MARETONG: Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Sunday, March 24, 2019

Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel


Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel adalah suatu kalimat terbuka, yaitu suatu kalimat atau pernyataan yang belum bisa ditentukan kebenarannya secara langsung, karena masih mengandung variabel. Variabel dapat diganti dengan sebuah atau lebih konstanta, sehingga kalimat tersebut menjadi kalimat tertutup, yaitu kalimat atau pernyataan yang bisa ditentukan benar atau salah secara langsung. Pengganti-pengganti variabel yang membuat kalimat menjadi benar disebut penyelesaian. Himpunan semua pengganti variabel yang membuat kalimat menjadi benar disebut himpunan penyelesaian.

Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memiliki satu variabel berderajat (pangkat) satu yang dihubungkan dengan tanda sama dengan.
contoh:
$a.\: 3x - 4 = 7$
$b.\: 3x + 6 = 7x - 2$
Untuk mencari penyelesaian dari persamaan linear satu variabel, kita dapat melakukan operasi sebagai berikut:
1. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh:
$a.\: x - 4 = 8$
$x - 4 + 4 = 8 + 4$
$x = 12$
$b.\: x + 3 = 9$
$x + 3 - 3 = 9 - 3$
$x = 6$
2. Dengan melakukan perpindahan antar ruas. Jika berpindah ruas, maka tanda harus berubah.
Contoh:
$a.\: x - 5 = 3$
Kita pindahkan -5 ke ruas kanan, dan tandanya harus berubah, sehingga:
$x = 3 + 5$
$x = 8$
$b.\: x + 6 = 1$
Kita pindahkan +6 ke ruas kanan, dan tandanya harus berubah, sehingga:
$x = 1 - 6$
$x = -5$
3. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh:
$a.\: \dfrac{1}{3}x = 4$
Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan 3, sehingga:
$3.\dfrac{1}{3}x = 3.4$
$x = 12$
$b.\: 5x = 20$
Bagi ruas kiri dan ruas kanan dengan 5, sehingga:
$\dfrac{5x}{5} = \dfrac{20}{5}$
$x = 4$
4. Kombinasi dari 1, 2, dan 3.
Contoh:
$a.\: \dfrac{1}{2}x + 3 = \dfrac{1}{3}x - 2$
Kedua ruas dikali 6.
$6.\dfrac{1}{2}x + 6.3 = 6.\dfrac{1}{3}x - 6.2$
$3x + 18 = 2x - 12$
Pindahkan 2x ke ruas kiri dan 18 ke ruas kanan. Jangan lupa merubah tanda.
$3x - 2x = -12 - 18$
$x = -30$
$b.\: \dfrac{1}{3}(x - 2) = \dfrac{1}{4}(2x + 1)$
Kalikan kedua ruas dengan 12.
$12.\dfrac{1}{3}(x - 2) = 12.\dfrac{1}{4}(2x + 1)$
$4(x - 2) = 3(2x + 1)$
$4x - 8 = 6x + 3$
Pindahkan 4x ke ruas kanan dan +3 ke ruas kiri.
$-8 - 3 = 6x - 4x$
$-11 = 2x$
Bagi dua ruas kiri dan ruas kanan.
$-\dfrac{11}{2} = x$
$x = -\dfrac{11}{2}$

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang mengandung satu variabel berderajat (pangkat) satu yang dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan seperti "<, ≤ >, ≥".
a < b dibaca: a kurang dari b.
a ≤ dibaca: a kurang atau sama dengan b.
a > b dibaca: a lebih dari b.
a ≥ b dibaca: a lebih dari atau sama dengan b.
Contoh:
$a.\: 3x - 8 < 8$
$b.\: 5x - 12 ≤ 2x - 3$
$c.\: 12x - 15 > 6 - x$
$d.\: x + 3x - 8 ≥ 5x - 1$
Untuk mencari penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel, kita dapat melakukan operasi sebagai berikut:
1. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh:
$a.\: x - 3 < 4$
$x - 3 + 3 < 4 + 3$
$x < 7$
$b.\: x + 5 > 2$
$x + 5 - 5 > 2 - 5$
$x > -3$
$c.\: x - 4 ≤ 7$
$x - 4 + 4 ≤ 7 + 4$
$x ≤ 11$
2. Dengan melakukan perpindahan antar ruas. Jika berpindah ruas, maka tanda harus berubah.
Contoh:
$a.\: x + 4 ≥ 3$
$x ≥ 3 - 4$
$x ≥ -1$
$b.\: x - 6 < -5$
$x < -5 + 6$
$x < 1$
$c.\: x + 11 > 6$
$x > 6 - 11$
$x > -5$
3. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh:
$a.\: \dfrac{1}{4}x < 4$
Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan 4, sehingga:
$4.\dfrac{1}{4}x < 4.4$
$x < 16$
$b.\: 6x ≥ 24$
Bagi ruas kiri dan ruas kanan dengan 6, sehingga:
$\dfrac{6x}{6} ≥ \dfrac{24}{6}$
$x ≥ 4$
4. Mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan $(-)$. Jika ruas kiri dan ruas kanan dikali negatif, maka tanda ketidaksamaan harus dibalik.
Contoh:
$a.\: -x < 4$
$-(-x) > -4$
$x > -4$
$b.\: -x + 2 > 6$
$-(-x + 2) < -6$
$x - 2 < -6$
$x < -6 + 2$
$x < -4.$
5. Kombinasi dari 1, 2, 3, dan 4.
Contoh:
$a.\: \dfrac{1}{2}x + 4 < \dfrac{1}{3}x - 3$
Kedua ruas dikali 6.
$6.\dfrac{1}{2}x + 6.4 < 6.\dfrac{1}{3}x - 6.3$
$3x + 24 < 2x - 18$
Pindahkan 2x ke ruas kiri dan 24 ke ruas kanan.
Jangan lupa merubah tanda.
$3x - 2x < -18 - 24$
$x < -42$
b. $\dfrac{1}{3}(x - 2) > \dfrac{1}{4}(2x + 1)$
Kalikan kedua ruas dengan 12.
$12.\dfrac{1}{3}(x - 2) > 12.\dfrac{1}{4}(2x + 1)$
$4(x - 2) > 3(2x + 1)$
$4x - 8 > 6x + 3$
Pindahkan 4x ke ruas kanan dan +3 ke ruas kiri.
$-8 - 3 > 6x - 4x$
$-11 > 2x$
Bagi dua ruas kiri dan ruas kanan.
$-\dfrac{11}{2} > x$
karena $-\dfrac{11}{2} > x$ maka,
$x < -\dfrac{11}{2}$

Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel serta Pembahasan

$1$. Jika k merupakan penyelesaian
$2(3x - 5) + 3 = 3(4x + 2) - 1$, maka nilai $3k + 5$
sama dengan . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 1$
$C.\ -1$
$D.\ -2$
[Soal UN 2018]
$2(3x - 5) + 3 = 3(4x + 2) - 1$
$6x - 10 + 3 = 12x + 6 - 1$
$6x - 7 = 12x + 5$
$6x - 12x = 5 + 7$
$-6x = 12$
Bagi ruas kiri dan ruas kanan dengan 6.
$-x = 2$
Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan negatif.
$x = -2$
$k = x = -2$
$3k + 5 = 3.(-2) + 5$
= $-6 + 5$
= $-1$ → C.

$2$. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari $x - 1 ≥ 2x - 5$, $x$ bilangan bulat adalah . . . .
$A.\: \{x|x ≤ -4,\: x\: bilangan\: bulat\}$
$B.\: \{x|x ≤ 4,\: x\: bilangan\: bulat\}$
$C.\: \{x|x ≤ 6,\: x\: bilangan\: bulat\}$
$D.\: \{x|x ≤ -6,\: x\: bilangan\: bulat\}$
[Soal UN 2018]
$x - 1 ≥ 2x - 5$
Pindahkan $2x$ ke kiri dan $-1$ ke kanan, jangan lupa merubah tanda.
$x - 2x ≥ -5 + 1$
$-x ≥ -4$
Kalikan kedua ruas dengan negatif, tanda ketidaksamaan dibalik.
$-(-x) ≤ -(-4)$
$x ≤ 4$ → B.

$3$. Jika $2(3x - 1) + 5 = 4(6x + 7) - 7$ mempunyai penyelesaian $x = n$, berapakah nilai $10n + 12$ ?
$A.\ 32$
$B.\ 22$
$C.\ 2$
$D.\ -2$
[Soal UN 2018]
$2(3x - 1) + 5 = 4(6x + 7) - 7$
$6x - 2 + 5 = 24x + 28 - 7$
$6x + 3 = 24x + 21$
$6x - 24x = 21 - 3$
$-18x = 18$
Bagi ruas kiri dan ruas kanan dengan 18.
$-x = 1$
Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan negatif.
$x = -1$
$n = x = -1$
$10n + 12 = 10(-1) + 12$
$= -10 + 12$
$= 2$ → C.

4. Dibangun sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang $(8x + 9)$ meter dan ukuran lebarnya $(6x - 2)$ meter. Jika kelilingnya tidak lebih dari 210 meter, panjang taman $p$ adalah . . . .
$A.\: p < 125$ meter
$B.\: p > 125$ meter
$C.\: p ≤ 65$ meter
$D.\: p ≥ 65$ meter
[Soal UN 2018]
Misalkan K adalah keliling.
$K = 2p + 2l$
$K = 2(8x + 9) + 2(6x - 2)$
$K = 16x + 18 + 12x - 4$
$K = 28x + 14$
Keliling tidak lebih dari 210 m, artinya keliling kurang atau sama dengan ( ≤ ) 210 m.
$K ≤ 210$
$28x + 14 ≤ 210$
$28x ≤ 210 - 14$
$28x ≤ 196$
$x ≤ 7$
$p = 8x + 9$
karena $x ≤ 7$, akibatnya:
$p ≤ 8.7 + 9$
$p ≤ 56 + 9$
$p ≤ 65$ → C.

$5$. Diketahui persamaan $5x - 6 = 2x + 3$. Nilai $x + 5$ adalah . . . .
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
[Soal UN 2009]
$5x - 6 = 2x + 3$
$5x - 2x = 3 + 6$
$3x = 9$
$x = 3$
$x + 5 = 3 + 5 = 8$ → D.

$6$. Jika $2x + 7 = 5x - 5$, maka nilai $x - 1$ adalah . . . .
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
[Soal UN 2010]
$2x + 7 = 5x - 5$
$2x - 5x = -5 - 7$
$-3x = -12$
$-x = -4$
$x = 4$
$x - 1 = 4 - 1 = 3$ → B.

$7$. Penyelesaian persamaan linier $\dfrac{1}{3}(x + 5) = \dfrac{1}{2}(2x - 1)$ adalah . . . .
$A.\: -\dfrac{13}{4}$
$B.\: -\dfrac{7}{4}$
$C.\: \dfrac{7}{4}$
$D.\: \dfrac{13}{4}$
[Soal UN 2011]
Kalikan kedua ruas dengan 6.
$6.\dfrac{1}{3}(x + 5) = 6.\dfrac{1}{2}(2x - 1)$
$2(x + 5) = 3(2x - 1)$
$2x + 10 = 6x - 3$
$2x - 6x = -3 - 10$
$-4x = -13$
$-x = -\dfrac{13}{4}$
$x = \dfrac{13}{4}$ → D.

$8$. Himpunan penyelesaian dari $-7p + 8 < 3p - 22$ untuk $p$ bilangan bulat adalah . . . .
$A.\ \{.\ .\ .\ ,\ -6,\ -5,\ -4\}$
$B.\ \{.\ .\ .\ ,\ 0,\ 1,\ 2\}$
$C.\ \{-2,\ -1,\ 0,\ .\ .\ .\}$
$D.\ \{4,\ 5,\ 6,\ .\ .\ .\}$
[Soal UN 2012]
$-7p + 8 < 3p - 22$
$-7p - 3p < -22 - 8$
$-10p < -30$
$-p < -3$
$p > 3$
$\{4, 5, 6, \cdots\}$ → D.

$9$. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $6x - 8 < 22 - 9x$, dengan x bilangan real adalah . . . .
$A.\ \{x|x > 2,\ x\ bilangan\ real\}$
$B.\ \{x|x > -2,\ x\ bilangan\ real\}$
$C.\ \{x|x < 2,\ x\ bilangan\ real\}$
$D.\ \{x|x < -2,\ x\ bilangan\ real\}$
[Soal UN 2013]
$6x - 8 < 22 - 9x$
$6x + 9x < 22 + 8$
$15x < 30$
$x < 2$ → C.

$10$. Diketahui persamaan $9x + 5 = 2x - 9$, nilai $x + 11$ adalah . . . .
$A.\ -14$
$B.\ 9$
$C.\ 12$
$D.\ 13$
[Soal Un 2014]
$9x + 5 = 2x - 9$
$9x - 2x = -9 - 5$
$7x = -14$
$x = -2$
$x + 11 = -2 + 11 = 9$ → B.

$11$. Himpunan penyelesaian dari $2x - 3 ≤ 21 + 4x$ dengan $x$ bilangan bulat adalah . . . .
$A.\ \{-12, -11, -10, -9, \cdots\}$
$B.\ \{-9, -8, -7, -6, \cdots\}$
$C.\ \{\cdots , -15, -14, -13, -12\}$
$D.\ \{\cdots , -12, -11, -10, -9\}$
[Soal UN 2015]
$2x - 3 ≤ 21 + 4x$
$2x - 4x ≤ 21 + 3$
$-2x ≤ 24$
$-x ≤ 12$
$x ≥ -12$
$\{-12, -11, -10, -9, \cdots\}$ → A.

$12$. Jika $k$ merupakan penyelesaian dari $5(7x - 4) = -3(-9x + 12) + 8$, nilai $k - 7$ adalah . . . .
$A.\ -8$
$B.\ -6$
$C.\ -5$
$D.\ -2$
[Soal UN 2017]
$5(7x - 4) = -3(-9x + 12) + 8$
$35x - 20 = 27x - 36 + 8$
$35x - 20 = 27x - 28$
$35x - 27x = -28 + 20$
$8x = -8$
$x = -1$
Karena $k$ adalah penyelesaian, maka $k = x$
$k = -1$
$k - 7 = -1 - 7 = -8$ → A.

$13$. Penyelesaian dari $3(2x + 1) - 4(2x - 3) = 5$ adalah . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -3$
$C.\ 3$
$D.\ 5$
$3(2x + 1) - 4(2x - 3) = 5$
$6x + 3 - (8x - 12) = 5$
$6x + 3 - 8x + 12 = 5$
$-2x + 15 = 5$
$-2x = 5 - 15$
$-2x = -10$
$-x = -5$
$x = 5$ → D.

$14$. Penyelesaian dari $\dfrac{2x + 4}{4} - \dfrac{4x - 5}{3} = 1$ adalah . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ -1$
$\dfrac{2x + 4}{4} - \dfrac{4x - 5}{3} = 1$
Kalikan kedua ruas dengan 12.
$12.\dfrac{2x + 4}{4} - 12.\dfrac{4x - 5}{3} = 12.1$
$3(2x + 4) - 4(4x - 5) = 12$
$6x + 12 - (16x - 20) = 12$
$6x + 12 - 16x + 20 = 12$
$-10x + 32 = 12$
$-10x = 12 - 32$
$-10x = -20$
$-x = -2$
$x = 2$ → B.

$15$. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $5(2x + 1) - 2(4x - 2) ≤ 3(x + 2)$ adalah . . . .
$A.\ x ≤ 2$
$B.\ x ≥ 3$
$C.\ x ≥ -2$
$D.\ x ≤ -3$
$5(2x + 1) - 2(4x - 2) ≤ 3(x + 2)$
$10x + 5 - (8x - 4) ≤ 3x + 6$
$10x + 5 - 8x + 4 ≤ 3x + 6$
$2x + 9 ≤ 3x + 6$
$2x - 3x ≤ 6 - 9$
$-x ≤ -3$
$x ≥ 3$ → B.

$16$. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{1}{5}(2x - 5) > \dfrac{1}{3}(x + 1)$ adalah . . . .
$A.\ x < 15$
$B.\ x < 20$
$C.\ x > 15$
$D.\ x > 20$
$\dfrac{1}{5}(2x - 5) > \dfrac{1}{3}(x + 1)$
Kalikan kedua ruas dengan 15.
$15.\dfrac{1}{5}(2x - 5) > 15.\dfrac{1}{3}(x + 1)$
$3(2x - 5) > 5(x + 1)$
$6x - 15 > 5x + 5$
$6x - 5x > 5 + 15$
$x > 20$ → D.

$17$. Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x + 4}{4} - \dfrac{3x - 4}{2} < \dfrac{1}{2}$ adalah . . . .
$A.\ x < 2$
$B.\ x < -5$
$C.\ x > 2$
$D.\ x > -5$
Kedua ruas dikali 8.
$8.\dfrac{x + 4}{4} - 8.\dfrac{3x - 4}{2} < 8.\dfrac{1}{2}$
$2(x + 4) - 4(3x - 4) < 4$
$2x + 8 - (12x - 16) < 4$
$2x + 8 - 12x + 16 < 4$
$-10x + 24 < 4$
$-10x < 4 - 24$
$-10x < -20$
$-x < -2$
$x > 2$ → C.

$18$. Jika sisi-sisi sebuah persegi dinyatakan dengan $(3x + 5)$ cm dan $(7x - 11)$ cm, maka panjang sisi persegi adalah . . . .
$A.\ 15\ cm$
$B.\ 16\ cm$
$C.\ 17\ cm$
$D.\ 18\ cm$
Persegi panjang sisi-sisinya pasti sama.
$3x + 5 = 7x - 11$
$5 + 11 = 7x - 3x$
$16 = 4x$
$4 = x$

Panjang sisi = $3x + 5$
$= 3.4 + 5$
$= 17$ → C.

$19$. Di antara pernyataan berikut yang termasuk persamaan linier satu variabel adalah . . . .
$A.\: 3x^2 - 6 = x + 3$
$B.\: 5p - 6 = q + 3$
$C.\: 4y - 6y^2 = 3$
$D.\: 7x - 6 = x + 3$
Persamaan linier satu veriabel adalah persamaan yang mengandung satu variabel berpangkat satu.
Jawab: D.

$20$. Diantara bilangan-bilangan berikut, bilangan bulat terbesar yang merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{2}{3}x - 2 < 3 - \dfrac{1}{6}x$ adalah . . . .
$A.\ 6$
$B.\ 5$
$C.\ 4$
$D.\ -5$
$\dfrac{2}{3}x - 2 < 3 - \dfrac{1}{6}x$
Kedua ruas dikali 6.
$6.\dfrac{2}{3}x - 6.2 < 6.3 - 6.\dfrac{1}{6}x$
$4x - 12 < 18 - x$
$4x + x < 18 + 12$
$5x < 30$
$x < 6$
$x = \{\cdots , 3, 4, 5\}$
Bilangan bulat terbesar yang merupakan penyelesaian adalah $5.$ → B.

Demikianlah soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Selamat belajar !

SHARE THIS POST

www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.