MARETONG: Soal dan Pembahasan Suku Banyak

Saturday, September 21, 2019

Soal dan Pembahasan Suku Banyak


Soal dan Pembahasan Suku Banyak (Polinomial). Suku banyak merupakan soal yang selalu muncul pada setiap Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negri, dan memiliki berbagai macam variasi soal. Bukan Hanya Ujian Masuk PTN, pada soal Ujian Nasional pun sering muncul dengan jumlah yang lumayan. Untuk itu admin sengaja mengangkat topik ini dengan harapan adik-adik bisa masuk PTN kesayangannya masing-masing. Soal-soal diambil dari soal-soal masuk PTN dan Ujian Nasional.

Suku banyak atau polinom dalah pernyataan aljabar yang berbentuk:
$a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \cdots + a_1x + a_o$ dengan $a \ne 0$
$x →$ variabel
$n →$ derajat
$a →$ koefisien
$a_n →$ koefisien utama
$a_nx^n →$ disebut suku utama
$a_o →$ suku tetap

Soal dan Pembahasan Suku Banyak (Polinomial)
$1.$ Salah satu akar persamaan $2x^3 - 5x^2 - 9x + 18 = 0$ adalah 3. Jumlah dua akar yang lain adalah . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 11$
$C.\ -\dfrac12$
$D.\ 2\dfrac12$
$E.\ 3$
[Suku Banyak Ebtanas 1995 Matematika IPA]
$x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac ba$
$3 + x_2 + x_3 = -\left(-\dfrac52\right)$
$3 + x_2 + x_3 = \dfrac52$
$x_2 + x_3 = \dfrac52 - 3 = -\dfrac12$
jawab: C.

$2.$ Suatu suku banyak $f(x)$ jika dibagi $(x - 1)$ sisanya $6$ dan dibagi $(x + 3)$ sisanya $-2$. Bila $f(x)$ dibagi $(x^2 + 2x - 3)$ sisanya adalah . . . .
$A.\ 4x + 2$
$B.\ 2x + 4$
$C.\ -2x + 8$
$D.\ \dfrac12x + 5\dfrac12$
$E.\ -\dfrac12x - 6\dfrac12$
[Suku Banyak Ebtanas 1996 Matematika IPA]
Misalkan:
$hasil\ bagi = H(x)$
$pembagi = x^2 + 2x - 3$
$sisa = ax + b$

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$
$f(x) = (x^2 + 2x - 3).H(x) + ax + b$
Dibagi $(x - 1)$ sisa $6$:
$f(1) = (1^2 + 2.1 - 3).H(x) + a.1 + b = 6$
$a + b = 6$ . . . . (*)

Dibagi $(x + 3)$ sisa $-2$:
$f(-3) = ((-3)^2 + 2.(-3) - 3).H(x)$$ + a.(-3) + b = -2$
$-3a + b = -2$ . . . . (**)

Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 6$
$-3a + b = -2$
----------------------------- $-$
$4a = 8$
$a = 2$
$b = 4$

$sisa = ax + b = 2x + 4$
jawab: B.

$3.$ Suku banyak $P(x)$ dibagi oleh $(x^2 - 9)$ sisanya $(5x - 13)$ dan jika dibagi oleh $(x + 1)$ sisanya $-10$. Sisa pembagian suku banyak oleh $(x^2 - 2x - 3)$ adalah . . . .
$A.\ 3x - 7$
$B.\ -3x + 11$
$C.\ 4\dfrac12x - 14\dfrac12$
$D.\ -4x - 6$
$E.\ 19x - 29$
[Suku Banyak Ebtanas 1999 Matematika IPA]
Misalkan:
$Hasil\ bagi = H(x)$
$Pembagi = (x^2 - 2x - 3)$
$Sisa = ax + b$

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
Dibagi oleh $x^2 - 9$ bersisa $5x - 13$, berarti:
$P(-3) = 5.(-3) - 13 = -28$
$P(3) = 5.3 - 13 = 2$

Dibagi oleh $x + 1$ bersisa $-10$, berarti:
$P(-1) = -10$

$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$
$P(x) = (x^2 - 2x - 3).H(x) + ax + b$
$P(-1) = ((-1)^2 - 2.(-1) - 3).H(x)$$ + a.(-1) + b = -10$
$-a + b = -10$ . . . . (*)

$P(3) = (3^2 - 2.3 - 3).H(x) + a.3 + b = 2$
$3a + b = 2$ . . . . (**)

Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$-a + b = -10$
$3a + b = 2$
---------------------------- $-$
$4a = 12$
$a = 3$
$b = -7$

$sisa = ax + b = 3x - 7$
jawab: A.

$4.$ Akar-akar persamaan $px^3 - 14x^2 + 17x - 6 = 0$ adalah $x_1,\ x_2,\ dan\ x_3$. Untuk $x_1 = 3$, maka $x_1x_2x_2 =$ . . . .
$A.\ -6$
$B.\ -\dfrac{14}{3}$
$C.\ -2$
$D.\ \dfrac{14}{3}$
$E.\ 2$
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$px^3 - 14x^2 + 17x - 6 = 0$
Karena $x_1 = 3$ adalah salah satu akarnya, maka:
$p.3^3 - 14.3^2 + 17.3 - 6 = 0$
$27p - 126 + 51 - 6 = 0$
$27p = 81$
$p = 3$

$3x^3 - 14x^2 + 17x - 6 = 0$
$x_1x_2x_3 = -\dfrac da = -\dfrac{-6}{3} = 2$
jawab: E.

$5.$ Suku banyak $P(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + k$ habis dibagi $(x - 2)$. Sisa pembagian $P(x)$ oleh $x^2 + 2x + 2$ adalah . . . .
$A.\ 20x + 4$
$B.\ 20x - 6$
$C.\ 32x + 24$
$D.\ 8x + 24$
$E.\ -32x - 16$
[Suku Banyak Ebtanas 2000 Matematika IPA]
$P(x)$ habis dibagi $(x - 2)$, maka:
$P(2) = 0$
$3.2^3 - 4.2^2 - 6.2 + k = 0$
$24 - 16 - 12 + k = 0$
$k = 4$

$P(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + 4$
Lakukan pembagian biasa !


jawab: D.

$6.$ Akar-akar persamaan $x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0$ adalah $x_1,\ x_2,\ dan\ x_3$. Nilai $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 =$ . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 14$
$C.\ 15$
$D.\ 17$
$E.\ 18$
[Suku Banyak Ebtanas 2000 Matematika IPA]
$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - $$2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$
$= \left(-\dfrac ba\right)^2 - 2.\dfrac ca$
$= \left(-\dfrac{-4}{1}\right)^2 - 2.\dfrac 11$
$= 16 - 2$
$= 14$
jawab: B.

$7.$ Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x + 1)$ sisanya $= -2$ dan dibagi $(x - 3)$ sisa $7$. Suku banyak $g(x)$ dibagi $(x + 1)$ sisa $3$ dan dibagi $(x - 3)$ sisa $2$. Diketahui $h(x) = f(x).g(x)$, jika $h(x)$ dibagi $(x^2 - 2x - 3)$, sisanya adalah . . . .
$A.\ S(x) = 3x - 1$
$B.\ S(x) = 4x - 1$
$C.\ S(x) = 5x - 1$
$D.\ S(x) = 6x - 1$
$E.\ S(x) = 7x + 2$
[Suku Banyak Ebtanas 2001 Matematika IPA]
Misalkan sisa pembagian $h(x) = ax + b$
$h(-1) = -a + b = (-2).3$
$-a + b = -6$ . . . . (*)

$h(3) = 3a + b = 7.2$
$3a + b = 14$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$-a + b = -6$
$3a + b = 14$
------------------------------ $-$
$4a = 20$
$a = 5$
$b = -1$
$sisa = S(x) = 5x - 1$
jawab: C.

$8.$ Suku banyak $(2x^3 + 7x^2 + ax - 3)$ mempunyai faktor $(2x - 1)$. Faktor-faktor linear yang lain adalah . . . .
$A.\ (x - 3)\ dan\ (x + 1)$
$B.\ (x + 3)\ dan\ (x + 1)$
$C.\ (x + 3)\ dan\ (x - 1)$
$D.\ (x - 3)\ dan\ (x - 1)$
$E.\ (x + 2)\ dan\ (x - 6)$
[Suku Banyak Ebtanas 2001 Matematika IPA]
$P(x) = 2x^3 + 7x^2 + ax - 3$
Karena $2x - 1$ merupakan faktor dari $P(x)$, maka $P(\dfrac12) = 0$.
$2.\left(\dfrac12\right)^3 + 7.\left(\dfrac12\right)^2 + a.\dfrac12 - 3 = 0$
$2.\dfrac18 + 7.\dfrac14 + \dfrac12a - 3 = 0$
$\dfrac14 + \dfrac74 + \dfrac12a - 3 = 0$
$\dfrac12a = 1$
$a = 2$

$P(x) = 2x^3 + 7x^2 + 2x - 3$
Bagi $P(x)$ dengan $(2x - 1)$ menggunakan pembagian sintetik (metode Horner).


Faktor yang lain:
$2x^2 + 8x + 6 = 0$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
$(x + 1)(x + 3) = 0$
Dengan demikian faktor yang lain adalah $(x + 1)$ dan $(x + 3)$.
jawab: B.

$9.$ Suku banyak $(2x^3 + ax^2 - bx + 3)$ dibagi $(x^2 - 4)$ bersisa $(x + 23)$. Nilai $a + b =$ . . . .
$A.\ -1$
$B.\ -2$
$C.\ 2$
$D.\ 9$
$E.\ 12$
[Suku Banyak Ebtanas 2002 Matematika IPA]
$P(x) = (x^2 - 4).H(x) + x + 23$
$P(x) = (x + 2)(x - 2).H(x) + x + 23$
$P(-2) = -2 + 23 = 21$
$P(2) = 2 + 23 = 25$

$P(x) = (2x^3 + ax^2 - bx + 3)$
$P(-2) = 2.(-2)^3 + a.(-2)^2 - b.(-2) + 3$
$-16 + 4a + 2b + 3 = 21$
$4a + 2b = 34$
$2a + b = 17$ . . . . (*)

$P(2) = 2.(2)^3 + a.(2)^2 - b.(2) + 3$
$16 + 4a - 2b + 3 = 25$
$4a - 2b = 6$
$2a - b = 3$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$2a + b = 17$
$2a - b = 3$
------------------------- $-$
$4a = 20$
$a = 5$
$b = 7$
$a + b = 5 + 7 = 12$
jawab: E.

$10.$ Diketahui $x^2 - 3x - 4$ merupakan faktor dari suku banyak $x^4 - 4x^3 - 7x^2 + ax + b$. Nilai $a + b =$ . . . .
$A.\ -46$
$B.\ -42$
$C.\ -2$
$D.\ 2$
$E.\ 46$
[Suku Banyak Ebtanas 2003 Matematika IPA]
$x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$
Karena $x^2 - 3x - 4$ merupakan faktor, maka $(x + 1)$ dan $(x - 4)$ adalah faktor.
$P(x) = x^4 - 4x^3 - 7x^2 + ax + b$
$P(-1)= (-1)^4 - 4.(-1)^3 - 7.(-1)^2$$ + a.(-1) + b = 0$
$1 + 4 - 7 - a + b = 0$
$a - b = -2$ . . . . (*)

$P(4) = 4^4 - 4.4^3 - 7.4^2 + 4a + b = 0$
$4a + b = 112$ . . . . (**)

Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a - b = -2$
$4a + b = 112$
---------------------------- $-$
$5a = 110$
$a = 22$
$b = 24$
$a + b = 22 + 24 = 46$
jawab: E.

$11.$ Suku banyak $x^4 - 3x^3 - 5x^2 + x - 6$ dibagi oleh $x^2 - x - 2$, sisanya sama dengan . . . .
$A.\ 16x + 8$
$B.\ 16x - 8$
$C.\ -8x + 16$
$D.\ -8x - 16$
$E.\ -8x - 24$
[Suku Banyak UAN 2004 Matematika IPA]
Lakukan pembagian biasa !


jawab: D.

$12.$ Suku banyak $P(x) = x^3 - 2x + 3$ dibagi oleh $x^2 - 2x - 3$, sisanya adalah . . . .
$A.\ 4\dfrac12x - 2\dfrac12$
$B.\ 9x - 5$
$C.\ 5x + 3$
$D.\ 11x - 9$
$E.\ 5x + 9$
[Suku Banyak UN 2005 Matematika IPA]
Lakukan pembagian biasa !


jawab: E.

$13.$ Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x + 1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x - 3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $2x^2 - x - 3$ sisanya adalah . . . .
$A.\ -2x + 8$
$B.\ -2x + 12$
$C.\ -x + 4$
$D.\ -5x + 5$
$E.\ -5x + 15$
[Suku Banyak UN 2007 Matematika IPA]
$f(x) = (2x^2 - x - 3).H(x) + ax + b$
$f(x) = (x + 1)(2x - 3).H(x) + ax + b$
$f(-1) = -a + b = 10$ . . . . (*)
$f\left(\dfrac32\right) = \dfrac32a + b = 5$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$-a + b = 10$
$\dfrac32a + b = 5$
-------------------------------- $-$
$-\dfrac52a = 5$
$a = -2$
$b = 8$
$sisa = ax + b = -2x + 8$
jawab: A.

$14.$ Salah satu faktor suku banyak $P(x) = x^4 - 15x^2 - 10x + n$ adalah $(x + 2)$. Faktor lainnya adalah . . . .
$A.\ x - 4$
$B.\ x + 4$
$C.\ x + 6$
$D.\ x - 6$
$E.\ x - 8$
[Suku Banyak UN 2008 Matematika IPA]
Karena $x + 2$ adalah salah satu faktor, maka:
$P(-2) = 0$
$(-2)^4 - 15.(-2)^2 - 10.(-2) + n = 0$
$16 - 60 + 20 + n = 0$
$n = 24$
$P(x) = x^4 - 15x^2 - 10x + 24$
Bagi dengan $(x + 2)$ menggunakan metode pembagian sintetik (metode Horner).


Pada pembagian pertama $P(x)$ dibagi oleh $(x + 2)$ didapatkan hasil bagi $x^3 - 2x^2 - 11x + 12$. Dengan cara try and error (coba-coba) ternyata $x^3 - 2x^2 - 11x + 12$ habis dibagi oleh $x - 1$ dan menghasilkan hasil bagi $x^2 - x - 12$. Dengan demikian faktor lainnya adalah: $(x - 1),\ (x + 3),\ dan\ (x - 4)$.
jawab: A.

$15.$ Suku banyak $f(x)$ jika dibagi $(x - 1)$ bersisa $4$ dan bila dibagi $(x + 3)$ bersisa $-5$. Suku banyak $g(x)$ jika dibagi $(x - 1)$ bersisa $2$ dan bila dibagi $(x + 3)$ bersisa $4$. Jika $h(x) = f(x).g(x)$, maka sisa pembagian $h(x)$ oleh $(x^2 + 2x - 3)$ adalah . . . .
$A.\ 6x + 2$
$B.\ x + 7$
$C.\ 7x + 1$
$D.\ -7x + 15$
$E.\ 15x - 7$
[Suku Banyak UN 2009 Matematika IPA]
$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$
Misalkan sisa pembagian $h(x)$ adalah $px + q$.
Dibagi $(x - 1)$:
$p.1 + q = 4.2$
$p + q = 8$ . . . . (*)
Dibagi $(x + 3)$:
$p.(-3) + q = (-5).4$
$-3p + q = -20$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$p + q = 8$
$-3p + q = -20$
---------------------------- $-$
$4p = 28$
$p = 7$
$q = 1$
$sisa = ax + b = 7x + 1$
jawab: C.

$16.$ Suku banyak $2x^3 + ax^2 + bx + 2$ dibagi $(x + 1)$ sisanya $6$, dan dibagi $(x - 2)$ sisanya $24$. Nilai $2a - b =$ . . . .
$A.\ 0$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 6$
$E.\ 9$
[Suku Banyak UN 2010 Matematika IPA]
$P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2$
Dibagi $(x + 1)$ sisa $6$:
$P(-1) = 6$
$2.(-1)^3 + a.(-1)^2 + b.(-1) + 2 = 6$
$a - b = 6$ . . . . (*)
Dibagi $(x - 2)$ sisa $24$:
$P(2) = 24$
$2.2^3 + a.2^2 + b.2 + 2 = 24$
$4a + 2b = 6$
$2a + b = 3$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a - b = 6$
$2a + b = 3$
------------------------- $-$
$3a = 9$
$a = 3$
$b = -3$
$2a - b = 2.3 - (-3) = 9$
jawab: E.

$17.$ Suatu suku banyak berderajat $3$ jika dibagi $x^2 - 3x + 2$ bersisa $4x - 6$ dan jika dibagi $x^2 - x - 6$ bersisa $8x - 10$. Suku banyak tersebut adalah . . . .
$A.\ x^3 - 2x^2 + 3x - 4$
$B.\ x^3 - 3x^2 + 2x - 4$
$C.\ x^3 + 2x^2 - 3x - 7$
$D.\ 2x^3 + 2x^2 - 8x + 7$
$E.\ 2x^3 + 4x^2 - 10x + 9$
[Suku Banyak UN 2012 Matematika IPA]
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$
$x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$
Misalkan:
$P(x) = (x - 1)(x - 2).H(x) + 4x - 6$
$P(1) = 4.1 - 6 = -2$
$P(2) = 4.2 - 6 = 2$

$P(x) = (x + 2)(x - 3).I(x) + 8x - 10$
$P(-2) = 8.(-2) - 10 = -26$
$P(3) = 8.3 - 10 = 14$
Jika kita misalkan $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, kita akan mendapatkan empat persamaan dengan empat variabel. Untuk menghemat waktu, kita bisa menguji $x = -2,\ 1,\ 2,\ 3$ ke opsi yang ada. Opsi yang sesuai adalah opsi A.
jawab: A.

$18.$ Diketahui $(x + 2)$ adalah faktor dari suku banyak $f(x) = 2x^3 - ax^2 - 11x + 6$. Hasil bagi $f(x)$ dibagi $(2x + 3)$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 3x + 1$
$B.\ x^2 - 3x - 1$
$C.\ 2x^2 - 6x - 2$
$D.\ 2x^2 + 6x - 2$
$E.\ 2x^2 - 6x + 2$
[Suku Banyak UN 2016 Matematika IPA]
Karena $(x + 2)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka:
$f(-2) = 0$
$2.(-2)^3 - a.(-2)^2 - 11.(-2) + 6 = 0$
$-16 - 4a + 22 + 6 = 0$
$12 = 4a$
$a = 3$
$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$
Bagi $f(x)$ dengan $(2x + 3)$, gunakan pembagian biasa atau pembagian sintetik (metode Horner) ! Di sini digunakan pembagian biasa.


jawab: B.

$19.$ Diketahui $(x - 2)$ dan $(x + 1)$ adalah faktor-faktor persamaan suku banyak $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$. Jika $x_1,\ x_2,\ dan\ x_3$ adalah akar-akar persamaan tersebut dengan $x_1 < x_2 < x_3$, nilai $2x_1 - x_2 + x_3$ adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ 1$
$C.\ 2$
$D.\ 5$
$E.\ 9$
[Suku Banyak UN 2016 Matematika IPA]
$2^3 + a.2^2 + b.2 + 10 = 0$
$4a + 2b = -18$
$2a + b = -9$ . . . . (*)

$(-1)^3 + a.(-1)^2 + b.(-1) + 10 = 0$
$a - b = -9$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$2a + b = -9$
$a - b = -9$
------------------------ $-$
$3a = -18$
$a = -6$
$b = 3$
Suku banyak menjadi:
$x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 0$
$x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac BA$
$-1 + 2 + x_3 = -\dfrac {-6}{1}$
$x_3 = 5$
Dengan demikian:
$x_1 = -1$
$x_2 = 2$
$x_3 = 5$
$2x_1 - x_2 + x_3 = 2.(-1) - 2 + 5 = 1$
jawab: B.

$20.$ Jika $v(x)$ dibagi oleh $x^2 - x$ dan $x^2 + x$ masing-masing bersisa $5x + 1$ dan $3x + 1$ maka, jika $v(x)$ dibagi $x^2 - 1$ bersisa . . . .
$A.\ -4x + 2$
$B.\ 4x + 2$
$C.\ 2x + 4$
$D.\ 2x - 4$
$E.\ tidak\ dapat\ ditentukan$
[Suku Banyak Skalu 1978 Matematika IPA]
$v(x) = (x^2 - 1).H(x) + ax + b$
$v(x) = (x - 1)(x + 1).H(x) + ax + b$
$x^2 - x = x(x - 1)$.
Dibagi $x^2 - x$ sisa $5x + 1$, berarti jika dibagi oleh $x - 1$ akan bersisa $5.1 + 1 = 6$.
$v(1) = (1 - 1)(1 + 1).H(x) + a.1 + b = 6$
$a + b = 6$ . . . . (*)

$x^2 + x = x(x + 1)$
Dibagi $x^2 + x$ bersisa $3x + 1$, berarti jika dibagi $x + 1$ akan bersisa $3.(-1) + 1 = -2$.
$v(-1) = (-1 - 1)(-1 + 1).H(x)$$ + a.(-1) + b = -2$
$-a + b = -2$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 6$
$-a + b = -2$
------------------------ $+$
$2b = 4$
$b = 2$
$a = 4$
$sisa = ax + b = 4x + 2$
jawab: B.

$21.$ Jika $x - y + 1$ merupakan sebuah faktor dari suku banyak $ax^2 + bxy + cy^2 + 5x - 2y + 3$ maka harga $a,\ b,\ dan\ c$ adalah . . . .
$A.\ 2,\ -1,\ 1$
$B.\ 2,\ -1,\ -1$
$C.\ -2,\ 1,\ 1$
$D.\ -2,\ -1,\ 1$
$E.\ 2,\ 1,\ -1$
[Proyek Perintis I 1982 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$x - y + 1 = 0$
$y = x + 1$
Substitusikan $y = x + 1$ ke dalam persamaan suku banyak !
$ax^2 + bx(x + 1) + c(x + 1)^2 + 5x -$$ 2(x + 1) + 3 = 0$
$ax^2 + bx(x + 1) + c(x^2 + 2x + 1) + 5x -$$ 2(x + 1) + 3 = 0$
$ax^2 + bx^2 + bx + cx^2 + 2cx + c + 5x - $$2x - 2 + 3 = 0$
$(a + b + c)x^2 + (b + 2c + 3)x + c + 1 = 0$
$c + 1 = 0$
$c = -1$
$b + 2c + 3 = 0$
$b + 2.(-1) + 3 = 0$
$b = -1$
$a + b + c = 0$
$a - 1 - 1 = 0$
$a = 2$
jawab: B.

$22.$ Banyak akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^4 - 15x^2 + 5x + 6 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 0$
$B.\ 1$
$C.\ 2$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal Ebtanas 1990 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
Akar-akar rasional bulat yang mungkin adalah faktor dari $6$, yaitu: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$.
Dengan metode try and error, $x - 1$ adalah salah satu faktor.


$4x^4 - 15x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(2x + 1)(x - 1)(2x - 3) = 0$
Akar-akar rasional bulat ada dua, yaitu: $x + 2$ dan $x - 1$.
jawab: C.

$23.$ Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Jika suku banyak $3x^{2n + 1} - x^{2n} + 5x - 4$ dibagi $x + 1$ maka sisa pembagiannya sama dengan . . . .
$A.\ -13$
$B.\ -12$
$C.\ 10$
$D.\ 13$
$E.\ 15$
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = 3x^{2n + 1} - x^{2n} + 5x - 4$
$f(-1) = 3.(-1)^{2n + 1} - (-1)^{2n} + 5.(-1) - 4$
$-1$ dipangkat ganjil $= -1$, $-1$ dipangkat genap $= 1$. $2n + 1$ akan selalu bernilai ganjil dan $2n$ akan selalu bernilai genap.
$f(-1) = 3.(-1) - 1 - 5 - 4 = -13$
jawab: A.

$24.$ Suku banyak $f(x)$ habis dibagi $x + 3$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 - 9$ maka sisa pembagiannya adalah . . . .
$A.\ \dfrac16(x + 3)f(3)$
$B.\ -\dfrac16(x + 3)f(3)$
$C.\ \dfrac16(x - 3)f(3)$
$D.\ -\dfrac16(x + 3)f(-3)$
$E.\ \dfrac16(x - 3)f(-3)$
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x^2 - 9).H(x) + ax + b$
$f(x) = (x + 3)(x - 3).H(x) + ax + b$
$f(-3) = 0$ ← habis
$-3a + b = 0$ . . . . (*)
$f(3) = 3a + b$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$-3a + b = 0$
$3a + b = f(3)$
------------------------- $+$
$2b = f(3)$
$b = \dfrac12f(3)$ ← masukkan ke pers (*)
$-3a + \dfrac12f(3) = 0$
$3a = \dfrac12f(3)$
$a = \dfrac16f(3)$
$\begin{align}
sisa &= ax + b\\
&= \dfrac16f(3)x + \dfrac12f(3)\\
&= \dfrac16(x + 3)f(3)\\
\end{align}$
jawab: A.

$25.$ Misal $f(x)$ adalah suatu suku banyak yang jika dibagi $x^3 + 27$ maka sisa pembagiannya adalah $x^2 - 2x + 7$. Jika $f(x)$ dibagi $x^2 - 3x + 9$ maka sisa pembagiannya adalah . . . .
$A.\ x - 2$
$B.\ -x + 2$
$C.\ -x + 16$
$D.\ -5x + 16$
$E.\ x + 16$
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x^3 + 27).H(x) + x^2 - 2x + 7$
$f(x) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9).H(x) + x^2 -$$ 2x + 7$
$f(x)$ dibagi $x^2 - 3x + 9$ sisa pembagian adalah $(x^2 - 2x + 7) : (x^2 - 3x + 9)$


jawab: A.

$26.$ Jika suku banyak $p(x) = x^4 + 4x^3 + 6ax^2 + 4bx + c$ dibagi $x^3 + 3x^2 + 9x + 3$ bersisa $cx + b$, maka $b =$ . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 3$
$C.\ 5$
$D.\ 6$
$E.\ 8$
[Soal SBMPTN 2013 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
Lakukan pembagian biasa !


Karena sisanya adalah $cx + b$, maka:
$6a - 12 = 0$
$6a = 12$
$a = 2$

$b = c - 3$
$c = b + 3$ . . . . (*)
$c = 4b - 12$ . . . . (**)
Substitusi persamaan (*) ke Persamaan (**)
$b + 3 = 4b - 12$
$15 = 3b$
$b = 5$
jawab: C.

$27.$ Jika $x^4 + ax^3 + (b - 14)x^2 + 28x - 15 = $$f(x)(x - 1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x - 1$, maka nilai $b$ adalah . . . .
$A.\ -4$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 4$
[Soal SBMPTN 2013 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$x^4 + ax^3 + (b - 14)x^2 + 28x - 15 = $$f(x)(x - 1)$
$1^4 + a1^3 + (b - 14)1^2 + 28.1 - 15 =$$ f(1)(1 - 1)$
$1 + a + b - 14 + 28 - 15 = 0$
$a + b = 0$
$a = -b$ . . . . (*)

Turunkan:
$4x^3 + 3ax^2 + 2(b - 14)x + 28 = $$f'(x)(x - 1) + f(x)$
$4.1^3 + 3a.1^2 + 2(b - 14).1 + 28 =$$ f'(1)(1 - 1) + f(1)$

$f(x)$ habis dibagi $x - 1$, berarti $f(1) = 0$

$4 + 3a + 2b - 28 + 28 = 0$
$3a + 2b + 4 = 0$ . . . . (**)
Substitusi pers (*) ke pers (**)
$3.(-b) + 2b + 4 = 0$
$b = 4$
jawab: E.

$28.$ Diketahui $P$ dan $Q$ suatu polinomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^2 - 1$ bersisa $3x + 5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x - 1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x - 1$ bersisa . . . .
$A.\ 8$
$B.\ 6$
$C.\ 4$
$D.\ 2$
$E.\ 1$
[Soal SBMPTN 2014 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(x)Q(x)$ dibagi $x - 1\ sisa\ 3x + 5$
$P(1)Q(1) = 3.1 + 5 = 8$
$Q(x)$ dibagi $x - 1\ bersisa\ 4$
$Q(1) = 4$
$P(1).4 = 8$
$P(1) = \dfrac84 = 2$
jawab: D.

$29.$ Diketahui $P$ dan $Q$ suatu polinomial. Jika $P(x)$ berturut-turut memberikan sisa $-1$ dan $5$ apabila dibagi $x - 1$ dan dibagi $x + 2$, dan $Q(x)$ berturut-turut memberikan sisa $1$ dan $-2$ apabila dibagi $x + 2$ dan dibagi $x - 1$, maka $P(Q(x))$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa . . . .
$A.\ 2x - 3$
$B.\ 2x + 3$
$C.\ 3x + 2$
$D.\ -3x + 2$
$E.\ 3x - 2$
[Soal SBMPTN 2014 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(1) = -1$
$P(-2) = 5$
$Q(1) = -2$
$Q(-2) = 1$

$P(Q(x)) = (x^2 + x - 2).H(x) + ax + b$
$P(Q(x)) = (x + 2)(x - 1).H(x) + ax + b$
$P(Q(1)) = (1 + 2)(1 - 1).H(1) + a.1 + b$
Karena $Q(1) = -2$ dan $P(-2) = 5$
$P(-2) = a + b = 5$ . . . . (*)
$P(Q(-2)) = (-2 + 2)(-2 - 1).H(-2) +$$ a.(-2) + b$
Karena $Q(-2) = 1$ dan $P(1) = -1$
$P(1) = -2a + b = -1$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 5$
$-2a + b = -1$
------------------------- (-)
$3a = 6$
$a = 2$
$b = 3$
$sisa = 2x + 3$
jawab: B.

$30.$ Suku banyak $p(x) = (x - a)^5 + (x - b)^4 + (x - 3)$ habis dibagi oleh $x^2 - (a + b)x + ab.$ Jika $a \ne b$, $a \ne 4$, maka $b =$ . . . .
$A.\ \dfrac{3a + 3 - a^2}{a - 4}$
$B.\ \dfrac{a^2 - a - 1}{a - 4}$
$C.\ \dfrac{a^2 + 4 - a}{4 - a}$
$D.\ \dfrac{3a + 3 - a^2}{4 - a}$
$E.\ \dfrac{3a - 3 - a^2}{4 - a}$
[Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b)$
$p(a) = 0$
$(a - a)^5 + (a - b)^4 + (a - 3) = 0$
$(a - b)^4 + (a - 3) = 0$
$(b - a)^4 = 3 - a$ . . . . (*)

$P(b) = 0$
$(b - a)^5 + (b - b)^4 + (b - 3) = 0$
$(b - a)^5 + (b - 3) = 0$
$(b - a)^5 = 3 - b$ . . . . (**)

$\dfrac{(b - a)^5}{(b - a)^4} = \dfrac{3 - b}{3 - a}$
$b - a = \dfrac{3 - b}{3 - a}$
$(b - a)(3 - a) = 3 - b$
$3b - ab - 3a + a^2 = 3 - b$
$4b - ab = 3 + 3a - a^2$
$b(4 - a) = 3 + 3a - a^2$
$b = \dfrac{3 + 3a - a^2}{4 - a}$
jawab: D.

$31.$ Sisa pembagian $x^{2014} - Ax^{2015} + Bx^3 - 1$ oleh $x^2 - 1$ adalah $-x + B$. Nilai $2A + B$ adalah . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(x) = (x^2 - 1).H(x) - x + B$
$P(1) = -1 + B$
$P(-1) = 1 + B$
$P(x) = x^{2014} - Ax^{2015} + Bx^3 - 1$
$P(1) = 1^{2014} - A.1^{2015} + B.1^3 - 1$
$P(1) = -A + B$
$-A + B = -1 + B$
$A = 1$
$P(-1) = (-1)^{2014} - A.(-1)^{2015} + B.(-1)^3 - 1$
$P(-1) = A - B$
$A - B = 1 + B$
$A - 2B = 1$
$1 - 2B = 1$
$2B = 0$
$B = 0$
$2A + B = 2.1 + 0 = 2$
jawab: B.

$32.$ Fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi dengan sifat $f(-x) = f(x)$ dan $g(-x) = g(x)$. Jika sisa pembagian $(x - 1)f(x)$ oleh $x^2 - 2x - 3$ adalah $x + 3$ dan sisa pembagian $(x + 2)g(x)$ oleh $x^2 + 2x - 3$ adalah $x + 5$, maka sisa pembagian $xf(x)g(x)$ oleh $x^2 + 4x + 3$ adalah . . . .
$A.\ -10x - 8$
$B.\ -8x - 6$
$C.\ -6x - 4$
$D.\ -5x - 3$
$E.\ -4x - 2$
[Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$(x - 1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).H(x) + x + 3$
$(x - 1)f(x) = (x + 1)(x - 3).H(x) + x + 3$
$(-1 - 1)f(-1) = (-1 + 1)(-1 - 3).H(-1) - 1 + 3$
$(-2)f(-1) = 2$
$f(-1) = -1$
$(3 - 1)f(3) = (3 + 1)(3 - 3).H(3) + 3 + 3$
$2f(3) = 6$
$f(3) = 3$
karena $f(-x) = f(x)$, maka:
$f(-3) = 3$

$(x + 2)g(x) = (x^2 + 2x - 3).I(x) + x + 5$
$(x + 2)g(x) = (x + 3)(x - 1).I(x) + x + 5$
$(-3 + 2)g(-3) = (-3 + 3)(-3 - 1).I(-3) - 3 + 5$
$(-1)g(-3) = 2$
$g(-3) = -2$

$(1 + 2)g(1) = (1 + 3)(1 - 1).I(1) + 1 + 5$
$3g(1) = 6$
$g(1) = 2$
karena $g(-x) = g(x)$, maka:
$g(-1) = 2$

$xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).J(x) + px + q$
$xf(x)g(x) = (x + 3)(x + 1).J(x) + px + q$
$(-3).f(-3).g(-3) = -3p + q$
$(-3).3.(-2) = -3p + q$
$-3p + q = 18$ . . . . (*)

$(-1).f(-1).g(-1) = -p + q$
$(-1).(-1).2 = -p + q$
$-p + q = 2$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$-3p + q = 18$
$-p + q = 2$
-------------------------- $-$
$-2p = 16$
$p = -8$
$q = -6$
$sisa = -8x - 6$
jawab: B.

$33.$ Jika diketahui sisa pembagian $xf(x)$ oleh $(x^2 + 4x - 12)$ adalah $ax + b$, sisa pembagian $(x - 1)g(x)$ oleh $(x^2 + x - 6)$ adalah $x + 3$ dan sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $(x^2 - 8x + 12)$ adalah $7x - 3$, maka $4a^2 + 4ab + b^2 =$ . . . .
$A.\ \dfrac{4}{25}$
$B.\ \dfrac{6}{25}$
$C.\ \dfrac{8}{25}$
$D.\ \dfrac{10}{25}$
$E.\ \dfrac{11}{25}$
[Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$xf(x) = (x^2 + 4x - 12).H(x) + ax + b$
$xf(x) = (x + 6)(x - 2).H(x) + ax + b$
$2f(2) = 2a + b$ . . . . (*)

$(x - 1)g(x) = (x^2 + x - 6).I(x) + x + 3$
$(x - 1)g(x) = (x + 3)(x - 2).I(x) + x + 3$
$(2 - 1)g(2) = 2 + 3$
$g(2) = 5$ . . . . (**)

$f(x)g(x) = (x^2 - 8x + 12).J(x) + 7x - 13$
$f(x)g(x) = (x - 2)(x - 6).J(x) + 7x - 13$
$f(2)g(2) = 7.2 - 13$
$f(2)g(2) = 1$
$2f(2)g(2) = 2$ . . . . (***)
Masukkan pers (*) dan (**) ke pers (***)
$(2a + b)5 = 2$
$(2a + b) = \dfrac{2}{5}$
$(2a + b)^2 = \dfrac{4}{25}$
$4a^2 + 4ab + b^2 = \dfrac{4}{25}$
jawab: A.

$34.$ Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^3 - 3x + 5$ adalah $3x^2 - 2$, dan sisa pembagian $x^2 + f^2(x)$ oleh $x^3 - 3x + 5$ adalah $ax^2 + bx + c$, maka $a + b + c =$ . . . .
$A.\ -35$
$B.\ -30$
$C.\ -25$
$D.\ -20$
$E.\ -15$
[Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x^3 - 3x + 5).H(x) + 3x^2 - 2$
$x^2 + f^2(x) = x^2 + [(x^3 - 3x + 5).H(x) + 3x^2 - 2]^2$
$= x^2 + \underbrace{(x^3 - 3x + 5)^2.H^2(x)}_{habis\ dibagi\ x^3 - 3x + 5} + $$\underbrace{2.(x^3 - 3x + 5).H(x).(3x^2 - 2)}_{habis\ dibagi\ x^3 - 3x + 5} + (3x^2 - 2)^2$
$= x^2 + 9x^4 - 12x^2 + 4$
$= 9x^4 - 11x^2 + 4$
Bagi dengan $x^3 - 3x + 5$ dengan menggunaakan pembagian biasa.


$a = 16$
$b = -45$
$c = 4$
$a + b + c = 16 - 45 + 4 = -25$
jawab: C.

$35.$ Sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2 - 4)$ adalah $(ax + b)$. Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x - 2)$ adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x + 2)$ adalah $-5$, maka nilai $4a + b$ adalah . . . .
$A.\ -4$
$B.\ -2$
$C.\ 2$
$D.\ 4$
$E.\ 7$
[Soal SBMPTN 2017 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$p(x) = (x^2 - 4).H(x) + ax + b$
$p(x) = (x + 2)(x - 2).H(x) + ax + b$

$p(2) = 2a + b = 3$
$2a + b = 3$ . . . . (*)
$p(-2) = -2a + b = -5$
$-2a + b = -5$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$2a + b = 3$
$-2a + b = -5$
------------------------ $+$
$2b = -2$
$b = -1$
$a = 2$
$4a + b = 4.2 - 1 = 7$
jawab: E.

$36.$ Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa $ax + b$ dan dibagi $x^2 - 4x + 3$ bersisa $2bx + a - 1$. Jika $f(-2) = 7$, maka $a^2 + b^2 =$ . . . .
$A.\ 12$
$B.\ 10$
$C.\ 9$
$D.\ 8$
$E.\ 5$
[Soal SIMAK UI 2018 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x^2 + x - 2).H(x) + ax + b$
$f(x) = (x + 2)(x - 1).H(x) + ax + b$
$f(-2) = -2a + b = 7$
$-2a + b = 7$ . . . . (*)

$f(1) = a + b$ . . . . (**)

$f(x) = (x^2 - 4x + 3).I(x) + 2bx + a - 1$
$f(x) = (x - 3)(x - 1).I(x) + 2bx + a - 1$
$f(1) = 2b + a - 1$ . . . . (***)
dari persamaan (**) dan (***)
$a + b = 2b + a - 1$
$b = 1$
Masukkan $b = 1$ ke persamaan (*)
$-2a + 1 = 7$
$a = -3$
$a^2 + b^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10$
jawab: B.

$37.$ Sisa pembagian $p(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ oleh $x + 3$ adalah $2$. Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x + 1$ dan $x - 1$, maka $A + 2B - 3C =$ . . . .
$A.\ 10$
$B.\ 11$
$C.\ 12$
$D.\ 13$
$E.\ 14$
[Soal SBMPTN 2018 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$p(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$
$p(-3) = (-3)^3 + A(-3)^2 + B.(-3) + C = 2$
$9A - 3B + C = 29$ . . . . (1)
$p(-1) = (-1)^3 + A(-1)^2 + B.(-1) + C = 0$
$A - B + C = 1$ . . . . (2)
$p(1) = (1)^3 + A(1)^2 + B.(1) + C = 0$
$A + B + C = -1$ . . . . (3)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)
$A - B + C = 1$
$A + B + C = -1$
-------------------------- $-$
$-2B = 2$
$B = -1$

Dengan mensubstitusikan nilai $B = -1$ ke persamaan (2), didapat:
$A + C = 0$ . . . . (4)
Dengan mensubstitusikan nilai $B = -1$ ke persamaan (1), didapat:
$9A + C = 26$ . . . . (5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
$9A + C = 26$
$A + C = 0$
---------------------- $-$
$8A = 26$
$A = \dfrac{13}{4}$
$C = -\dfrac{13}{4}$

$A + 2B - 3C = \dfrac{13}{4} - 2 - 3\left(-\dfrac{13}{4}\right)$
$= \dfrac{13}{4} - 2 + \dfrac{39}{4}$
$= \dfrac{52}{4} - \dfrac84$
$= \dfrac{44}{4}$
$= 11$
jawab: B.

$38.$ Sisa pembagian $p(x) = x^3 + ax^2 + 4x + 2b + 1$ oleh $x^2 + 4$ adalah $b - 3a$. Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x + 1$, maka $a^2 + b =$ . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 3$
$C.\ 5$
$D.\ 7$
$E.\ 9$
[Soal SBMPTN 2018 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$p(-1) = (-1)^3 + a.(-1)^2 + 4.(-1) + 2b + 1 = 0$
$a + 2b = 4$ . . . . (*)

Bagi $p(x) = x^3 + ax^2 + 4x + 2b + 1$ dengan $x^2 + 4$ dengan pembagian biasa !


$2b + 1 - 4a = b - 3a$
$b = a - 1$ . . . . (**)
Dari persamaan (*) dan (**)
$a + 2(a - 1) = 4$
$a + 2a - 2 = 4$
$3a = 6$
$a = 2$
$b = 1$
$a^2 + b = 2^2 + 1 = 5$
jawab: C.

$39.$ Diketahui suku banyak $P(x) = x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2 + k$ habis dibagi $x - 2$. Jika $P(x)$ dibagi $x - 1$ sisanya adalah . . . .
$A.\ 8$
$B.\ 4$
$C.\ 0$
$D.\ -1$
$E.\ -2$
[Soal SBMPTN 2010 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(2) = 2^4 + 2.2^3 - 9.2^2 - 2 + k = 0$
$k = 6$
$P(x) = x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2 + 6$
$P(1) = 1^4 + 2.1^3 - 9.1^2 - 2 + 6 = -2$
jawab: E.

$40.$ Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x - 1)$, maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x - 1)(x + 1)$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{-f(-1)}{2}(1 + x)$
$B.\ \dfrac{-f(-1)}{2}(1 - x)$
$C.\ \dfrac{f(-1)}{2}(1 + x)$
$D.\ \dfrac{f(-1)}{2}(1 - x)$
$E.\ \dfrac{f(-1)}{2}(x - 1)$
[Soal SIMAK UI 2009 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x + 1)(x - 1).H(x) + ax + b$
$f(1) = a + b = 0$
$a + b = 0$ . . . . (*)
$f(-1) = -a + b$
$-a + b = f(-1)$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 0$
$-a + b = f(-1)$
------------------------- $+$
$2b = f(-1)$
$b = \dfrac{f(-1)}{2}$
$a = -\dfrac{f(-1)}{2}$
$\begin{align}
sisa &= -\dfrac{f(-1)}{2}x + \dfrac{f(-1)}{2}\\
&= \dfrac{f(-1)}{2}(1 - x)\\
\end{align}$
jawab: D.

$41.$ Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x,\ x - 1,\ dan\ x + 2$ berturut-turut adalah $2,\ 3,\ dan\ 4,$ maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^3 + x^2 - 2x$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac13x^2 - \dfrac23x - 2$
$B.\ \dfrac13x^2 + \dfrac23x + 2$
$C.\ \dfrac13x^2 + 2x - \dfrac23$
$D.\ \dfrac23x^2 - \dfrac13x - 2$
$E.\ \dfrac23x^2 + \dfrac13x + 2$
[Soal SIMAK UI 2010 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
Karena orde pembagi adalah 3, maka orde dari sisa pembagian adalah 2.
$f(x) = (x^3 + x^2 - 2x).H(x) + ax^2 + bx + c$
$f(x) = x(x + 2)(x - 1).H(x) + ax^2 + bx + c$
$f(0) = c = 2$
$f(-2) = 4a - 2b + c = 4$
$4a - 2b + 2 = 4$
$4a - 2b = 2$
$2a - b = 1$ . . . . (*)

$f(1) = a + b + c = 3$
$a + b + 2 = 3$
$a + b = 1$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$2a - b = 1$
$a + b = 1$
--------------------- $+$
$3a = 2$
$a = \dfrac23$
$b = \dfrac13$

$\begin{align}
sisa &= ax^2 + bx + c\\
&= \dfrac23x^2 + \dfrac13x + 2\\
\end{align}$
jawab: E.

$42.$ Jumlah dari semua solusi riil dari persamaan $x^5 - 4x^4 - 2x^3 + 39x^2 - 54x = 0$ adalah . . . .
$A.\ -4$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 4$
[Soal SIMAK UI 2010 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$x^5 - 4x^4 - 2x^3 + 39x^2 - 54x = 0$
$x(x - 2)(x + 3)(x^2 - 5x + 9) = 0$
$Akar\ riil = 0,\ 2,\ dan\ -3$
$0 + 2 - 3 = -1$
jawab: B.

$43.$ Diketahui $P(x) = ax^5 + bx - 1$, dengan $a$ dan $b$ konstanta. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x - 2010)$ bersisa $6$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x + 2010)$ akan bersisa . . . .
$A.\ -8$
$B.\ -2$
$C.\ -1$
$D.\ 1$
$E.\ 8$
[Soal SIMAK UI 2010 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(x) = ax^5 + bx - 1$
$P(2010) = a.(2010)^5 + b.2010 - 1 = 6$
$a.(2010)^5 + b.2010 = 7$ . . . . (*)
$\begin{align}
P(-2010) &= a.(-2010)^5 + b.(-2010) - 1\\
&= -a.(2010)^5 - b.2010 - 1\\
&= -(a.(2010)^5 + b.2010) - 1\\
&= -7 - 1\\
&= -8\\
\end{align}$
jawab: A.

$44.$ Misalkan $f(x)$ adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama, dan jumlah akar-akarnya adalah $12$. Maka sisa dari pembagian $f(x + 6)$ oleh $x^2 + 1$ adalah . . . .
$A.\ 7x - 6$
$B.\ x + 6$
$C.\ 6x - 7$
$D.\ x - 6$
$E.\ x + 1$
[Soal SIMAK UI 2011 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
Misalkan akar-akarnya adalah: $a,\ 2a,\ 3a.$
$a + 2a + 3a = 12$
$6a = 12$
$a = 2$
Dengan demikian akar-akarnya adalah: $2,\ 4,\ 6.$
$f(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 6)$
$f(x + 6) = (x + 6 - 2)(x + 6 - 4)(x + 6 - 6)$
$= (x + 4)(x + 2)(x)$
$= x^3 + 6x^2 + 8x$


jawab: A.

$45.$ Misalkan $f(x) = (x - 3)^3 + (x - 2)^2 + (x - 1)$. Maka sisa pembagian $f(x + 2)$ oleh $x^2 - 1$ adalah . . . .
$A.\ -2 + 5x$
$B.\ -9 + 14x$
$C.\ 5 - 2x$
$D.\ 14 - 9x$
$E.\ 11 + 19x$
[Soal SIMAK UI 2012 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x - 3)^3 + (x - 2)^2 + (x - 1)$
$f(x + 2) = (x + 2 - 3)^3 + (x + 2 - 2)^2 $$+ (x + 2 - 1)$
$= (x - 1)^3 + x^2 + x + 1$
$= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + x^2 + x + 1$
$= x^3 - 2x^2 + 4x$


jawab: A.

$46.$ Sisa dari pembagian $(3x - 10)^{10} + (-4x + 13)^{13} + (5x - 16)^{16} + $$(ax + b)^{19}$ oleh $x - 3$ adalah $3$. Nilai $a$ dan $b$ yang mungkin adalah . . . .
$1.\ a = 1,\ b = -3$
$2.\ a = 0,\ b = 0$
$3.\ a = -1,\ b = 3$
$4.\ a = -6,\ b = 19$
[Soal SIMAK UI 2012 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(x) = (3x - 10)^{10} + (-4x + 13)^{13} + $$(5x - 16)^{16} + (ax + b)^{19}$
$P(3) = 3$
$3 = (3.3 - 10)^{10} + (-4.3 + 13)^{13} + $$(5.3 - 16)^{16} + (a.3 + b)^{19}$
$3 = 1 + 1 + 1 + (3a + b)^{19}$
$(3a + b)^{19} = 0$
Kemungkinan:
$1.\ a = 1,\ b = -3$
$2.\ a = 0,\ b = 0$
$3.\ a = -1,\ b = 3$
Opsi 1, 2, dan 3 benar.
jawab: A.

$47.$ Jika suku banyak $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ dibagi $x^2 - x$ bersisa $x + 2$ dan jika $xf(x) + g(x)$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa $x - 4$, maka $f(1) =$ . . . .
$A.\ \dfrac34$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ 0$
$D.\ -\dfrac12$
$E.\ -\dfrac34$
[Soal SIMAK UI 2016 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$\dfrac{g(x)}{f(x)} = (x^2 - x).H(x) + x + 2$
$\dfrac{g(x)}{f(x)} = x(x - 1).H(x) + x + 2$
$\dfrac{g(1)}{f(1)} = 1(1 - 1).H(1) + 1 + 2$
$\dfrac{g(1)}{f(1)} = 3$
$g(1) = 3f(1)$ . . . . (*)

$xf(x) + g(x) = (x^2 + x - 2).I(x) + x - 4$
$xf(x) + g(x) = (x + 2)(x - 1).I(x) + x - 4$
$1.f(1) + g(1) = (1 + 2)(1 - 1).I(1) + 1 - 4$
$f(1) + g(1) = -3$ . . . . (**)
Substitusi persamaan (*) ke dalam persamaan (**)
$f(1) + 3f(1) = -3$
$4f(1) = -3$
$f(1) = -\dfrac34$
jawab: E.

$48.$ Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 - 4$ mempunyai sisa $ax + a$ dan suku banyak $g(x)$ dibagi $x^2 - 9$ mempunyai sisa $ax + a - 5$. Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x + 2$ sama nilainya dengan sisa pembagian $g(x)$ oleh $x - 3$ dan $f(-3) = g(2) = -2$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2 + x - 6$ adalah . . . .
$A.\ 4x - 2$
$B.\ -4x - 2$
$C.\ 4x + 2$
$D.\ -4x + 2$
$E.\ -4x - 1$
[Soal SIMAK UI 2017 Matematika IPA]
[Soaal dan Pembahasan Suku Banyak]
$f(x) = (x^2 - 4).H(x) + ax + a$
$f(x) = (x + 2)(x - 2).H(x) + ax + a$
$f(-2) = -2a + a = -a$
$f(2) = 2a + a = 3a$

$g(x) = (x^2 - 9).I(x) + ax + a - 5$
$g(x) = (x + 3)(x - 3).I(x) + ax + a - 5$
$g(-3) = -3a + a - 5$
$g(-3) = -2a - 5$

$g(3) = 3a + a - 5$
$g(3) = 4a - 5$

$f(-2) = g(3)$
$-a = 4a - 5$
$5 = 5a$
$a = 1$
Dengan demikian:
$f(-2) = -1$
$f(2) = 3$
$f(-3) = -2$ ← dari soal
$g(-3) = -7$
$g(3) = -1$
$g(2) = -2$ ← dari soal
$f(x)g(x) = (x^2 + x - 6).J(x) + px + q$
$f(x)g(x) = (x + 3)(x - 2).J(x) + px + q$

$f(2)g(2) = 2p + q$
$3.(-2) = 2p + q$
$2p + q = -6$ . . . . (*)

$f(-3)g(-3) = -3p + q$
$(-2).(-7) = -3p + q$
$-3p + q = 14$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)

$2p + q = -6$
$-3p + q = 14$
----------------------------- $-$
$5p = -20$
$p = -4$
$q = 2$
$sisa = -4x + 2$
jawab: D.

$49.$ Suku banyak $P(x)$ dibagi $x^2 - x - 2$ mempunyai hasil bagi $Q(x)$ dan sisa $x + 2$. Jika $Q(x)$ dibagi $x + 2$ mempunyai sisa $3$, maka sisa $P(x)$ dibagi $x^2 + 3x + 2$ adalah . . . .
$A.\ -11x - 10$
$B.\ -10x - 11$
$C.\ 11x - 10$
$D.\ 10x + 11$
[Soal UM UGM 2013 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(x) = (x^2 - x - 2).Q(x) + x + 2$
$P(x) = (x + 1)(x - 2).Q(x) + x + 2$ . . . . (*)
$Q(x) = (x + 2).H(x) + 3$ . . . . (**)
Substitusi persamaan (**) ke dalam persamaan (*)
$P(x) = (x + 1)(x - 2)[(x + 2).H(x) + 3]$$ + x + 2$
$P(-1) = 0 - 1 + 2 = 1$
$P(-2) = (-1).(-4)[0 + 3] - 2 + 2 = 12$

$P(x) = (x^2 + 3x + 2).I(x) + ax + b$
$P(x) = (x + 2)(x + 1).I(x) + ax + b$
$P(-2) = -2a + b = 12$ . . . . (1)
$P(-1) = -a + b = 1$ . . . . (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$-2a + b = 12$
$-a + b = 1$
------------------------- $-$
$a = -11$
$b = -10$
$sisa = -11x - 10$
jawab: A.

$50.$ Jika $P(x) = x^5 + ax^4 + x^2 + bx + 2$ dibagi $h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ memberi sisa $r(x) = x^2 - 3x + 4$ maka $a + b =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
[Soal UM UGM 2014 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
$P(x) = x^5 + ax^4 + x^2 + bx + 2$
$P(1) = 1 + a + 1 + b + 2 = a + b + 4$
$P(-1)= -1 + a + 1 - b + 2 = a - b + 2$

$P(x) = (x^3 + 2x^2 - x - 2).H(x) +$$ x^2 - 3x + 4$
$P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2).H(x) +$$ x^2 - 3x + 4$
$P(1) = 2$
$P(-1) = 8$

$a + b + 4 = 2$
$a + b = -2$ . . . . (*)
$a - b + 2 = 8$
$a - b = 6$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = -2$
$a - b = 6$
---------------------- $+$
$2a = 4$
$a = 2$
$b = -4$
$a + b = 2 - 4 = -2$
jawab: A.

$51.$ Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^3 - 12x^2 + (p + 4)x - (p + 8) = 0$ Membentuk deret aritmetika dengan beda $2$, maka $p - 36 =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ 0$
$C.\ 4$
$D.\ 8$
$E.\ 12$
[Soal UM UGM 2017 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
Misalkan akar-akarnya adalah: $a,\ a + 2,\ a + 4$
$x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac ba$
$a + a + 2 + a + 4 = -\dfrac {-12}{1}$
$3a + 6 = 12$
$3a = 6$
$a = 2$
Dengan demikian akar-akarnya adalah: $2,\ 4,\ 6$
$x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$
$2.4.6 = -\dfrac{-(p + 8)}{1}$
$48 = p + 8$
$p = 40$
$p - 36 = 40 - 36 = 4$
jawab: C.

$52.$ Misalkan suku banyak $f(x)$ habis dibagi $x - 9$ dan $f(x)$ dibagi $x - 16$ bersisa 2. Jika sisa pembagian $f(x^2)$ oleh $x^2 - x - 12$ adalah $S(x)$, maka $S(1) =$ . . . .
$A.\ -\dfrac87$
$B.\ -\dfrac47$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac47$
$E.\ \dfrac87$
[Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019]
[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]
Misalkan:
$f(x) = (x - 9)(x - 16)H(x) + ax + b$
$f(9) = 9a + b = 0$
$f(16) = 16a + b = 2$
$......................\ -$
$7a = 2$
$a = \dfrac27$
$b = -\dfrac{18}{7}$
$f(x) = (x - 9)(x - 16).H(x) + \dfrac27x - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = (x^2 - 9)(x^2 - 16).H(x^2) + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = (x + 3)(x - 3)(x + 4)(x - 4).H(x^2)$$ + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = (x + 3)(x - 4)(x - 3)(x + 4).H(x^2)$$ + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = \underbrace{(x^2 - x - 12)(x - 3)(x + 4).H(x^2)}_{habis\ dibagi\ x^2 - x - 12}$$ + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$\dfrac{f(x^2)}{(x^2 - x - 12)} = \dfrac{(\dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7})}{(x^2 - x - 12)}$


$S(x) = \dfrac27x + \dfrac67$
$S(1) = \dfrac27.1 + \dfrac67 = \dfrac87$
jawab: E.

Demikianlah soal dan pembahasan Suku Banyak, semoga bisa membantu. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST

www.maretong.com


No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.