MARETONG: Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Friday, June 07, 2019

Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian dari bilangan bulat positif. Pembuktian dengan metode induksi matematika merupakan pembuktian dari hal khusus ke hal umum. Berbeda dengan pembuktian dengan metode deduksi, dalam metode deduksi pembuktiannya bersifat dari hal umum ke hal khusus.
Untuk membuktikan kebenaran dari induksi matematika, ada tiga langkah yang diperlukan, yaitu:
1. Membuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = 1 (langkah dasar). Hal ini bisa dilakukan dengan membuktikan bahwa $U_1 = S_1$, dimana $U_1$ adalah suku pertama, dan $S_1$ adalah jumlah satu suku pertama.
2. Anggap bahwa untuk n = k, rumus atau teorema adalah benar. (langkah induksi)
3. Karena untuk n = k, rumus atau teorema sudah benar maka perlu dibuktikan bahwa untuk n = k + 1, rumus atau teorema juga benar (kesimpulan).

Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

1. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa:
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{1}{2}n(n + 1)$
Langkah 1.
$U_n = n$
$U_1 = 1$
$S_n = \dfrac{1}{2}n(n + 1)$
$S_1 = \dfrac{1}{2}.1.(1 + 1) = 1$
$1 = 1$
Untuk n = 1, rumus atau teorema benar.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \dfrac{1}{2}k(k + 1)$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 1 + 1)$
$\underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + k}_{\displaystyle \dfrac{1}{2}k(k + 1)} + (k + 1) = \dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$
Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan melakukan modifikasi tehadap ruas kiri.
$\dfrac{1}{2}k(k + 1) + (k + 1) = \dfrac{1}{2}k(k + 1) + \dfrac{2}{2}(k + 1)$
$= \dfrac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2}$
$= \dfrac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)$
$= \dfrac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)$
$= \dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$ [benar]

Kesimpulan:
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{1}{2}n(n + 1)$ [terbukti]

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$
Langkah 1.
$U_n = 2n - 1$
$U_1 = 2.1 - 1 = 1$
$S_n = n^2$
$S_1 = 1^2 = 1$
$1 = 1$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$\underbrace{1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1)}_{\displaystyle k^2} + [2(k + 1) - 1] = (k + 1)^2$
Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri.
$k^2 + [2(k + 1) - 1] = k^2 + 2k + 2 - 1$
$= k^2 + 2k + 1$
$= (k + 1)^2$ [benar]

Kesimpulan:
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ [terbukti].

3. Buktikan bahwa:
$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n + 1)$
Langkah 1.
$U_n = 2n$
$U_1 = 2.1 = 2$
$S_n = n(n + 1)$
$S_1 = 1(1 + 1) = 2$
$2 = 2$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = k(k + 1)$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$2 + 4 + 6 + \cdots + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)$

$\underbrace{2 + 4 + 6 + \cdots + 2k}_{\displaystyle k(k + 1)} + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)$

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri.
$k(k + 1) + 2(k + 1) = k^2 + k + 2k + 2$
$= k^2 + 3k + 2$
$= (k + 1)(k + 2)$ [benar]

Kesimpulan:
$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n + 1)$ [terbukti]

4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$.
Langkah 1.
$U_n = n^2$
$U_1 = 1^2 = 1$
$S_n = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$
$S_1 = \dfrac{1}{6}.1(1 + 1)(2.1 + 1) = 1$
$1 = 1$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{1}{6}k(k + 1)(2k + 1)$.

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k + 1)^2$
$= \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 1 + 1)(2k + 2 + 1)$.

$\underbrace{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2}_{\dfrac{1}{6}k(k + 1)(2k + 1)} + (k + 1)^2$
$= \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)$.

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan
melakukan modifikasi terhadap ruas kiri.

$\dfrac{1}{6}k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)^2$
$= \dfrac{1}{6}[k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2]$
$= \dfrac{1}{6}(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]$
$= \dfrac{1}{6}(k + 1)[2k^2 + k + 6k + 6]$
$= \dfrac{1}{6}(k + 1)[2k^2 + 7k + 6]$
$= \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)$ [benar]

Kesimpulan:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$. [terbukti]

5. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$
Langkah 1.
$U_n = n(n + 1)$
$U_1 = 1(1 + 1) = 2$
$S_n = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$
$S_1 = \dfrac{1}{3}.1.(1 + 1)(1 + 2) = 2$
$2 = 2$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k , sehingga:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k + 1) = \dfrac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)$
$ = \dfrac{1}{3}(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)$

$\underbrace{1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k + 1)}_{\dfrac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)} + (k + 1)(k + 2)$
$ = \dfrac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3)$

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri.

$\dfrac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)$
$= (k + 1)(k + 2)(\dfrac{1}{3}k + 1)$
$= (k + 1)(k + 2)\dfrac{(k + 3)}{3}$
$= \dfrac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3)$ [benar]

Kesimpulan:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$ [terbukti]

6. Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{1}{4}n^2(n + 1)^2$
Langkah 1.
$U_n = n^3$
$U_1 = 1^3 = 1$
$S_n = \dfrac{1}{4}n^2(n + 1)^2$
$S_1 = \dfrac{1}{4}1^2(1 + 1)^2 = 1$
$1 = 1$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \dfrac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema akan benar untuk n = k + 1.
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3$
$ = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$

$\underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3}_{\dfrac{1}{4}k^2(k + 1)^2} + (k + 1)^3$
$ = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

$\dfrac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$
$ = (k + 1)^2(\dfrac{k^2}{4} + (k + 1)$
$ = (k + 1)^2\dfrac{(k^2 + 4k + 4)}{4}$
$ = (k + 1)^2\dfrac{(k + 2)^2}{4}$
$ = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ [benar]

Kesimpulan:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{1}{4}n^2(n + 1)^2$

7. Buktikan bahwa:
$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2n)^2 = \dfrac{2}{3}n(n + 1)(2n + 1)$
Langkah 1.
$U_n = (2n)^2$
$U_1 = (2.1)^2 = 4$
$S_n = \dfrac{2}{3}n(n + 1)(2n + 1)$
$S_1 = \dfrac{2}{3}.1.(1 + 1)(2.1 + 1) = 4$
$4 = 4$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2k)^2 = \dfrac{2}{3}k(k + 1)(2k + 1)$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.

$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2k)^2 + (2(k + 1))^2$
$ = \dfrac{2}{3}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)$

$\underbrace{2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2k)^2}_{\dfrac{2}{3}k(k + 1)(2k + 1)} + 4(k + 1)^2$
$ = \dfrac{2}{3}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)$

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

$\dfrac{2}{3}k(k + 1)(2k + 1) + 4(k + 1)^2$
$= (k + 1)\left[\dfrac{2}{3}k(2k + 1) + 4(k + 1)\right]$
$= (k + 1)\left[\dfrac{2}{3}(2k^2 + k) + 4(k + 1)\right]$
$= (k + 1)\left(\dfrac{4k^2 + 2k + 12k + 12}{3}\right)$
$= (k + 1)\left(\dfrac{4k^2 + 14k + 12}{3}\right)$
$= \dfrac{2}{3}(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)$
$= \dfrac{2}{3}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)$ [benar]

Kesimpulan:
$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2n)^2 = \dfrac{2}{3}n(n + 1)(2n + 1)$ [terbukti]

8. Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
$\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \cdots + \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n}{n + 1}$
Langkah 1.
$U_n = \dfrac{1}{n(n + 1)}$
$U_1 = \dfrac{1}{1(1 + 1)} = \dfrac{1}{2}$
$S_n = \dfrac{n}{n + 1}$
$S_1 = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$

Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:

$\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \cdots + \dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{k}{k + 1}$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.

$\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \cdots + \dfrac{1}{k(k + 1)} + \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)}$
$ = \dfrac{k + 1}{k + 2}$

$\underbrace{\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \cdots + \dfrac{1}{k(k + 1)}}_{\dfrac{k}{k + 1}} + \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)}$
$ = \dfrac{k + 1}{k + 2}$

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

$\dfrac{k}{k + 1} + \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \dfrac{k(k + 2) + 1}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{(k^2 + 2k + 1)}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{(k + 1)(k + 1)}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{k + 1}{k + 2}$ [benar]

Kesimpulan:
$\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \cdots + \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n}{n + 1}$
[terbukti]

9. Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
$\dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \cdots + \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$
$ = \dfrac{n}{2n + 1}$
Langkah 1.
$U_n = \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$
$U_1 = \dfrac{1}{(2.1 - 1)(2.1 + 1)} = \dfrac{1}{3}$
$S_n = \dfrac{n}{2n + 1}$
$S_1 = \dfrac{1}{2.1 + 1} = \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:

$\dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \cdots + \dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$
$ = \dfrac{k}{2k + 1}$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$\dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \cdots + \dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$
$ + \dfrac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} = \dfrac{k + 1}{2k + 3}$

$\underbrace{\dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \cdots + \dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}}_{\dfrac{k}{2k + 1}}$
$ + \dfrac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} = \dfrac{k + 1}{2k + 3}$

Kita akan buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
$\dfrac{k}{2k + 1} + \dfrac{1}{(2k + 1)(2k + 3)}$
$= \dfrac{k(2k + 3) + 1}{(2k + 1)(2k + 3)}$
$= \dfrac{2k^2 + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)}$
$= \dfrac{(k + 1)(2k + 1)}{(2k + 1)(2k + 3)}$
$= \dfrac{k + 1}{2k + 3}$ [benar]

Kesimpulan:
$\dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \cdots + \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$
$ = \dfrac{n}{2n + 1}$ [terbukti]

10. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$2^3 + 4^3 + 6^3 + \cdots + (2n)^3 = 2n^2(n + 1)^2$
Langkah 1.
$U_n = (2n)^3$
$U_1 = (2.1)^3 = 8$
$S_n = 2n^2(n + 1)^2$
$S_1 = 2.1^2(1 + 1)^2 = 8$
$8 = 8$
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga;
$2^3 + 4^3 + 6^3 + \cdots + (2k)^3 = 2k^2(k + 1)^2$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$2^3 + 4^3 + 6^3 + \cdots + (2k)^3 + (2(k + 1))^3 = 2(k + 1)^2(k + 2)^2$

$\underbrace{2^3 + 4^3 + 6^3 + \cdots + (2k)^3}_{\displaystyle 2k^2(k + 1)^2} + (2(k + 1))^3 = 2(k + 1)^2(k + 2)^2$

Kita akan buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
$2k^2(k + 1)^2 + (2(k + 1))^3 = 2k^2(k + 1)^2 + 8(k + 1)^3$
$= 2(k + 1)^2[k^2 + 4(k + 1)]$
$= 2(k + 1)^2[k^2 + 4k + 4]$
$= 2(k + 1)^2(k + 2)^2$ [benar]

Kesimpulan:
$2^3 + 4^3 + 6^3 + \cdots + (2n)^3 = 2n^2(n + 1)^2$ [terbukti]

11. Buktikan bahwa $\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{n}i^3 = \left [ \dfrac{n(n + 1)}{2} \right ]^2$, berlaku
untuk semua bilangan asli $n$.
Langkah 1.
Untuk n = 1, ruas kiri:
$\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{n}i^3 = \displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{1}i^3 = \displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{1}1^3 = 1^3 = 1$
Untuk n = 1, ruas kanan:
$\left [ \dfrac{n(n + 1)}{2} \right ]^2 = \left [ \dfrac{1(1 + 1)}{2} \right ]^2 = 1$
$1 = 1$
Ruas kiri = ruas kanan
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{k}i^3 = \left [ \dfrac{k(k + 1)}{2} \right ]^2$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.

$\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{k + 1}i^3 = \left [ \dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2} \right ]^2$
Kita akan buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan mengolah dan memodifikasi ruas kiri.
$\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{k + 1}i^3 = \underbrace{\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{k}i^3}_{\left [ \dfrac{k(k + 1)}{2} \right ]^2} + \displaystyle \sum_{i\ = \ k + 1 }^{k + 1}i^3$
$= \left [ \dfrac{k(k + 1)}{2} \right ]^2 + (k + 1)^3$
$= \dfrac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$
$= (k + 1)^2\left[\dfrac{1}{4}k^2 + (k + 1)\right]$
$= (k + 1)^2\left[\dfrac{k^2 + 4k + 4}{4}\right]$
$= (k + 1)^2\left[\dfrac{(k + 2)^2}{2^2}\right]$
$= \left[\dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right]^2$ [benar]

Kesimpulan:

$\displaystyle \sum_{i\ = \ 1 }^{n}i^3 = \left [ \dfrac{n(n + 1)}{2} \right ]^2$
[terbukti]

12. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{n}2i = n^2 + n$
Langkah 1.
Untuk n = 1, ruas kiri:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{n}2i = \displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{1}2i = 2.1 = 2$
Untuk n = 1, ruas kanan:
$n^2 + n = 1^2 + 1 = 2$
$2 = 2$
Ruas kiri = ruas kanan.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{k}2i = k^2 + k$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{k + 1}2i = (k + 1)^2 + (k + 1)$

$\underbrace{\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{k}2i}_{k^2 + k} + \displaystyle \sum_{i\ =\ k + 1}^{k + 1}2i = (k + 1)^2 + (k + 1)$

Akan dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan mengolah dan modifikasi ruas kiri.

$k^2 + k + 2(k + 1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1$
$= (k + 1)^2 + (k + 1)$ [benar]

Kesimpulan:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{n}2i = n^2 + n$ [terbukti]

13. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{n}\dfrac{1}{i^2 + i} = \dfrac{n}{n + 1}$
Langkah 1.
Untuk n = 1, ruas kiri:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{n}\dfrac{1}{i^2 + i} = \displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{1}\dfrac{1}{i^2 + i} = \dfrac{1}{1^2 + 1} = \dfrac{1}{2}$
Untuk n = 1, ruas kanan:
$\dfrac{n}{n + 1} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
Ruas kiri = ruas kanan.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{k}\dfrac{1}{i^2 + i} = \dfrac{k}{k + 1}$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{k + 1}\dfrac{1}{i^2 + i} = \dfrac{k + 1}{k + 2}$
$\underbrace{\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{k}\dfrac{1}{i^2 + i}}_{\dfrac{k}{k + 1}} + \displaystyle \sum_{i\ =\ k + 1}^{k + 1}\dfrac{1}{i^2 + i} = \dfrac{k + 1}{k + 2}$

Akan kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan
dengan mengolah dan memodifikasi ruas kiri.

$\dfrac{k}{k + 1} + \dfrac{1}{(k + 1)^2 + (k + 1)} = \dfrac{k}{k + 1} + \dfrac{1}{k^2 + 3k + 2}$
$= \dfrac{k}{k + 1} + \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{k(k + 2) + 1}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{k^2 + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{(k + 1)(k + 1)}{(k + 1)(k + 2)}$
$= \dfrac{k + 1}{k + 2}$ [benar]

Kesimpulan:
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{n}\dfrac{1}{i^2 + i} = \dfrac{n}{n + 1}$ [terbukti]

14. Buktikan dengan induksi bahwa:
$(5^{n + 1} - 4n - 5)$ habis dibagi 16.
Langkah 1.
Untuk n = 1.
$(5^{1 + 1} - 4.1 - 5) = 25 - 4 - 5 = 16$
16 habis dibagi 16.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$(5^{k + 1} - 4k - 5)$ habis dibagi 16.

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1.
$(5^{k + 1 + 1} - 4(k + 1) - 5) = (5^{k + 2} - 4k - 9)$
$= 5.5^{k + 1} - 4k - 5 - 4$
$= 5(5^{k + 1} - 4k - 5) - 4 + 16k + 20$
$= 5(5^{k + 1} - 4k - 5) + 16k + 16$
Karena pada langkah 2 kita sudah asumsikan bahwa
$(5^{k + 1} - 4k - 5)$ habis dibagi 16,
maka $5(5^{k + 1} - 4k - 5)$ pasti habis dibagi 16.
16k pasti habis dibagi 16, dan 16 habis dibagi 16.
Berarti, $5(5^{k + 1} - 4k - 5) + 16k + 16$ habis
dibagi 16. [benar]

Kesimpulan:
$(5^{n + 1} - 4n - 5)$ habis dibagi 16.
[terbukti]
Ingat!!!!
Jika a habis dibagi c, a dan c bilangan bulat, maka a dikali berapapun pasti habis dibagi c, asalkan dikalikan dengan bilangan bulat.

15. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$(a^n - b^n)$ habis dibagi $(a - b)$
Langkah 1.
Untuk n = 1.
$(a^1 - b^1) = (a - b)$ habis dibagi $(a - b)$.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$(a^k - b^k)$ habis dibagi $(a - b)$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$a^{k + 1} - b^{k + 1} = a.a^k - b.b^k$
$= a(a^k - b^k) + (a - b)b^k$
Karena pada langkah 2 kita sudah anggap bahwa $(a^k - b^k)$
habis dibagi $(a - b)$, maka $a(a^k - b^k)$ pasti habis dibagi
oleh $(a - b)$. Karena $(a - b)$ habis dibagi $(a - b)$, maka
$(a - b)b^k$ pasti habis dibagi oleh $(a - b)$.
Berarti, $a(a^k - b^k) + (a - b)b^k$ habis dibagi $(a - b)$.
[benar]

Kesimpulan:
$(a^n - b^n)$ habis dibagi $(a - b)$ [terbukti]

16. Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
$5^n + 3$ habis dibagi 4.
Langkah 1.
Untuk n = 1.
$5^1 + 3 = 8$ habis dibagi 4.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$5^k + 3$ habis dibagi 4.

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$5^{k + 1} + 3 = 5.5^k + 3$
$= 5(5^k + 3) - 12$
Karena $5^k + 3$ habis dibagi 4, maka $5(5^k + 3)$ pasti habis
dibagi 4.
12 habis dibagi 4, berarti $5(5^k + 3) - 12$ habis dibagi 4.
[Benar]

Kesimpulan:
$5^n + 3$ habis dibagi 4. [terbukti]

17. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa:
salah satu faktor dari $2^{2n + 1} + 3^{2n + 1}$ adalah 5, untuk setiap n bilangan asli.
Langkah 1.
Untuk n = 1.
$2^{2n + 1} + 3^{2n + 1} = 2^{2.1 + 1} + 3^{2.1 + 1}$
$= 8 + 27 = 35 = 5.7$ → 5 adalah salah satu faktor.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$2^{2k + 1} + 3^{2k + 1}\ habis\ dibagi\ 5$.
Ingat!!!
Jika a merupakan faktor dari b, maka b pasti habis dibagi
oleh a.

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$2^{2k + 1 + 2} + 3^{2k + 1 + 2} = 4.2^{2k + 1} + 9.3^{2k + 1}$
$= 4(2^{2k + 1} + 3^{2k + 1}) + 3^{2k + 1}(9 - 4)$
$= 4(2^{2k + 1} + 3^{2k + 1}) + 5.3^{2k + 1}$

Karena dari langkah 2 kita sudah anggap bahwa $2^{2k + 1} + 3^{2k + 1}$
habis dibagi 5, maka $4(2^{2k + 1} + 3^{2k + 1})$ pasti habis
dibagi 5. Sementara $5.3^{2k + 1}$ pasti habis dibagi 5.
Berarti $4(2^{2k + 1} + 3^{2k + 1}) + 5.3^{2k + 1}$ habis
dibagi 5. [benar].

Kesimpulan:
Salah satu faktor dari$ 2^{2n + 1} + 3^{2n + 1}$ adalah 5.

18. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$n^3 + 2n$ habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.
Langkah 1.
Untuk n = 1.
$n^3 + 2n = 1^3 + 2.1 = 3$ → habis dibagi 3.
Rumus atau teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga:
$k^3 + 2k$ habis dibagi 3.

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.
$(k + 1)^3 + 2(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2$
$= (k^3 + 2k) + (3k^2 + 3k + 3)$
$= (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1)$
Karena dari langkah 2 kita sudah anggap bahwa $k^3 + 2k$
habis dibagi 3 dan $3(k^2 + k + 1)$ pasti habis dibagi 3,
maka $(k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1)$ pasti habis dibaagi 3.
[benar]

Kesimpulan:
$n^3 + 2n$ habis dibagi 3. [terbukti]

19. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa:
$3^n > 2^n$
Langkah 1.
Untuk n = 1.
$3^1 > 2^1$
$3 > 2$
Teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa teorema benar untuk n = k, sehingga:
$3^k > 2^k$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1.
$3^{k + 1} > 2^{k + 1}$
$3^{k + 1} = 3.3^k$
$3^{k + 1} > 3.2^k$ karena $3^k > 2^k$
$3^{k + 1} > 2.2^k$ karena $3 > 2$
$3^{k + 1} > 2^{k + 1}$ [benar]

Kesimpulan:
$3^n > 2^n$ [terbukti]

20. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:
$(n + 1)^2 > n^2 + 4$ untuk $n \geq 2$.
Langkah 1.
Untuk n = 2.
$(n + 1)^2 > n^2 + 4$
$(2 + 1)^2 > 2^2 + 4$
$9 > 8$
Teorema benar untuk n = 2.

Langkah 2.
Anggap bahwa teorema benar untuk $n = k$, sehingga:
$(k + 1)^2 > k^2 + 4$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk $n = k + 1.$
$(k + 2)^2 > (k + 1)^2 + 4$
$(k + 2)^2 > k^2 + 4 + 2k + 1$
$(k + 2)^2 = k^2 + 4k + 4$
$(k + 2)^2 = k^2 + 2k + 1 + 2k + 3$
$(k + 2)^2 = (k + 1)^2 + 2k + 3$
$(k + 2)^2 > k^2 + 4 + 2k + 3$ (karena $(k + 1)^2 > k^2 + 4$)
$(k + 2)^2 > k^2 + 4 + 2k + 1$ (karena $(2k + 3 > 2k + 1)$)[benar]

Kesimpulan:
$(n + 1)^2 > n^2 + 4$ [terbukti]

21. Buktikan dengan prinsip induksi matematika untuk
semua bilangan asli n, berlaku:
$3^n \geq 2n + 1$
Langkah 1.
untuk n = 1.
$3^1 \geq 2.1 + 1$
$3 \geq 3$
teorema benar untuk n = 1.

Langkah 2.
Anggap bahwa teorema benar untuk n = k, sehingga:
$3^k \geq 2k + 1$

Langkah 3.
Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1.

$3^{k + 1} \geq 2(k + 1) + 1$
$3^{k + 1} \geq 2k + 3$
$3^{k + 1} = 3.3^k$
$3^{k + 1} \geq 3.(2k + 1)$ karena $3^k \geq 2k + 1$
$3^{k + 1} \geq 6k + 3$
$3^{k + 1} \geq 2k + 3$ karena $6k \geq 2k$
$3^{k + 1} \geq 2(k + 1) + 1$ [benar]

Kesimpulan:
$3^n \geq 2n + 1$ [terbukti]

22. $\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{6}(n^2 + 10) =$ . . . .
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{6}(n^2 + 10) = \displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{6}n^2 + \displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{6}10$
$= \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + 10n$ → n = 6.
$= \dfrac{6(6 + 1)(2.6 + 1)}{6} + 10.6$
$= \dfrac{6.7.13}{6} + 60$
$= 91 + 60$
$= 151$

23. $\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{8}i^3 =$ . . . .
$\displaystyle \sum_{i\ =\ 1}^{8}i^3 = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2$ → n = 8.
$= \left(\dfrac{8(8 + 1)}{2}\right)^2$
$= (4.9)^2$
$= 36^2$
$= 1296$

24. $\displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{4}(k^2 + 3k) =$ . . . .
$\displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{4}(k^2 + 3k) = \displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{4}k^2 + 3\displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{4}k$
$= \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + 3.\dfrac{k(k + 1)}{2}$ → k = 4.
$= \dfrac{4(4 + 1)(2.4 + 1)}{6} + 3.\dfrac{4(4 + 1)}{2}$
$= 60$

25. $\displaystyle \sum_{k\ =\ 3}^{6}k(k^2 + 5k) =$ . . . .
$\displaystyle \sum_{k\ =\ 3}^{6}k(k^2 + 5k) = \displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{6}k(k^2 + 5k) -\displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{3}k(k^2 + 5k) $
$= \displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{6}k^3 + 5.\displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{6}k^2 - \displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{3}k^3 - 5.\displaystyle \sum_{k\ =\ 1}^{3}k^2$
$= \left[\dfrac{k^2(k + 1)^2}{4} + 5.\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\right]_{k = 6}$
$- \left[\dfrac{k^2(k + 1)^2}{4} + 5.\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \right]_{k = 3}$
$= \left[\dfrac{6^2(6 + 1)^2}{4} + 5.\dfrac{6(6 + 1)(2.6 + 1)}{6}\right]$
$- \left[\dfrac{3^2(3 + 1)^2}{4} + 5.\dfrac{3(3 + 1)(2.3 + 1)}{6} \right]$
$= 441 + 455 - (36 + 70)$
$= 790$

Demikianlah Soal dan Pembahasan Induksi Matematika, semoga bermanfaat. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.