Perkalian dan perpangkatan matriks adalah sebuah topik yang amat sangat penting. Jika sebelumnya kita sudah tahu bahwa penjumlahan dan pengurangan matriks adalah sebuah topik yang sangat penting, maka perkalian matriks merupakan topik yang tidak kalah penting. Sebelum kita lanjut topik pembahasan kita tentang perkalian dan perpangkatan matriks, ada baiknya lihat dan pelajari terlebih dahulu Pengertian Matriks dan Penjumlahan dan Pengurangan Matriks. Perkalian matriks yang akan kita bahas disini adalah perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks.
A. Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian skalar $k$ dengan matriks $A$ yang dituliskan dengan $k.A$ adalah sebuah matriks baru yang merupakan hasil kali skalar $k$ dengan masing-masing elemen dari matriks $A$. Jika kita misalkan matriks $A = \begin{pmatrix}p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ dan hasil kali dari skalar $k$ dengan matriks $A$ adalah matriks $C$, maka:
$C = k\begin{pmatrix}p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ sehingga $C = \begin{pmatrix}kp & kq \\ kr & ks \end{pmatrix}$.
Contoh soal 1.
Jika $A = \begin{pmatrix}2 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = 3A$, maka $B =$ . . . .
Pembahasan:
$B = 3A = 3\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -9 \\ 15 & 3\end{pmatrix}$
Contok soal 2.
$\begin{pmatrix}a & 6 \\ -1 & 2d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & a + b \\ c + d & 3 \end{pmatrix}$ $ = 3\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.
Nilai $c$ yang memenuhi = . . . .
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}a + 4 & a + b + 6 \\ c + d - 1 & 2d + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a & 3b \\ 3c & 3d \end{pmatrix}$
$2d + 3 = 3d$
$3 = 3d - 2d$
$d = 3$ . . . . *
$c + d - 1 = 3c$ . . . . **
Substitusikan persamaan * ke dalam persamaan **
$c + 3 - 1 = 3c$
$2 = 3c - c$
$c = 1$
Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks
Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks berordo sama dan $k$ adalah bilangan real, maka:
$k(A + B) = kA + kB$
$k(A - B) = kA - kB$
$k(AB) = (kA)B$
B. Perkalian Matriks dengan Matriks
Matriks $A$ dapat dikalikan dengan matriks $B$ jika kolom matriks $A$ sama dengan baris matriks $B$. Jika $A = (a_{ij})_{m\ \times\ n}$ dan $B = (b_{ij})_{n\ \times\ k}$ maka: $A\ \times\ B = C = (c_{ij})_{m\ \times\ k}$
Jika matriks A akan dikalikan dengan matriks B, maka syarat pertama yang harus diperhatikan adalah bahwa banyak kolom matriks A harus sama dengan banyak baris matriks B. Misalkan kolom dari matriks A adalah 3, maka baris dari matriks B haruslah 3. Jika hasil kali dari matriks A x B adalah matriks C, maka ordo dari matriks C adalah (baris dari matiks A) x (kolom dari matriks B). Misalnya matriks A berordo 3 x 2 dan matriks B berordo 2 x 4, maka ordo dari matriks C adalah 3 x 4. Elemen C pada baris pertama dan kolom pertama $(c_{11})$ adalah jumlah dari hasil perkalian elemen-elemen dari matriks A pada baris pertama dengan elemen-elemen dari matriks B pada kolom pertama. Elemen C pada baris pertama dan kolom kedua $(c_{12})$ adalah jumlah dari hasil perkalian elemen-elemen dari matriks A pada baris pertama dengan elemen-elemen dari matriks B pada kolom kedua, dan seterusnya. Perkalian antara matriks A dengan matriks B adalah perkalian antara baris pada matriks A dengan kolom pada matriks B.
Contoh soal 3.
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, dan A x B = C, maka matriks C adalah . . . .
Pembahasan:
Matriks A dua kolom dan matriks B dua baris, berarti memenuhi syarat untuk dikalikan.
$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 1.5 + 2.6 \\ 4.5 + 3.6 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 17 \\ 38 \end{pmatrix}$
Contoh soal 4.
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$ dan A x B = C,
maka matriks C adalah . . . .
Pembahasan:
Kolom matriks A sama dengan baris matriks B, sehingga matriks A dapat dikalikan dengan matriks B.
$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 1.5 + 2.0 & 1.6 + 2.7 \\ 3.5 + 4.0 & 3.6 + 4.7 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 5 & 20 \\ 15 & 46 \end{pmatrix}$
Contoh soal 5.
Jika $A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 5 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\end{pmatrix}$ maka AB = . . . .
Pembahasan:
Matriks A berordo 3 x 1 dan matriks B berordo 1 x 3, maka matriks AB harus berordo 3 x 3. Kolom matriks A sama dengan baris matriks B, maka matriks A dapat dikalikan dengan matriks B.
$AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 3.4 & 3.0 & 3.1\\ 2.4 & 2.0 & 2.1 \\ 5.4 & 5.0 & 5.1\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 12 & 0 & 3\\ 8 & 0 & 2 \\ 20 & 0 & 5\end{pmatrix}$
Contoh soal 6.
Jika $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix}$ maka AB = . . . .
Pembahasan:
Matriks A berordo 3 x 3 dan matriks B berordo 3 x 2, maka matriks AB harus berordo 3 x 2. Karena kolom matriks A sama dengan baris matriks B, maka matriks A dapat dikalikan dengan matriks B.
$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 2.(-2)+0.1+1.2 & 2.1+0.3+1.5 \\ 3.(-2)+1.1+(-2).2 & 3.1+1.3+(-2).5 \\ (-1).(-2)+2.1+4.2 & (-1).1+2.3+4.5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ -9 & -4 \\ 12 & 25\end{pmatrix}$
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks
$ABC = (AB)C = A(BC)$
$A(B + C) = AB + AC$
$(A + B)C = AC + BC$
$AI = IA = A$
$AB \ne BA$
C. Perpangkatan matriks
Operasi matriks tidak mengenal perpangkatan. Perpangkatan yang dimaksud dalam operasi matriks adalah perkalian berulang suatu matriks dengan matriks itu sendiri. Syarat agar suatu matriks bisa dipangkatkan adalah, matriks tersebut haruslah matriks persegi atau matriks bujur sangkar. Dengan demikian, perpangkatan suatu matriks persegi adalah perkalian matriks persegi dengan dirinya sendiri sebanyak jumlah pangkatnya.
$A^n = A . A . A . A . A \ . \ . \ . \ .A$ $(sebanyak\ n\ faktor)$
Contoh soal 7.
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ maka $A^2$ = . . . .
Pembahasan:
$A^2 = A.A = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix}1.1 + 0.2 & 1.0 + 0.4\\2.1 + 4.2 & 2.0 + 4.4\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}1 & 0\\10 & 16\end{pmatrix}$
Contoh soal 8.
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ maka $A^3$ = . . . .
Pembahasan:
$A^3 = A^2.A = A.A^2$
Karena pada contoh soal 7 kita sudah dapat $A^2$, sehingga:
$A^3 = A^2.A = \begin{pmatrix}1 & 0\\10 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 1.1 + 0.2 & 1.0 + 0.4\\10.1 + 16.2 & 10.0 + 16.4\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}1 & 0\\42 & 64\end{pmatrix}$
$A^3 = A.A^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\10 & 16\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix}1.1 + 0.10 & 1.0 + 0.16\\2.1 + 4.10 & 2.0 + 4.16\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}1 & 0\\42 & 64\end{pmatrix}$
$(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$
$(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$
Demikianlah penjelasan singkat tentang perkalian dan perpangkatan matriks, semoga bermanfaat.
SHARE THIS POST
www.maretong.com
A. Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian skalar $k$ dengan matriks $A$ yang dituliskan dengan $k.A$ adalah sebuah matriks baru yang merupakan hasil kali skalar $k$ dengan masing-masing elemen dari matriks $A$. Jika kita misalkan matriks $A = \begin{pmatrix}p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ dan hasil kali dari skalar $k$ dengan matriks $A$ adalah matriks $C$, maka:
$C = k\begin{pmatrix}p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ sehingga $C = \begin{pmatrix}kp & kq \\ kr & ks \end{pmatrix}$.
Contoh soal 1.
Jika $A = \begin{pmatrix}2 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = 3A$, maka $B =$ . . . .
Pembahasan:
$B = 3A = 3\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -9 \\ 15 & 3\end{pmatrix}$
Contok soal 2.
$\begin{pmatrix}a & 6 \\ -1 & 2d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & a + b \\ c + d & 3 \end{pmatrix}$ $ = 3\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.
Nilai $c$ yang memenuhi = . . . .
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}a + 4 & a + b + 6 \\ c + d - 1 & 2d + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a & 3b \\ 3c & 3d \end{pmatrix}$
$2d + 3 = 3d$
$3 = 3d - 2d$
$d = 3$ . . . . *
$c + d - 1 = 3c$ . . . . **
Substitusikan persamaan * ke dalam persamaan **
$c + 3 - 1 = 3c$
$2 = 3c - c$
$c = 1$
Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks
Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks berordo sama dan $k$ adalah bilangan real, maka:
$k(A + B) = kA + kB$
$k(A - B) = kA - kB$
$k(AB) = (kA)B$
B. Perkalian Matriks dengan Matriks
Matriks $A$ dapat dikalikan dengan matriks $B$ jika kolom matriks $A$ sama dengan baris matriks $B$. Jika $A = (a_{ij})_{m\ \times\ n}$ dan $B = (b_{ij})_{n\ \times\ k}$ maka: $A\ \times\ B = C = (c_{ij})_{m\ \times\ k}$
Jika matriks A akan dikalikan dengan matriks B, maka syarat pertama yang harus diperhatikan adalah bahwa banyak kolom matriks A harus sama dengan banyak baris matriks B. Misalkan kolom dari matriks A adalah 3, maka baris dari matriks B haruslah 3. Jika hasil kali dari matriks A x B adalah matriks C, maka ordo dari matriks C adalah (baris dari matiks A) x (kolom dari matriks B). Misalnya matriks A berordo 3 x 2 dan matriks B berordo 2 x 4, maka ordo dari matriks C adalah 3 x 4. Elemen C pada baris pertama dan kolom pertama $(c_{11})$ adalah jumlah dari hasil perkalian elemen-elemen dari matriks A pada baris pertama dengan elemen-elemen dari matriks B pada kolom pertama. Elemen C pada baris pertama dan kolom kedua $(c_{12})$ adalah jumlah dari hasil perkalian elemen-elemen dari matriks A pada baris pertama dengan elemen-elemen dari matriks B pada kolom kedua, dan seterusnya. Perkalian antara matriks A dengan matriks B adalah perkalian antara baris pada matriks A dengan kolom pada matriks B.
Contoh soal 3.
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, dan A x B = C, maka matriks C adalah . . . .
Pembahasan:
Matriks A dua kolom dan matriks B dua baris, berarti memenuhi syarat untuk dikalikan.
$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 1.5 + 2.6 \\ 4.5 + 3.6 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 17 \\ 38 \end{pmatrix}$
Contoh soal 4.
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$ dan A x B = C,
maka matriks C adalah . . . .
Pembahasan:
Kolom matriks A sama dengan baris matriks B, sehingga matriks A dapat dikalikan dengan matriks B.
$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 1.5 + 2.0 & 1.6 + 2.7 \\ 3.5 + 4.0 & 3.6 + 4.7 \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 5 & 20 \\ 15 & 46 \end{pmatrix}$
Contoh soal 5.
Jika $A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 5 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\end{pmatrix}$ maka AB = . . . .
Pembahasan:
Matriks A berordo 3 x 1 dan matriks B berordo 1 x 3, maka matriks AB harus berordo 3 x 3. Kolom matriks A sama dengan baris matriks B, maka matriks A dapat dikalikan dengan matriks B.
$AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 3.4 & 3.0 & 3.1\\ 2.4 & 2.0 & 2.1 \\ 5.4 & 5.0 & 5.1\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 12 & 0 & 3\\ 8 & 0 & 2 \\ 20 & 0 & 5\end{pmatrix}$
Contoh soal 6.
Jika $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix}$ maka AB = . . . .
Pembahasan:
Matriks A berordo 3 x 3 dan matriks B berordo 3 x 2, maka matriks AB harus berordo 3 x 2. Karena kolom matriks A sama dengan baris matriks B, maka matriks A dapat dikalikan dengan matriks B.
$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 2.(-2)+0.1+1.2 & 2.1+0.3+1.5 \\ 3.(-2)+1.1+(-2).2 & 3.1+1.3+(-2).5 \\ (-1).(-2)+2.1+4.2 & (-1).1+2.3+4.5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ -9 & -4 \\ 12 & 25\end{pmatrix}$
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks
$ABC = (AB)C = A(BC)$
$A(B + C) = AB + AC$
$(A + B)C = AC + BC$
$AI = IA = A$
$AB \ne BA$
C. Perpangkatan matriks
Operasi matriks tidak mengenal perpangkatan. Perpangkatan yang dimaksud dalam operasi matriks adalah perkalian berulang suatu matriks dengan matriks itu sendiri. Syarat agar suatu matriks bisa dipangkatkan adalah, matriks tersebut haruslah matriks persegi atau matriks bujur sangkar. Dengan demikian, perpangkatan suatu matriks persegi adalah perkalian matriks persegi dengan dirinya sendiri sebanyak jumlah pangkatnya.
$A^n = A . A . A . A . A \ . \ . \ . \ .A$ $(sebanyak\ n\ faktor)$
Contoh soal 7.
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ maka $A^2$ = . . . .
Pembahasan:
$A^2 = A.A = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix}1.1 + 0.2 & 1.0 + 0.4\\2.1 + 4.2 & 2.0 + 4.4\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}1 & 0\\10 & 16\end{pmatrix}$
Contoh soal 8.
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ maka $A^3$ = . . . .
Pembahasan:
$A^3 = A^2.A = A.A^2$
Karena pada contoh soal 7 kita sudah dapat $A^2$, sehingga:
$A^3 = A^2.A = \begin{pmatrix}1 & 0\\10 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} 1.1 + 0.2 & 1.0 + 0.4\\10.1 + 16.2 & 10.0 + 16.4\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}1 & 0\\42 & 64\end{pmatrix}$
$A^3 = A.A^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\10 & 16\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix}1.1 + 0.10 & 1.0 + 0.16\\2.1 + 4.10 & 2.0 + 4.16\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}1 & 0\\42 & 64\end{pmatrix}$
$(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$
$(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$
Demikianlah penjelasan singkat tentang perkalian dan perpangkatan matriks, semoga bermanfaat.
www.maretong.com
Post a Comment for "Perkalian dan Perpangkatan Matriks"
Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.