MARETONG: Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika Dasar Matdas

Saturday, November 23, 2019

Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika Dasar Matdas

Soal dan pembahasan utul um ugm 2019 matematika dasar (matdas) merupakan sesuatu yang sangat penting untuk dipelajari, terutama mereka yang ingin bertarung untuk memperebutkan tempat di salah satu perguruan tinggi terbaik Indonesia, yaitu UGM. Utul um ugm dilaksanakan pada tanggal 14 juli 2019 yang lalu. Pelajari dengan tekun, semoga bermanfaat.

Soal nomor 1:
Nilai $x$ yang merupakan penyelesaian dari
$-2^{2x + 1} + 4^x + 8^{x + 1/3} - 8^{(2x - 1)/3} -$ $16^{(2x - 1)/4} > 0$ adalah . . . .
$A.\ -1 \leq x < 0$
$B.\ x > 0$
$C.\ x < 0\ atau\ x > 1$
$D.\ 0 \leq x < 1$
$E.\ x > 1$
$-2^{2x + 1} + 4^x + 8^{x + 1/3} - 8^{(2x - 1)/3} -$ $16^{(2x - 1)/4} > 0$
$-2.2^{2x} + 2^{2x} + 2.2^{3x} - \dfrac{2^{2x}}{2} - \dfrac{2^{2x}}{2} > 0$
$2.2^{3x} - 2.2^{2x} > 0$
$2^{3x} - 2^{2x} > 0$
$2^{2x}(2^x - 1) > 0$
$2^{2x}$ ← definit positif, bisa diabaikan.
$2^x - 1 > 0$
$2^x > 1$
$2^x > 2^0$
$x > 0$
jawab: B.

Soal nomor 2:
Hasil penjumlahan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4log\ x} = \dfrac{x^{12}}{10^8}$ adalah . . . .
A. 1
B. 11
C. 101
D. 110
E. 1100
$x^{4log\ x} = \dfrac{x^{12}}{10^8}$
logaritmakan ruas kiri dan ruas kanan !
$log\ x^{4log\ x} = log\ \dfrac{x^{12}}{10^8}$
$4log\ x.log\ x = log\ x^{12} - log\ 10^8$
$4log^2\ x = 12log\ x - 8$
$4log^2\ x - 12log\ x + 8 = 0$
$log^2\ x - 3log\ x + 2 = 0$
$(log\ x - 1)(log\ x - 2) = 0$
$log\ x = 1 → x = 10$
$log\ x = 2 → x = 100$
$jumlah = 10 + 100 = 110$
jawab: D.

Soal nomor 3:
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^2 - (3a - 5)x + 3 = 0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$
$x^2 - (3a - 5)x + 3 = 0$
$x_2 = 3x_1$

$x_1.x_2 = 3$
$3x^2_1 = 3$
$x^2_1 = 1$
$x_1 = \pm 1$
$x_1 = 1 → x_2 = 3$
$x_1 = -1 → x_2 = -3$

$x_1 + x_2 = 3a - 5$
$1 + 3 = 3a - 5$
$9 = 3a → a = 3$

$-1 - 3 = 3a - 5$
$1 = 3a → a = \dfrac13$

$3.\dfrac13 = 1$
jawab: D.

Soal nomor 4:
Grafik fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ mempunyai puncak di $(1,\ 1)$ dan menyinggung garis $y = x + 1$. Nilai $8a - 4b = \cdots$
$A.\ -4$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 4$
$y = ax^2 + bx + c$

Persamaan parabola dengan puncak $(P,\ Q)$:
$y = a(x - P)^2 + Q$

$y = a(x - 1)^2 + 1$
$y = ax^2 - 2ax + a + 1$
Kesamaan:
$b = -2a$ . . . . (*)
$c = a + 1 → a = c - 1$ . . . . (**)

$y = x + 1$ menyinggung $y = ax^2 + bx + c$
$ax^2 + bx + c = x + 1$
$ax^2 + (b - 1)x + c - 1 = 0$
$D = 0$
$(b - 1)^2 - 4a(c - 1) = 0$
Masukkan pers (*) dan (**)
$(-2a - 1)^2 - 4a.a = 0$
$4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 = 0$
$4a + 1 = 0$
$a = -\dfrac14$
$b = -2a = -2.\left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac12$

$8a - 4b = 8.\left(-\dfrac14\right) - 4.\dfrac12 = -2 - 2 = -4$
jawab: A.

Soal nomor 5:
Pada sistem pertidaksamaan berikut:
$x^2 + xy + xz = 1$
$y^2 + yz + yx = 6$
$z^2 + zx + zy = 9$
Nilai $z$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac23$
$B.\ 1$
$C.\ \dfrac32$
$D.\ \dfrac94$
$E.\ 3$
$x + y + z = \dfrac 1x$
$x + y + z = \dfrac 6y$
$x + y + z = \dfrac 9z$

$\dfrac 1x = \dfrac 6y = \dfrac 9z$
$\dfrac 1x = \dfrac 9z → x = \dfrac19z$
$\dfrac 6y = \dfrac 9z → y = \dfrac69z$

$x + y + z = \dfrac 9z$
$\dfrac19z + \dfrac69z + z = \dfrac9z$
$\dfrac{16}{9}z = \dfrac 9z$
$z^2 = \dfrac{81}{16}$
$z = \pm \dfrac94$
jawab: D.

Soal nomor 6:
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{x^2 - x + 1} \leq \sqrt{x + 1}$ adalah $\{x|x\ bilangan\ real,\ a \leq x \leq b\}$, maka $a + b = \cdots$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
$\sqrt{x^2 - x + 1} \leq \sqrt{x + 1}$
Pertama:
$x^2 - x + 1 \geq 0$ ← definit positif

Kedua:
$x + 1 \geq 0$
$x \geq -1$

Ketiga:
$(\sqrt{x^2 - x + 1})^2 \leq (\sqrt{x + 1})^2$
$x^2 - x + 1 \leq x + 1$
$x^2 - 2x \leq 0$
$x(x - 2) \leq 0$
$0 \leq x \leq 2$

$kedua \cap ketiga → 0 \leq x \leq 2$
$a = 0,\ b = 2$
$a + b = 0 + 2 = 2$
jawab: B.

Soal nomor 7:
Sebuah buku dibeli dengan harga Rp1.000,00 dan dijual Rp1.100,00. Sebuah pena dibeli dengan harga Rp1.500,00 dan dijual Rp1.700,00. Seorang pedagang yang memiliki modal Rp300.000,00 dan tokonya dapat memuat paling banyak 250 buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar . . . .
A. Rp30.000,00
B. Rp40.000,00
C. Rp50.000,00
D. Rp60.000,00
E. Rp70.000,00
Misalkan harga sebuah:
$buku = x$
$pena = y$

Modal:
$1000x + 1500y \leq 300000$
$2x + 3y \leq 600$ . . . . (*)

Daya tampung toko:
$x + y \leq 250$ . . . . (**)

Fungsi sasaran:
$f(x,\ y) = z = 100x + 200y$

Perhatikan gambar !
$Maksimum = Rp40.000,00$
jawab: B.

Soal nomor 8:
Diberikan barisan geometri tak konstan $a,b,c, \cdots$. Jika $abc = 27$ dan $9a + b + c = 33$, maka $6a + 7b = \cdots$
A. 39
B. 30
C. 23
D. 18
E. 9
$abc = 27$
$a.ar.ar^2 = 27$
$(ar)^3 = 27$
$ar = 3$ . . . . (*)
$r = \dfrac 3a$ . . . . (**)

$9a + b + c = 33$
$9a + ar + ar.r = 33$
$9a + 3 + 3r = 33$
$9a + 3.\dfrac3a = 30$
$9a + \dfrac9a = 30$
$9a^2 + 9 = 30a$
$9a^2 - 30a + 9 = 0$
$3a^2 - 10a + 3 = 0$
$(3a - 1)(a - 3) = 0$
$a = \dfrac13 → r = 9$
$a = 3 → r = 1$ → tidak berlaku karena deret tidak konstan $(r = 1)$.
$b = ar = 3$

$6a + 7b = 6.\dfrac13 + 7.3 = 23$
jawab: C.

Soal nomor 9:
Diberikan bilangan real $r$, dengan $0 < r < 1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $\dfrac{1}{1 + r}$ adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $r$ adalah . . . .
A. 10
B. 12
C. 15
D. 16
E. 18
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - R}$
$8 = \dfrac{2}{1 - R}$
$8 - 8R = 2$
$6 = 8R$
$R = \dfrac34$

$R = \dfrac{1}{1 + r}$
$\dfrac34 = \dfrac{1}{1 + r}$
$3(1 + r) = 4$
$3 + 3r = 4$
$3r = 1 → r = \dfrac13$

Jika $a = 8$ dan $rasio = r$, maka:
$S_{\infty} = \dfrac{8}{1 - \dfrac13}$
$= \dfrac{8}{\dfrac23}$
$= 8.\dfrac32$
$= 12$
jawab: B.

Soal nomor 10:
Jika $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$ maka determinan dari $A^TA + BB^T$ adalah . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ 0$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
$A^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^TA + BB^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$
$\Bigr|A^TA + BB^T\Bigr| = 3.10 - 5.5 = 5$
jawab: E.

Soal nomor 11:
Jika $tan\ x = 2$, maka $\dfrac{sin\ x + cos\ x}{sin\ x - cos\ x} = \cdots$
$A.\ \dfrac13$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ 2$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
$\dfrac{sin\ x + cos\ x}{sin\ x - cos\ x} = \dfrac{\dfrac{sin\ x + cos\ c}{cos\ x}}{\dfrac{sin\ x - cos\ x}{cos\ x}}$
$= \dfrac{tan\ x + 1}{tan\ x - 1}$
$= \dfrac{2 + 1}{2 - 1}$
$= 3$
jawab: D.

Soal nomor 12:
Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor 1 sampai nimor 9. Diambil tiga bola satu persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola kedua ganjil, dan bola ketiga genap adalah . . . .
$A.\ \dfrac{7}{252}$
$B.\ \dfrac{8}{252}$
$C.\ \dfrac{5}{42}$
$D.\ \dfrac{6}{41}$
$E.\ \dfrac{9}{43}$
Nomor bola: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bola bernomor ganjil ada lima, sedangkan bola bernomor genap ada empat.
Pada pengambilan pertama terambil bola bernomor genap:
$P(I_{genap}) = \dfrac49$
Karena bola tidak dikembalikan, maka tersisa delapan bola dengan bola bernomor genap ada tiga dan bola bernomor ganjil ada lima. Pada pengambilan kedua terambil bola ganjil:
$P(II_{ganjil}) = \dfrac58$
Setelah pengambilan bola kedua, tersisa tujuh bola dengan bola bernomor genap ada tiga dan bola bernomor ganjil ada empat. Pada pengambilan ketiga terambil bola genap:
$P(III_{genap}) = \dfrac37$
$\begin{align}
P(I_{genap} \cap II_{ganjil} \cap III_{genap}) &= \dfrac49.\dfrac58.\dfrac37\\
&= \dfrac{5}{42}\\
\end{align}$
jawab: C.

Soal nomor 13:
Jika rata-rata dari $a,b,c$ dan $a^2,b^2,c^2$ berturut-turut adalah 2 dan 4, maka rata-rata dari $ab,bc,ac$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{10}{3}$
$B.\ \dfrac{11}{3}$
$C.\ 4$
$D.\ \dfrac{13}{3}$
$E.\ \dfrac{14}{3}$
$\dfrac{a + b + c}{3} = 2$
$a + b + c = 6$ . . . . (*)

$\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} = 4$
$a^2 + b^2 + c^2 = 12$ . . . . (**)

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$
$6^2 = 12 + 2(ab + bc + ac)$
$36 = 12 + 2(ab + bc + ac)$
$24 = 2(ab + bc + ac)$
$ab + bc + ac = 12$
$\dfrac{ab + bc + ac}{3} = 4$
$rata-rata = 4$
jawab: C.

Soal nomor 14:
Diketahui $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = ax + 2$, dengan $a \ne 0$. Jika $(f\ o\ g^{-1})(1) = 5$, maka $4a^2 - 3 = \cdots$
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ -1$
$D.\ 1$
$E.\ 2$
$g(x) = ax + 2$
$g^{-1}(x) = \dfrac1a(x - 2)$
$g^{-1}(1) = -\dfrac1a$

$(f\ o\ g^{-1})(1) = f(g^{-1}(1))$
$5 = f\left(-\dfrac1a\right)$
$5 = \left(-\dfrac1a\right)^2 + 1$
$4 = \dfrac{1}{a^2}$
$a^2 = \dfrac14$

$4a^2 - 3 = 4.\dfrac14 - 3 = -2$
jawab: B.

Soal nomor 15:
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1 + \sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt[3]{1 - x^2}}$ adalah . . . .
$A.\ -\sqrt[3]{2}$
$B.\ 0$
$C.\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
$D.\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$
$E.\ \sqrt[3]{2}$
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1 + \sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt[3]{1 - x^2}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{\sqrt[3]{1 - x^2}} + \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt[3]{1 - x^2}}$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1 - x}{\sqrt[3]{(1 - x)(1 + x)}} + \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt[3]{(1 - x)(1 + x)}}$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1 - x}{\sqrt[3]{(1 - x)}\sqrt[3]{(1 + x)}} + \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt[3]{(1 - x)}\sqrt[3]{(1 + x)}}$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{(1 - x)^2}}{\sqrt[3]{(1 + x)}} + \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt[3]{(1 + x)}}$
$= 0 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{1 + 1}}$
$= \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
jawab: C.

16. Soal Utul UM UGM Matematika Dasar 2019
Diberikan $f(x) = (ax^2 + bx + c)(x^2 + x)$. Jika $f'(0) = 3$ dan $f'(-1) = 10$, maka $f'(-\dfrac12) = \cdots$
$A.\ -\dfrac{15}{4}$
$B.\ -\dfrac{13}{4}$
$C.\ -\dfrac{11}{4}$
$D.\ -\dfrac{9}{4}$
$E.\ -\dfrac74$
$f(x) = u(x).v(x)$
$f'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)$

$f(x) = (ax^2 + bx + c)(x^2 + x)$
$f'(x) = (2ax + b)(x^2 + x) +$ $(ax^2 + bx + c)(2x + 1)$

$f'(0) = 3 → c = 3$
$f'(-1) = 10$
$(a - b + c).(-1) = 10$
$b - a - c = 10$
$b - a - 3 = 10$
$b - a = 13$

$\begin{align}
f'\left(-\dfrac12\right) &= (b - a).\left(-\dfrac14\right)\\
&= 13.\left(-\dfrac14\right)\\
&= -\dfrac{13}{4}\\
\end{align}$
jawab: B.

17. Soal Utul UM UGM Matematika Dasar 2019
Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a$, dengan $M + m = 3$, maka $f(2) = \cdots$
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
E. 6
$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 6x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
$x = 0\ atau\ x = 1$

$f''(x) = 12x - 6$
$f''(0) = -6 < 0$ → fungsi maksimum pada $x = 0$
$f''(1) = 6 > 0$ → fungsi minimum pada $x = 1$

$f(0) = a → M = a$
$f(1) = a - 1 → m = a - 1$

$M + m = 3$
$a + a - 1 = 3$
$2a = 4$
$a = 2$

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$
$f(2) = 2.2^3 - 3.2^2 + 2 = 6$
jawab: E.

18. Soal Utul UM UGM Matematika Dasar 2019
Jika $x$ adalah sudut dengan $90^o < x < 180^o$, dan $4 - 2cos^2\ x = 5sin\ x$, maka $cos\ x = \cdots$
$A.\ -\dfrac12\sqrt{3}$
$B.\ -\dfrac12\sqrt{2}$
$C.\ -\dfrac12$
$D.\ -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
$E.\ -\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$
$4 - 2cos^2\ x = 5sin\ x$
$4 - 2(1 - sin^2\ x) = 5sin\ x$
$4 - 2 + 2sin^2\ x - 5sin\ x = 0$
$2sin^2\ x - 5sin\ x + 2 = 0$
$(sin\ x - 2)(2sin\ x - 1) = 0$
$sin\ x = 2$ tidak memenuhi syarat karena $-1 \leq sin\ x \leq 1$

$sin\ x = \dfrac12$
$x = 150^o$ → $90^o < x < 180^o$
$cos\ x = cos\ 150^o$
$= cos(180 - 30)^o$
$= -cos\ 30^o$
$= -\dfrac12\sqrt{3}$
jawab: A.

19. Soal Utul UM UGM Matematika Dasar 2019
Apabila $x$ dan $y$ memenuhi:
$log\ x^2 - log\ y = 1$
$log\ x + log\ y = 8$
maka nilai $y - x = \cdots$
A. 9
B. 99
C. 990
D. 9900
E. 99000
$log\ x^2 - log\ y = 1$
$log\ x + log\ y = 8$

$2log\ x - log\ y = 1$
$log\ x + log\ y = 8$
---------------------------- +
$3log\ x = 9$
$log\ x = 3 → x = 10^3 = 1000$

$log\ x + log\ y = 8$
$3 + log\ y = 8$
$log\ y = 5 → y = 10^5 = 100000$

$y - x = 100000 - 1000 = 99000$
jawab: E.

20. Soal Utul UM UGM Matematika Dasar 2019
Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC = \alpha$. Titik $C_1$ merupakan titik sehingga $\Delta ACC_1$ siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_1 = \alpha$. Titik $C_2$ dipilih sehingga $\Delta AC_1C_2$ siku-siku di $C_1$ dan $\angle C_1AC_2 = \alpha$, dan seterusnya. Panjang $AC_1,AC_2,AC_3, \cdots$ merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Nilai $\dfrac ar$ adalah . . . .
$AC = 5$ → Dalil Phytagoras
$cos\ \alpha = \dfrac{AC}{AC_1}$
$\dfrac45 = \dfrac{5}{AC_1}$
$AC_1 = \dfrac{25}{4} → a = \dfrac{25}{4}$
$r = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac54$

$\dfrac ar = \dfrac{\dfrac{25}{4}}{\dfrac54}$
$= \dfrac{25}{4}.\dfrac{4}{5}$
$= 5$
jawab: C.

Demikianlah soal dan pembahasan utul um ugm 2019 matematika dasar, semoga bermanfaat dan bisa membantu. Selamat belajar !
Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.