3x - 3} \right)}$
Didapat bentuk tak tentu $\dfrac{\infty}{\infty}$
Bagi pembilang dengan $x$ dan bagi penyebut dengan $\sqrt{x^2} $
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-1 + \dfrac{5}{x}}{\left(\sqrt{\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{x^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-1 + \dfrac{5}{\infty}}{\left(\sqrt{\dfrac{2}{\infty} + \dfrac{2}{\infty^2}} + \sqrt{\dfrac{3}{\infty} - \dfrac{3}{\infty^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-1 + 0}{\left(\sqrt{0 + 0} + \sqrt{0 - 0} \right)}$
$= \dfrac{-1}{0}$
$= -\infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x - 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x - 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{3x - 3} \right)}{\left(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{3x - 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-x + 5}{\left(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{3x - 3} \right)}$
Didapat bentuk tak tentu $\dfrac{\infty}{\infty}$
Bagi pembilang dengan $x$ dan bagi penyebut dengan $\sqrt{x^2} $
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-1 + \dfrac{5}{x}}{\left(\sqrt{\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{x^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-1 + \dfrac{5}{\infty}}{\left(\sqrt{\dfrac{2}{\infty} + \dfrac{2}{\infty^2}} + \sqrt{\dfrac{3}{\infty} - \dfrac{3}{\infty^2}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-1 + 0}{\left(\sqrt{0 + 0} + \sqrt{0 - 0} \right)}$
$= \dfrac{-1}{0}$
$= -\infty$
$RUMUS\ PENTING:$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx + r} \right)$
$\ \ \ \ \ \ = \begin{cases}
\infty & \text{jika}\ a > p \\ \dfrac{b - q}{2\sqrt{a}}
& \text{jika}\ a = p \\ -\infty
& \text{jika}\ a < p \end{cases}$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx + r} \right)$
$\ \ \ \ \ \ = \begin{cases}
\infty & \text{jika}\ a > p \\ \dfrac{b - q}{2\sqrt{a}}
& \text{jika}\ a = p \\ -\infty
& \text{jika}\ a < p \end{cases}$
Contoh soal 14.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} - \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} - \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)\ !$
Jika substitusi langsung maka akan didapat bentuk $\infty - \infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} - \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} - \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} + \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)}{\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} + \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8x - 7}{\sqrt{3x^2 + 2x - 5} + \sqrt{3x^2 - 6x + 2}}$
Bagi pembilang dengan $x$ dan bagi penyebut dengan $\sqrt{x^2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8 - \dfrac{7}{x}}{\sqrt{3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{5}{x^2}} + \sqrt{3 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{2}{x^2}}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8 - 0}{\sqrt{3 + 0 - 0} + \sqrt{3 - 0 + 0}}$
$= \dfrac{8}{2\sqrt{3}}$
$= \dfrac{4}{3}\sqrt{3}$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} - \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} - \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} + \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)}{\left(\sqrt{3x^2 + 2x - 5} + \sqrt{3x^2 - 6x + 2} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8x - 7}{\sqrt{3x^2 + 2x - 5} + \sqrt{3x^2 - 6x + 2}}$
Bagi pembilang dengan $x$ dan bagi penyebut dengan $\sqrt{x^2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8 - \dfrac{7}{x}}{\sqrt{3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{5}{x^2}} + \sqrt{3 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{2}{x^2}}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8 - 0}{\sqrt{3 + 0 - 0} + \sqrt{3 - 0 + 0}}$
$= \dfrac{8}{2\sqrt{3}}$
$= \dfrac{4}{3}\sqrt{3}$
Contoh soal 15.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} - \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} - \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)$
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk $\infty - \infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} - \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} - \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)}{\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + 6x - 8}{\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)}$
Bagi pembilang dengan $x^2$ dan penyebut dengan $\sqrt{x^4}\ !$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{8}{x^2}}{\left(\sqrt{\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{x^3} - \dfrac{5}{x^4}} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{3}{x^4}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3 + 0 - 0}{\left(\sqrt{0 + 0 - 0} + \sqrt{0 - 0 + 0} \right)}$
$= \dfrac{3}{0}$
$= \infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} - \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} - \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)}{\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + 6x - 8}{\left(\sqrt{4x^2 + 3x - 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \right)}$
Bagi pembilang dengan $x^2$ dan penyebut dengan $\sqrt{x^4}\ !$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{8}{x^2}}{\left(\sqrt{\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{x^3} - \dfrac{5}{x^4}} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{3}{x^4}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{3 + 0 - 0}{\left(\sqrt{0 + 0 - 0} + \sqrt{0 - 0 + 0} \right)}$
$= \dfrac{3}{0}$
$= \infty$
Contoh soal 16.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} - \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} - \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)$
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk $\infty - \infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} - \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} - \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)}{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3x^2 + 6x - 8}{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)}$
Bagi pembilang dengan $x^2$ dan penyebut dengan $\sqrt{x^4}\ !$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{8}{x^2}}{\left(\sqrt{\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{x^3} - \dfrac{5}{x^4}} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{3}{x^4}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + 0 - 0}{\left(\sqrt{0 + 0 - 0} + \sqrt{0 - 0 + 0} \right)}$
$= \dfrac{-3}{0}$
$= -\infty$
Kalikan dengan bentuk sekawan !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} - \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} - \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\ \dfrac{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)}{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3x^2 + 6x - 8}{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - 3x + 3} \right)}$
Bagi pembilang dengan $x^2$ dan penyebut dengan $\sqrt{x^4}\ !$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{8}{x^2}}{\left(\sqrt{\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{x^3} - \dfrac{5}{x^4}} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{3}{x^4}} \right)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{-3 + 0 - 0}{\left(\sqrt{0 + 0 - 0} + \sqrt{0 - 0 + 0} \right)}$
$= \dfrac{-3}{0}$
$= -\infty$
$IV. Bentuk\ Tak\ Tentu\ \dfrac{p}{0} - \dfrac{q}{0}$
Contoh soal 17.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3}\left(\dfrac{2}{x - 3} - \dfrac{6}{x^2 - 3x} \right)$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3}\left(\dfrac{2}{x - 3} - \dfrac{6}{x^2 - 3x} \right)$
Jika substitusi langsung akan didapat bentuk $\dfrac{2}{0} - \dfrac{6}{0}$. Masalah ini bisa diatasi dengan menyamakan penyebut kemudian faktorkan dan sederhanakan.
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\left(\dfrac{2}{x - 3} - \dfrac{6}{x^2 - 3x} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left(\dfrac{2x}{x(x - 3)} - \dfrac{6}{x(x - 3)} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left( \dfrac{2x - 6}{x(x - 3)}\right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left( \dfrac{2(x - 3)}{x(x - 3)}\right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left( \dfrac{2}{x}\right)$
$= \dfrac23$
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\left(\dfrac{2}{x - 3} - \dfrac{6}{x^2 - 3x} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left(\dfrac{2x}{x(x - 3)} - \dfrac{6}{x(x - 3)} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left( \dfrac{2x - 6}{x(x - 3)}\right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left( \dfrac{2(x - 3)}{x(x - 3)}\right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\left( \dfrac{2}{x}\right)$
$= \dfrac23$
Contoh soal 18.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4} \right)$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4} \right)$
Jika substitusi langsung akan didapat bentuk $\dfrac{1}{0} - \dfrac{4}{0}$. Masalah ini bisa diatasi dengan menyamakan penyebut kemudian faktorkan dan sederhanakan.
$\displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{4}{x^2 - 4}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{x + 2 - 4}{x^2 - 4}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{(x + 2)}\right)$
$= \dfrac{1}{2 + 2}$
$= \dfrac14$
$\displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{4}{x^2 - 4}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{x + 2 - 4}{x^2 - 4}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\right)$
$= \displaystyle\ \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{(x + 2)}\right)$
$= \dfrac{1}{2 + 2}$
$= \dfrac14$
C. Aturan L'Hospital
Jika turunan dari $f(x)$ dan $g(x)$ terdefinisi pada $x = a$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu
$\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$ jika $a$ disubstitusi secara langsung, maka $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
Jika turunan dari $f(x)$ dan $g(x)$ terdefinisi pada $x = a$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu
$\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$ jika $a$ disubstitusi secara langsung, maka $\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
Contoh soal 19.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 2x - 3}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 2x - 3}\ !$
Jika $x = 1$ disubstitusi secara langsung, maka hasilnya adalah bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}.$
Gunakan aturan L'Hospital !
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 2x - 3} = \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2x + 1}{2x + 2}$
$= \dfrac{2.1 + 1}{2.1 + 2}$
$= \dfrac{3}{4}$
Gunakan aturan L'Hospital !
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 2x - 3} = \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2x + 1}{2x + 2}$
$= \dfrac{2.1 + 1}{2.1 + 2}$
$= \dfrac{3}{4}$
Contoh soal 20.
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{4x^2 + 3x - 2}{2x^2 + 5x - 1}\ !$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{4x^2 + 3x - 2}{2x^2 + 5x - 1}\ !$
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{\infty}{\infty}$
Gunakan aturan L'Hospital
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{4x^2 + 3x - 2}{2x^2 + 5x - 1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8x + 3}{4x + 5}$
Jika $x = \infty$ disubstitusikan hasilnya masih $\dfrac{\infty}{\infty}$
Turunkan sekali lagi\ !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8x + 3}{4x + 5} = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8}{4}$
$= 2$
Gunakan aturan L'Hospital
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{4x^2 + 3x - 2}{2x^2 + 5x - 1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8x + 3}{4x + 5}$
Jika $x = \infty$ disubstitusikan hasilnya masih $\dfrac{\infty}{\infty}$
Turunkan sekali lagi\ !
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8x + 3}{4x + 5} = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{8}{4}$
$= 2$
Supaya lebih paham dan mengerti tentang limit fungsi aljabar, simak soal dan pembahasan limit fungsi aljabar berikut.
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar
$1.$ Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - 4x + 1 =$ . . . .
$A.\ -\dfrac94$
$B.\ -\dfrac14$
$C.\ \dfrac14$
$D.\ \dfrac54$
$E.\ \dfrac94$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2018]
$A.\ -\dfrac94$
$B.\ -\dfrac14$
$C.\ \dfrac14$
$D.\ \dfrac54$
$E.\ \dfrac94$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2018]
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - 4x + 1$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - (4x - 1)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - \sqrt{(4x - 1)^2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - \sqrt{16x^2 - 8x + 1}$
$= \dfrac{b - p}{2\sqrt{a}}\ (Ingat\ rumus\ penting\ diatas\ !)$
$= \dfrac{10 - (-8)}{2\sqrt{16}}$
$= \dfrac{18}{2.4}$
$= \dfrac{18}{8}$
$= \dfrac94$
$Jawab:\ E.$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - (4x - 1)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - \sqrt{(4x - 1)^2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{16x^2 + 10x - 3} - \sqrt{16x^2 - 8x + 1}$
$= \dfrac{b - p}{2\sqrt{a}}\ (Ingat\ rumus\ penting\ diatas\ !)$
$= \dfrac{10 - (-8)}{2\sqrt{16}}$
$= \dfrac{18}{2.4}$
$= \dfrac{18}{8}$
$= \dfrac94$
$Jawab:\ E.$
$2.$ Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{1 - \sqrt{x - 3}}$ adalah . . . .
$A.\ -16$
$B.\ -4$
$C.\ 4$
$D.\ 16$
$E.\ 32$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2017]
$A.\ -16$
$B.\ -4$
$C.\ 4$
$D.\ 16$
$E.\ 32$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2017]
$\displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{1 - \sqrt{x - 3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{1 - \sqrt{x - 3}}.\dfrac{1 + \sqrt{x - 3}}{1 + \sqrt{x - 3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{-x + 4}(1 + \sqrt{x - 3})$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)}(1 + \sqrt{x - 3})$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}-(x + 4)(1 + \sqrt{x - 3})$
$= -(4 + 4)(1 + \sqrt{1})$
$= -8.2$
$= -16$
$Jawab:\ A.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{1 - \sqrt{x - 3}}.\dfrac{1 + \sqrt{x - 3}}{1 + \sqrt{x - 3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{-x + 4}(1 + \sqrt{x - 3})$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)}(1 + \sqrt{x - 3})$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}-(x + 4)(1 + \sqrt{x - 3})$
$= -(4 + 4)(1 + \sqrt{1})$
$= -8.2$
$= -16$
$Jawab:\ A.$
$3.$ Nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(2x - \sqrt{4x^2 + x + 3} \right)$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac12$
$B.\ -\dfrac14$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac14$
$E.\ \dfrac12$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2017]
$A.\ -\dfrac12$
$B.\ -\dfrac14$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac14$
$E.\ \dfrac12$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2017]
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(2x - \sqrt{4x^2 + x + 3} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 0x + 0} - \sqrt{4x^2 + x + 3} \right)$
$= \dfrac{b - p}{2\sqrt{a}}$
$= \dfrac{0 - 1}{2\sqrt{4}}$
$= \dfrac{-1}{2.2}$
$= -\dfrac14$
$Jawab:\ B.$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 0x + 0} - \sqrt{4x^2 + x + 3} \right)$
$= \dfrac{b - p}{2\sqrt{a}}$
$= \dfrac{0 - 1}{2\sqrt{4}}$
$= \dfrac{-1}{2.2}$
$= -\dfrac14$
$Jawab:\ B.$
$4.$ Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - (2x - 5) \right) =$ . . . .
$A.\ -6$
$B.\ -4$
$C.\ -1$
$D.\ 4$
$E.\ 6$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2016]
$A.\ -6$
$B.\ -4$
$C.\ -1$
$D.\ 4$
$E.\ 6$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPA 2016]
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - (2x - 5) \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - \sqrt{(2x - 5)^2} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - \sqrt{4x^2 - 20x + 25} \right)$
$= \dfrac{4 - (-20)}{2\sqrt{4}}$
$= \dfrac{4 + 20}{2.2}$
$= \dfrac{24}{4}$
$= 6$
$Jawab:\ E.$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - \sqrt{(2x - 5)^2} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - \sqrt{4x^2 - 20x + 25} \right)$
$= \dfrac{4 - (-20)}{2\sqrt{4}}$
$= \dfrac{4 + 20}{2.2}$
$= \dfrac{24}{4}$
$= 6$
$Jawab:\ E.$
$5.\ \displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - x - 20} =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ \infty$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2018]
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ \infty$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2018]
jika substitusi langsung ada nilainya maka bentuk limit di atas adalah bentuk limit tertentu.
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - x - 20} = \dfrac{3^2 - 3 - 6}{3^2 - 3 - 20}$
$= \dfrac{0}{-14}$
$= 0$
$Jawab:\ C.$
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - x - 20} = \dfrac{3^2 - 3 - 6}{3^2 - 3 - 20}$
$= \dfrac{0}{-14}$
$= 0$
$Jawab:\ C.$
$6.\ \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - x - 12} =\ .\ .\ .\ .$
$A.\ 4$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ \dfrac57$
$E.\ \dfrac87$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2018]
$A.\ 4$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ \dfrac57$
$E.\ \dfrac87$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2018]
Jika substitusi langsung akan menghasilkan limit bentuk $\dfrac{0}{0}$. Untuk mengatasi masalah seperti ini faktorkan pembilang dan penyebut, kemudian sederhanakan.
$\displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - x - 12} = \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{(x + 4)(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{(x + 4)}{(x + 3)}$
$= \dfrac{4 + 4}{4 + 3}$
$= \dfrac87$
jawab: E.
$\displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - x - 12} = \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{(x + 4)(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\dfrac{(x + 4)}{(x + 3)}$
$= \dfrac{4 + 4}{4 + 3}$
$= \dfrac87$
jawab: E.
$7.$ Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 + x - 6}$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac15$
$B.\ \dfrac25$
$C.\ \dfrac35$
$D.\ \dfrac45$
$E.\ 1$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2017]
$A.\ \dfrac15$
$B.\ \dfrac25$
$C.\ \dfrac35$
$D.\ \dfrac45$
$E.\ 1$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2017]
Bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 + x - 6} = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x + 1)}{(x + 3)}$
$= \dfrac{2 + 1}{2 + 3}$
$= \dfrac35$
$Jawab:\ C.$
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 + x - 6} = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x + 1)}{(x + 3)}$
$= \dfrac{2 + 1}{2 + 3}$
$= \dfrac35$
$Jawab:\ C.$
$8.$ Nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^2 + x + 3}{(x - 2)(x + 1)}$ adalah . . . .
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2017]
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
[Soal Limit Aljabar UN MtkIPS 2017]
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^2 + x + 3}{(x - 2)(x + 1)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x^2 + x + 3}{x^2 - x - 2}$
$= \dfrac{a}{p}\ →\ karena\ m = n$
$= \dfrac21$
$= 2$
$Jawab:\ D.$
$= \dfrac{a}{p}\ →\ karena\ m = n$
$= \dfrac21$
$= 2$
$Jawab:\ D.$
$9.$ Diketahui $f(x) = x^2 + ax + b$. Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x + 2}{f(x)} = -\dfrac15 $ maka $a + b =$ . . . .
$A.\ 7$
$B.\ 5$
$C.\ 1$
$D.\ -1$
$E.\ -7$
[Soal Limit Aljabar SBMPTN 2016 Matdas]
$A.\ 7$
$B.\ 5$
$C.\ 1$
$D.\ -1$
$E.\ -7$
[Soal Limit Aljabar SBMPTN 2016 Matdas]
Jika kita substitusikan $x = -2$ ke pembilang, hasilnya adalah $0$ padahal limitnya adalah $-\dfrac15$. Berarti bentuknya adalah bentuk limit tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan demikian $f(-2) = 0.$
$f(x) = x^2 + ax + b$
$f(-2) = 4 - 2a + b = 0$
$2a - b = 4$ . . . . *
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x + 2}{f(x)} = -\dfrac15$
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x + 2}{x^2 + ax + b} = -\dfrac15$
Gunakan aturan L'Hospital yaitu turunkan penyebut dan pembilang
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{1}{2x + a} = -\dfrac15$
$\dfrac{1}{2.(-2) + a} = -\dfrac15$
$5 = 4 - a$
$a = -1$ . . . . **
Substitusi pers ** ke pers *
$2.(-1) - b = 4$
$-2 - b = 4$
$b = -6$
$a + b = -1 + (-6) = -7$
$Jawab:\ E.$
$f(x) = x^2 + ax + b$
$f(-2) = 4 - 2a + b = 0$
$2a - b = 4$ . . . . *
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x + 2}{f(x)} = -\dfrac15$
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x + 2}{x^2 + ax + b} = -\dfrac15$
Gunakan aturan L'Hospital yaitu turunkan penyebut dan pembilang
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{1}{2x + a} = -\dfrac15$
$\dfrac{1}{2.(-2) + a} = -\dfrac15$
$5 = 4 - a$
$a = -1$ . . . . **
Substitusi pers ** ke pers *
$2.(-1) - b = 4$
$-2 - b = 4$
$b = -6$
$a + b = -1 + (-6) = -7$
$Jawab:\ E.$
$10.$ Jika kurva $f(x) = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu $y$ di titik $(0, 1)$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x - 1} = -4$, maka $\dfrac{b + c}{a} =$ . . . .
$A.\ -1$
$B.\ -\dfrac12$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ \dfrac32$
[Soal Limit Aljabar SBMPTN 2017 Matdas]
$A.\ -1$
$B.\ -\dfrac12$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ \dfrac32$
[Soal Limit Aljabar SBMPTN 2017 Matdas]
Jika $x = 1$ disubstitusikan secara langsung, maka penyebutnya akan bernilai $0$. Padahal limitnya ada $-4.$ Berarti, soalnya adalah bentuk limit $\dfrac{0}{0}$. Dengan demikian
$f(1) = 0$
$f(x) = ax^2 + bx + c$
$f(1) = a.1^2 + b.1 + c = 0$
$a + b + c = 0$ . . . . *
Substitisi titik $(0, 1)$ ke $f(x)$ karena $f(x)$ melalui titik $(0, 1)$
$1 = a.0^2 + b.0 + c$
$c = 1$ . . . . **
Substitusi pers ** ke pers *
$a + b + 1 = 0$
$a + b = -1$ . . . . ***
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x - 1} = -4$
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 1} = -4$
Dengan aturan L'Hospital:
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2ax + b}{1} = -4$
$2a.1 + b = -4$
$2a + b = -4$ . . . . ****
Eliminasi pers *** dan ****
$a + b = -1$
$2a + b = -4$
------------------- -
$a = -3$
$b = 2$
$\dfrac{b + c}{a} = \dfrac{2 + 1}{-3} = \dfrac{3}{-3} = -1$
$Jawab:\ A.$
$f(1) = 0$
$f(x) = ax^2 + bx + c$
$f(1) = a.1^2 + b.1 + c = 0$
$a + b + c = 0$ . . . . *
Substitisi titik $(0, 1)$ ke $f(x)$ karena $f(x)$ melalui titik $(0, 1)$
$1 = a.0^2 + b.0 + c$
$c = 1$ . . . . **
Substitusi pers ** ke pers *
$a + b + 1 = 0$
$a + b = -1$ . . . . ***
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x - 1} = -4$
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 1} = -4$
Dengan aturan L'Hospital:
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2ax + b}{1} = -4$
$2a.1 + b = -4$
$2a + b = -4$ . . . . ****
Eliminasi pers *** dan ****
$a + b = -1$
$2a + b = -4$
------------------- -
$a = -3$
$b = 2$
$\dfrac{b + c}{a} = \dfrac{2 + 1}{-3} = \dfrac{3}{-3} = -1$
$Jawab:\ A.$
$11.$ Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{2^x - 1}{x} = a$, dan $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{7^x - 1}{x} = b$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{14^x - 7^x - 2^x + 1}{x^2} =$ . . . .
$A.\ a - b$
$B.\ b - a$
$C.\ a + b$
$D.\ ab$
$E.\ \dfrac{a}{b}$
[Soal Limit Aljabar SPMB 2007 MtkIPA]
$A.\ a - b$
$B.\ b - a$
$C.\ a + b$
$D.\ ab$
$E.\ \dfrac{a}{b}$
[Soal Limit Aljabar SPMB 2007 MtkIPA]
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{14^x - 7^x - 2^x + 1}{x^2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{2^x - 1}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{7^x - 1}{x}$
$= ab$
$Jawab:\ D.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{2^x - 1}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{7^x - 1}{x}$
$= ab$
$Jawab:\ D.$
$12.\ \displaystyle \lim_{x \to \infty}x\left(\sqrt{25 - \dfrac{10}{x}} - \sqrt{25 + \dfrac{10}{x}} \right) =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ \infty$
[Soal Limit Aljabar SPMB 2005 MtkIPA]
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ \infty$
[Soal Limit Aljabar SPMB 2005 MtkIPA]
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x\left(\sqrt{25 - \dfrac{10}{x}} - \sqrt{25 + \dfrac{10}{x}} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2\left(25 - \dfrac{10}{x}\right)} - \sqrt{x^2\left(25 + \dfrac{10}{x}\right)} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{25x^2 - 10x} - \sqrt{25x^2 + 10x} \right)$
$= \dfrac{-10 - 10}{2\sqrt{25}}$
$= \dfrac{-20}{10}$
$= -2$
$Jawab:\ A.$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2\left(25 - \dfrac{10}{x}\right)} - \sqrt{x^2\left(25 + \dfrac{10}{x}\right)} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{25x^2 - 10x} - \sqrt{25x^2 + 10x} \right)$
$= \dfrac{-10 - 10}{2\sqrt{25}}$
$= \dfrac{-20}{10}$
$= -2$
$Jawab:\ A.$
$13.$ Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^n - 2^n}{x^{\frac{n}{3}} - 2^{\frac{n}{3}}} = 3\sqrt[3]{16},\ maka\ nilai\ n =$ . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal Limit Aljabar Utul 2018 Matdas]
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal Limit Aljabar Utul 2018 Matdas]
Gunakan aturan L'Hospital !
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^n - 2^n}{x^{\frac{n}{3}} - 2^{\frac{n}{3}}} = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{n.x^{n - 1}}{\dfrac{n}{3}.x^{\frac{n}{3} - 1} }$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^{n - 1 - \frac{n}{3} + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^{\frac{2n}{3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2} 3\sqrt[3]{x^{2n}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}3\sqrt[3]{(x^2)^n}$
$= 3\sqrt[3]{(2^2)^n}$
$3\sqrt[3]{(2^2)^n} = 3\sqrt[3]{16}$
$3\sqrt[3]{4^n} = 3\sqrt[3]{4^2}$
$n = 2$
$Jawab:\ B.$
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^n - 2^n}{x^{\frac{n}{3}} - 2^{\frac{n}{3}}} = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{n.x^{n - 1}}{\dfrac{n}{3}.x^{\frac{n}{3} - 1} }$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^{n - 1 - \frac{n}{3} + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^{\frac{2n}{3}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2} 3\sqrt[3]{x^{2n}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}3\sqrt[3]{(x^2)^n}$
$= 3\sqrt[3]{(2^2)^n}$
$3\sqrt[3]{(2^2)^n} = 3\sqrt[3]{16}$
$3\sqrt[3]{4^n} = 3\sqrt[3]{4^2}$
$n = 2$
$Jawab:\ B.$
$14.\ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} =$ . . . .
$A.\ 20$
$B.\ 16$
$C.\ 8$
$D.\ 4$
$E.\ 2$
[Soal Limit Aljabar Utul 2017 Matdas]
$A.\ 20$
$B.\ 16$
$C.\ 8$
$D.\ 4$
$E.\ 2$
[Soal Limit Aljabar Utul 2017 Matdas]
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} = \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{(x - 1)(x^2 - 1)}{(\sqrt{x} - 1)^2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{(x - 1)(x - 1)(x + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 1)$
$= (\sqrt{1} + 1)(\sqrt{1} + 1)(1 + 1)$
$= 2.2.2$
$= 8$
$Jawab:\ C.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{(x - 1)(x - 1)(x + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 1)$
$= (\sqrt{1} + 1)(\sqrt{1} + 1)(1 + 1)$
$= 2.2.2$
$= 8$
$Jawab:\ C.$
$15.\ \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x\left(2x^2 - 3x + 1\right)^{\frac32}}{(x^2 - 1)\sqrt{x - 1}} =$ . . . .
$A.\ -1$
$B.\ 0$
$C.\ \dfrac12$
$D.\ 1$
$E.\ \dfrac32$
[Soal Limit Aljabar Utul 2017 Matdas]
$A.\ -1$
$B.\ 0$
$C.\ \dfrac12$
$D.\ 1$
$E.\ \dfrac32$
[Soal Limit Aljabar Utul 2017 Matdas]
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x\left(2x^2 - 3x + 1\right)^{\frac32}}{(x^2 - 1)\sqrt{x - 1}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x\left(2x^2 - 3x + 1\right)^{\frac32}}{(x + 1)(x - 1)\sqrt{x - 1}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x\left(2x^2 - 3x + 1\right)^{\frac32}}{(x + 1)(x - 1)^{\frac32}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x}{x + 1}.\displaystyle \lim_{x \to 1}\left(\dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \right)^{\frac32}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x}{x + 1}.\displaystyle \lim_{x \to 1}\left(\dfrac{(x - 1)(2x - 1)}{(x - 1)} \right)^{\frac32}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x}{x + 1}.\displaystyle \lim_{x \to 1}\left(2x - 1\right)^{\frac32}$
$= \dfrac{1}{1 + 1}.(2.1 - 1)^{\frac32}$
$= \dfrac12$
$Jawab:\ C.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x\left(2x^2 - 3x + 1\right)^{\frac32}}{(x + 1)(x - 1)\sqrt{x - 1}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x\left(2x^2 - 3x + 1\right)^{\frac32}}{(x + 1)(x - 1)^{\frac32}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x}{x + 1}.\displaystyle \lim_{x \to 1}\left(\dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \right)^{\frac32}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x}{x + 1}.\displaystyle \lim_{x \to 1}\left(\dfrac{(x - 1)(2x - 1)}{(x - 1)} \right)^{\frac32}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{x}{x + 1}.\displaystyle \lim_{x \to 1}\left(2x - 1\right)^{\frac32}$
$= \dfrac{1}{1 + 1}.(2.1 - 1)^{\frac32}$
$= \dfrac12$
$Jawab:\ C.$
$16.\ \displaystyle \lim_{x \to 8}\dfrac{(x - 8)(\sqrt[3]{x} - 1)}{\sqrt[3]{x} - 2} =$ . . . .
$A.\ 0$
$B.\ \dfrac32$
$C.\ 11$
$D.\ 12$
$E.\ \infty$
[Soal Limit Aljabar Utul 2016 Matdas]
$A.\ 0$
$B.\ \dfrac32$
$C.\ 11$
$D.\ 12$
$E.\ \infty$
[Soal Limit Aljabar Utul 2016 Matdas]
$\displaystyle \lim_{x \to 8}\dfrac{(x - 8)(\sqrt[3]{x} - 1)}{\sqrt[3]{x} - 2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 8}\dfrac{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{8})(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{8^2} )(\sqrt[3]{x} - 1)}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{8})}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 8}(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{8^2} )(\sqrt[3]{x} - 1)$
$= (\sqrt[3]{8^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8^2} )(\sqrt[3]{8} - 1)$
$= (4 + 4 + 4 )(2 - 1)$
$= 12$
$Jawab:\ D.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 8}\dfrac{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{8})(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{8^2} )(\sqrt[3]{x} - 1)}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{8})}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 8}(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{8^2} )(\sqrt[3]{x} - 1)$
$= (\sqrt[3]{8^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8^2} )(\sqrt[3]{8} - 1)$
$= (4 + 4 + 4 )(2 - 1)$
$= 12$
$Jawab:\ D.$
$17.$ Diketahui $f(x) = mx + c$ dengan $f^{-1}(2) = -3$ dan $f^{-1}(8) = 6$ dengan $f^{-1}$ menyatakan fungsi invers $f.$ Nilai $\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{(3 + h)f(3) - 3f(3 + h)}{h} =$ . . . .
$A.\ 4$
$B.\ 8$
$C.\ 10$
$D.\ 16$
$E.\ 24$
[Soal Limit Aljabar Utul 2015 Matdas]
$A.\ 4$
$B.\ 8$
$C.\ 10$
$D.\ 16$
$E.\ 24$
[Soal Limit Aljabar Utul 2015 Matdas]
$f(x) = mx + c$
$f(x) - c = mx$
$x = \dfrac{f(x) - c}{m}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{x - c}{m}$
$f^{-1}(2) = -3 → -3 = \dfrac{2 - c}{m}$
$-3m = 2 - c$
$c = 2 + 3m$ . . . . *
$f^{-1}(8) = 6 → 6 = \dfrac{8 - c}{m}$
$6m = 8 - c$ . . . . **
Susi pers * ke pers **
$6m = 8 - (2 + 3m)$
$6m = 6 - 3m$
$9m = 6$
$m = \dfrac23$ . . . . ***
Susi pers *** ke pers *
$c = 2 + 3.\dfrac23$
$c = 4$
$f(x) = mx + c$
$f(x) = \dfrac23x + 4$
$f(3) = \dfrac23.3 + 4 = 6$
$f(3 + h) = \dfrac23(3 + h) + 4 = \dfrac23h + 6$
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{(3 + h)f(3) - 3f(3 + h)}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{(3 + h)6 - 3(\dfrac23h + 6)}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{6h + 18 - 2h - 18}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{4h}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}4$
$= 4$
$Jawab:\ A.$
$f(x) - c = mx$
$x = \dfrac{f(x) - c}{m}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{x - c}{m}$
$f^{-1}(2) = -3 → -3 = \dfrac{2 - c}{m}$
$-3m = 2 - c$
$c = 2 + 3m$ . . . . *
$f^{-1}(8) = 6 → 6 = \dfrac{8 - c}{m}$
$6m = 8 - c$ . . . . **
Susi pers * ke pers **
$6m = 8 - (2 + 3m)$
$6m = 6 - 3m$
$9m = 6$
$m = \dfrac23$ . . . . ***
Susi pers *** ke pers *
$c = 2 + 3.\dfrac23$
$c = 4$
$f(x) = mx + c$
$f(x) = \dfrac23x + 4$
$f(3) = \dfrac23.3 + 4 = 6$
$f(3 + h) = \dfrac23(3 + h) + 4 = \dfrac23h + 6$
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{(3 + h)f(3) - 3f(3 + h)}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{(3 + h)6 - 3(\dfrac23h + 6)}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{6h + 18 - 2h - 18}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{4h}{h}$
$= \displaystyle \lim_{h \to 0}4$
$= 4$
$Jawab:\ A.$
$18.$ Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{x} = 2$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{\sqrt{1 - x} - 1} =$ . . . .
$A.\ -4$
$B.\ -2$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 4$
[Soal Limit Aljabar SNMPTN 2011 Matematika IPA]
$A.\ -4$
$B.\ -2$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 4$
[Soal Limit Aljabar SNMPTN 2011 Matematika IPA]
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{\sqrt{1 - x} - 1} $
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{\sqrt{1 - x} - 1}.\dfrac{\sqrt{1 - x} + 1}{\sqrt{1 - x} + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{-x}.(\sqrt{1 - x} + 1)$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0}(\sqrt{1 - x} + 1)$
$= -2.(\sqrt{1 - 0} + 1)$
$= -2.2$
$= -4$
$Jawab:\ A.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{\sqrt{1 - x} - 1}.\dfrac{\sqrt{1 - x} + 1}{\sqrt{1 - x} + 1}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{-x}.(\sqrt{1 - x} + 1)$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{g(x)}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0}(\sqrt{1 - x} + 1)$
$= -2.(\sqrt{1 - 0} + 1)$
$= -2.2$
$= -4$
$Jawab:\ A.$
$19.$ Diketahui fungsi $g$ kontinu di $x = 3$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 3}g(x) = 2.$ Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3}\left(g(x)\dfrac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \right)$ adalah . . . .
$A.\ 4\sqrt{3}$
$B.\ 2\sqrt{3}$
$C.\ 4$
$D.\ 2$
$E.\ \sqrt{3}$
[Soal Limit Aljabar SNMPTN 2010 Matematika IPA]
$A.\ 4\sqrt{3}$
$B.\ 2\sqrt{3}$
$C.\ 4$
$D.\ 2$
$E.\ \sqrt{3}$
[Soal Limit Aljabar SNMPTN 2010 Matematika IPA]
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\left(g(x)\dfrac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}g(x).\left(\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}g(x).\left(\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}g(x).\displaystyle \lim_{x \to 3}(\sqrt{x} + \sqrt{3})$
$= 2.(\sqrt{3} + \sqrt{3})$
$= 2.2\sqrt{3}$
$= 4\sqrt{3}$
$Jawab:\ A.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}g(x).\left(\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}g(x).\left(\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \right)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}g(x).\displaystyle \lim_{x \to 3}(\sqrt{x} + \sqrt{3})$
$= 2.(\sqrt{3} + \sqrt{3})$
$= 2.2\sqrt{3}$
$= 4\sqrt{3}$
$Jawab:\ A.$
$20.$ Jika $a = \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{2 - \sqrt{x + 2}}$ maka nilai $4 - a$ adalah . . . .
$A.\ -20$
$B.\ -12$
$C.\ -4$
$D.\ 12$
$E.\ 20$
[Soal Limit Aljabar Utul 2013 Matdas]
$A.\ -20$
$B.\ -12$
$C.\ -4$
$D.\ 12$
$E.\ 20$
[Soal Limit Aljabar Utul 2013 Matdas]
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{2 - \sqrt{x + 2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{2 - \sqrt{x + 2}}.\dfrac{2 + \sqrt{x + 2}}{2 + \sqrt{x + 2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{2 - x}.(2 + \sqrt{x + 2})$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{-(x - 2)}.(2 + \sqrt{x + 2})$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 2}(x + 2).(2 + \sqrt{x + 2})$
$= -(2 + 2).(2 + \sqrt{2 + 2})$
$= -4.4$
$= -16$
$a = -16$
$4 - a = 4 - (-16) = 4 + 16 = 20$
$Jawab:\ E.$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{2 - \sqrt{x + 2}}.\dfrac{2 + \sqrt{x + 2}}{2 + \sqrt{x + 2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{2 - x}.(2 + \sqrt{x + 2})$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{-(x - 2)}.(2 + \sqrt{x + 2})$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 2}(x + 2).(2 + \sqrt{x + 2})$
$= -(2 + 2).(2 + \sqrt{2 + 2})$
$= -4.4$
$= -16$
$a = -16$
$4 - a = 4 - (-16) = 4 + 16 = 20$
$Jawab:\ E.$
Demikianlah Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar, semoga bermanfaat. Selamat belajar !
Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB
www.maretong.com
Post a Comment for "Soal Latihan Limit fungsi Aljabar"
Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.