MARETONG: Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Friday, December 28, 2018

Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi, disajikan untuk menjawab kebutuhan siswa kelas 10 SMA tentang materi pelajaran komposisi fungsi dan invers fungsi dan juga untuk memenuhi kebutuhan kelas 12 untuk menghadapi UN dan Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negri. Soal diambil dari berbagai sumber terutama soal-soal UN dan Soal-soal masuk PTN.

Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

$1$. Fungsi $g : R → R$ ditentukan oleh $g(x) = x^2 - 3x + 1$ dan fungsi $f : R → R$ sehingga $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 6x - 1$. Maka $f(x) =$ . . . .
  $A.\ 2x + 3$
  $B.\ 2x + 2$
  $C.\ 2x - 1$
  $D.\ 2x - 2$
  $E.\ 2x - 3$
[Soal Ebtanas]
$g(x) = x^2 - 3x + 1$
$(f \circ g)(x) = 2x^2 - 6x -1$
$f(g(x)) = 2x^2 - 6x -1$
$f(x^2 - 3x + 1) = 2(x^2 - 3x + 1) - 3$
jika kita misalkan $x^2 - 3x + 1 = a$
maka $f(a) = 2a -3$
kemudian ganti $a\ jadi\ x$, maka $f(x) = 2x - 3$
jawab: E.

$2$. Diketahui fungsi kuadrat \(f(x) = -2x^2 + 8x + 3\) dengan daerah asal $\{x| -1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R\}$ daerah hasil fungsi adalah . . . .
  $A.\ \{y| -7 ≤ y ≤ 11,\ y ∈ R\}$
  $B.\ \{y| -7 ≤ y ≤ 3,\ y ∈ R\}$
  $C.\ \{y| -7 ≤ y ≤ 19,\ y ∈ R\}$
  $D.\ \{y| 3 ≤ y ≤ 11,\ y ∈ R\}$
  $E.\ \{y| 3 ≤ y ≤ 19,\ y ∈ R\}$
[Soal Ebtanas]
\(f(x) = -2x^2 + 8x + 3\)

Ini merupakan fungsi kuadrat yang terbuka kebawah. Berarti memiliki nilai maksimum.
Sumbu simetri:
$x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-8}{2.(-2)} = 2$
Nilai maksimum jika $x = 2$. Perhatikan bahwa titik $x = 2$ berada diantara selang $-1 ≤ x ≤ 4$
$Nilai\ maaksimum = f(2)$
$= -2.2^2 + 8.2 + 3$
$= 11$
$f(-1) = -2.(-1)^2 + 8.(-1) + 3 = -7$
$f(4) = -2.(4)^2 + 8.(4) + 3 = 3$
Telihat bahwa range atau daerah hasil berada pada selang $-7 ≤ y ≤ 11$.
Jadi, $range = \{y| -7 ≤ y ≤ 11\}$
jawab: A.

$3$. Fungsi $f$ ditentukan oleh \(f(x) = \dfrac{3x + 4}{2x + 1}\), $x ≠ -\dfrac{1}{2}$. Jika $f^{-1}$ adalah invers dari $f$, maka $f^{-1}(x + 2) =$. . . .
  $A.\ \dfrac{-x + 4}{2x - 3}, x ≠ \dfrac{3}{2}$
  $B.\ \dfrac{-x + 2}{2x + 1}, x ≠ -\dfrac{1}{2}$
  $C.\ \dfrac{-x + 6}{2x + 1}, x ≠ -\dfrac{1}{2}$
  $D.\ \dfrac{-x + 2}{2x - 3}, x ≠ \dfrac{3}{2}$
  $E.\ \dfrac{-5x + 10}{2x - 3}, x ≠ \dfrac{3}{2}$
[Soal Ebtanas]
\(f(x) = \dfrac{3x + 4}{2x + 1}\)
Kita tulis menjadi \(y = \dfrac{3x + 4}{2x + 1}\)
$(2x + 1)y = 3x + 4$
$2xy + y = 3x + 4$
$2xy - 3x = 4 - y$
$x(2y - 3) = 4 - y$
$x = \dfrac{4 - y}{2y - 3}$
ganti $y$ jadi $x$ dan $x$ jadi $f^{-1}(x)$
$f^{-1}(x) = \dfrac{4 - x}{2x - 3}$
$f^{-1}(x + 2) = \dfrac{4 - (x + 2)}{2(x + 2) - 3}$
$x$ diganti dengan $x + 2$
$f^{-1}(x + 2) = \dfrac{4 - x - 2}{2x + 4 - 3}$
$f^{-1}(x + 2) = \dfrac{2 - x}{2x + 1}$
jawab: B.

$4$. Diketahui $f(x) = x - 4$. Nilai dari \(f(x^2) - (f^2(x) + 3f(x))\) untuk $x = -2$ adalah . . . .
  $A.\ -54$
  $B.\ -36$
  $C.\ -18$
  $D.\ 6$
  $E.\ 18$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = x - 4$.
\(f(x^2) - (f^2(x) + 3f(x))\) $= x^2 - 4 - [(x - 4)^2 + 3.(x - 4)]$
$= x^2 - 4 -[x^2 - 8x + 16 + 3x - 12]$
$= x^2 - 4 - x^2 + 5x - 4$
$= 5x - 8$
jawab: C.

$5$. Fungsi $f : R → R$ dan $g : R → R$ dinyatakan oleh $f(x) = x + 2$ dan $(g \circ f)(x) = 2x^2 +4x + 1$. Maka $g(2x) =$ . . . .
  $A.\ 2x^2 + 4x + 1$
  $B.\ 2x^2 - 12x + 1$
  $C.\ 8x^2 - 8x + 1$
  $D.\ 8x^2 + 8x + 1$
  $E.\ 4x^2 - 8x + 1$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = x + 2$ dan $(g \circ f)(x) = 2x^2 +4x + 1$.
$g(x + 2) = 2x^2 +4x + 1$.
$g(x + 2) = 2(x + 2)^2 - 4x - 7$.
$g(x + 2) = 2(x + 2)^2 - 4(x + 2) + 1$.
jika $x + 2$ kita misalkan jadi $a$, maka:
$g(a) = 2a^2 - 4a + 1$.
jika $a$ kita misalkan jadi $2x$, maka:
$g(2x) = 2(2x)^2 - 4.2x + 1$
$g(2x) = 8x^2 - 8x + 1$
jawab: C.

$6$. Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $(f \circ g)(x + 1) = -2x^2 - 4x - 1$. Nilai $g(-2)$ adalah . . . .
  $A.\ -5$
  $B.\ -4$
  $C.\ -1$
  $D.\ 1$
  $E.\ 5$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = 2x + 1$ dan $(f \circ g)(x + 1) = -2x^2 - 4x - 1$.
$(f \circ g)(x + 1) = -2(x + 1)^2 + 1$.
ganti $x + 1$ jadi $a$, kemudian $a$ ganti jadi $x\ !$
$(f \circ g)(x) = -2x^2 + 1$.
$2.g(x) + 1 = -2x^2 + 1$
$g(x) = -x^2$
$g(-2) = -(-2)^2$
$g(-2) = -4$
jawab: B.

$7$. Diketahui $f(x) = \dfrac{2 - 3x}{4x + 1}$, $x ≠ -\dfrac{1}{4}$ maka $f^{-1}(x - 2) =$ . . . .
  $A.\ \dfrac{4 - x}{4x - 5},\ x ≠ \dfrac{5}{4}$
  $B.\ \dfrac{-x - 4}{4x - 5},\ x ≠ \dfrac{5}{4}$
  $C.\ \dfrac{-x + 2}{4x + 3},\ x ≠ -\dfrac{3}{4}$
  $D.\ \dfrac{x}{4x + 3},\ x ≠ -\dfrac{3}{4}$
  $E.\ \dfrac{-x}{4x + 5},\ x ≠ -\dfrac{5}{4}$
[Soal Ebtanas]
\(f(x) = \dfrac{2 - 3x}{4x + 1}\)
$y = \dfrac{2 - 3x}{4x + 1}$
$4xy + y = 2 - 3x$
$4xy + 3x = 2 - y$
$x(4y + 3) = 2 - y$
$x = \dfrac{2 - y}{4y + 3}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{2 - x}{4x + 3}$
$f^{-1}(x - 2) = \dfrac{2 - (x - 2)}{4(x - 2) + 3}$
$f^{-1}(x - 2) = \dfrac{4 - x}{4x - 5}$
jawab: A.

$8$. Jika $f(x) = \sqrt{x + 1}$ dan $(f \circ g)(x) = 2\sqrt{x - 1}$ maka fungsi $g$ adalah $g(x) =$ . . . .
  $A.\ 2x - 1$
  $B.\ 2x - 3$
  $C.\ 4x - 5$
  $D.\ 4x - 3$
  $E.\ 5x - 4$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = \sqrt{x + 1}$ dan $(f \circ g)(x) = 2\sqrt{x - 1}$
$f(g(x)) = 2\sqrt{x - 1}$
$\sqrt{g(x) + 1} = 2\sqrt{x - 1}$
$g(x) + 1 = 4(x - 1)$
$g(x) = 4x - 5$
jawab: C.

$9$. Diberikan fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x) = 2x + 1$ dan $(f \circ g)(x) = \dfrac{x}{x + 1},\ x ≠ -1$. Maka invers dari fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = $. . . .
  $A.\ \dfrac{-x}{x - 1},\ x ≠ 1$
  $B.\ \dfrac{-2x + 1}{2x},\ x ≠ 0$
  $C.\ -\dfrac{x - 1}{x},\ x ≠ 0$
  $D.\ -\dfrac{2x}{2x + 1},\ x ≠ -\dfrac{1}{2}$
  $E.\ -\dfrac{2x + 1}{2x},\ x ≠ 0$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = 2x + 1$
$f(g(x)) = \dfrac{x}{x + 1}$
$2g(x) + 1 = \dfrac{x}{x + 1}$
$2g(x) = \dfrac{x}{x + 1} - 1$
$2g(x) = \dfrac{x - x - 1}{x + 1}$
$2g(x) = \dfrac{-1}{x + 1}$
$g(x) = \dfrac{-1}{2x + 2}$
$y = \dfrac{-1}{2x + 2}$
$2xy + 2y = -1$
$2xy = -1 - 2y$
$x = \dfrac{-1 - 2y}{2y}$
$g^{-1}(x) = \dfrac{-2x - 1}{2x}$
$g^{-1}(x) = -\dfrac{2x + 1}{2x}$
jawab: E.

$10$. Diketahui $f : R → R$ dan $g : R → R$, didefinisikan dengan $f(x) = x^3 + 4$ dan $g(x) = 2\ sin\ x$. Nilai $(f \circ g)\left(-\dfrac12π\right)$ adalah . . . .
  $A.\ -4$
  $B.\ 2$
  $C.\ 3$
  $D.\ 6$
  $E.\ 12$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = x^3 + 4$ dan $g(x) = 2\ sin\ x$.
$(f \circ g)\left(-\dfrac12π\right) = \left(2\ sin\ \left(-\dfrac{π}{2}\right)\right)^3 + 4$
$= (2.(-1))^3 + 4$
$= -8 + 4$
$= -4$
jawab: A.

$11$. Diketahui $f : R → R$, $g : R → R$, $g(x) = 2x + 3$ dan $(f \circ g)(x) = 12x^2 + 32x + 26$. Rumus $f(x) =$ . . . .
  $A.\ 3x^2 - 2x + 5$
  $B.\ 3x^2 - 2x + 37$
  $C.\ 3x^2 - 2x + 50$
  $D.\ 3x^2 + 2x - 5$
  $E.\ 3x^2 + 2x - 50$
[Soal UN]
$g(x) = 2x + 3$
$(f \circ g)(x) = 12x^2 + 32x + 26$.
$f(2x + 3) = 12x^2 + 32x + 26$.
$f(2x + 3) = 3(2x + 3)^2 - 4x - 1$.
$f(2x + 3) = 3(2x + 3)^2 - 2(2x + 3) + 5$.
Misalkan $2x + 3 = a$, kemudian misalkan $a = x\ !$
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$
jawab: A.

$12$. Jika $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ dan $(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x - 2}\sqrt{x^2 - 4x + 5}$ maka $g(x - 3) =$ . . . .
  $A.\ \dfrac{1}{x - 5}$
  $B.\ \dfrac{1}{x + 1}$
  $C.\ \dfrac{1}{x - 1}$
  $D.\ \dfrac{1}{x - 3}$
  $E.\ \dfrac{1}{x + 3}$
[Soal UMPTN]
$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$
$(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x - 2}\sqrt{x^2 - 4x + 5}$
$\sqrt{g^2(x) + 1} = \dfrac{1}{x - 2}\sqrt{x^2 - 4x + 5}$
$g^2(x) + 1 = \dfrac{1}{(x - 2)^2}(x^2 - 4x + 5)$
$g^2(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2}(x^2 - 4x + 5) - 1$
$g^2(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 5 - (x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)^2}$
$g^2(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2}$
$g(x) = \dfrac{1}{(x - 2)}$
$g(x - 3) = \dfrac{1}{(x - 3 - 2)}$
$g(x - 3) = \dfrac{1}{(x - 5)}$
jawab: A.

$13$. Diketahui $f : R → R$ yang ditentukan oleh $f(x + 2) = \dfrac{x + 3}{x - 1},\ x ≠ 1$. Rumus untuk $f^{-1}$ adalah . . . .
  $A.\ \dfrac{x + 1}{x + 3},\ x ≠ -3$
  $B.\ \dfrac{x - 3}{x + 1},\ x ≠ -1$
  $C.\ \dfrac{5 - x}{x - 1},\ x ≠ 1$
  $D.\ \dfrac{3x - 1}{x + 1},\ x ≠ -1$
  $E.\ \dfrac{3x + 1}{x - 1},\ x ≠ 1$
[Soal Ebtanas]
$f(x + 2) = \dfrac{x + 3}{ x - 1}$
$f(x + 2) = \dfrac{(x + 2) + 1}{(x + 2) - 3}$
Misalkan $x + 2 = a$ dan kemudian misalkan $a = x$, supaya tidak bingung.
$f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 3}$
$y = \dfrac{x + 1}{x - 3}$
$xy - 3y = x + 1$
$xy - x = 1 + 3y$
$x(y - 1) = 3y + 1$
$x = \dfrac{3y + 1}{y - 1}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 1}$
jawab: E.

$14$. Invers dari $f(x) = (1 - x^3)^{1\over 5} + 2$ adalah . . . .
  $A.\ (x - 2)^{5\over 3}$
  $B.\ 1 - (x - 2)^{5\over 3}$
  $C.\ 1 + (x - 2)^{5\over 3}$
  $D.\ (1 - [x - 2]^5)^{1\over 3}$
  $E.\ (1 + [x - 2]^5)^{1\over 3}$
[Soal UMPTN]
$f(x) = (1 - x^3)^{1\over 5} + 2$
$y = (1 - x^3)^{1\over 5} + 2$
$y - 2 = (1 - x^3)^{1\over 5}$
$[y - 2]^5 = (1 - x^3)$
$x^3 = 1 - [y - 2]^5$
$x = \left(1 - [y - 2]^5\right)^{1\over 3}$
$f^{-1}(x) = \left(1 - [x - 2]^5\right)^{1\over 3}$
jawab: D.

$15$. Jika $f(x) = \sqrt{x}$, $x ≥ 0$, dan $g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$, $x ≠ -1$, maka $(g \circ f)^{-1}(2) =$ . . . .
  $A.\ \dfrac{1}{4}$
  $B.\ \dfrac{1}{2}$
  $C.\ 1$
  $D.\ 2$
  $E.\ 4$
[Soal UMPTN]
$f(x) = \sqrt{x}$ → $f^{-1}(x) = x^2$
$g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$
$g^{-1}(x) = \dfrac{-x}{x - 1}$
$(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$
$(g \circ f)^{-1}(x) = \left(\dfrac{-x}{x - 1}\right)^2$
$(g \circ f)^{-1}(2) = \left(\dfrac{-2}{2 - 1}\right)^2$
$= 1$
jawab: C.

$16$. Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$ dan $g(x) = 3x - 2$. Agar $(g \circ f)(a) = -11$, maka nilai $a$ yang positif adalah . . . .
  $A.\ 2\dfrac12$
  $B.\ 1\dfrac16$
  $C.\ 1$
  $D.\ \dfrac12$
  $E.\dfrac16$
$f(x) = 2x^2 + 3x - 5$
$g(x) = 3x - 2$.
$(g \circ f)(a) = -11$,
$(g \circ f)(x) = 3(2x^2 + 3x - 5) - 2$
$(g \circ f)(a) = 3(2a^2 + 3a - 5) - 2 = -11$
$6a^2 + 9a - 17 = -11$
$6a^2 + 9a - 6 = 0$
$2a^2 + 3a - 2 = 0$
$(a + 2)(2a - 1) = 0$
$a = -2\ atau\ a = \dfrac{1}{2}$
jawab: D.

$17$. Agar $y = \sqrt{\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 3x + 2}}$ bernilai real, syarat nilai $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ 1 < x < 3$
  $B.\ 1 ≤ x < 3$
  $C.\ x < 1\ atau\ x ≥ 3$
  $D.\ 1 < x < 2\ atau\ x ≥ 3$
  $E.\ -1 < x < 0\ atau\ x > 1$
[Soal SPMB]
$\dfrac{x^2 - 5x + 6}{ x^2 - 3x + 2} ≥ 0$
$\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x - 2)} ≥ 0$
$\dfrac{(x - 3)}{(x - 1)} ≥ 0$
$(x - 1)(x - 3) ≥ 0$ → $x ≠ 1,\ x \ne 2$
$x < 1\ atau\ x ≥ 3$
jawab: C.

$18$. Fungsi $f : R → R$ dan $g : R → R$ ditentukan oleh $f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = 4 - 3x$. Nilai dari $(f \circ g)(3)$ adalah . . . .
  $A.\ -29$
  $B.\ -13$
  $C.\ -11$
  $D.\ 17$
  $E.\ 41$
[Soal Ebtanas]
$f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = 4 - 3x$.
$(f \circ g)(x) = 3(4 - 3x) + 2$
$(f \circ g)(x) = 14 - 9x$
$(f \circ g)(3) = 14 - 9.3$
$= -13$
jawab: B.

$19$. Jika $g(x) = (x + 1)$ dan $(f \circ g)(x) = x^2 + 3x + 1$ maka $f(x) =$ . . . .
  $A.\ x^2 + 5x + 5$
  $B.\ x^2 + x - 1$
  $C.\ x^2 + 4x + 3$
  $D.\ x^2 + 6x + 1$
  $E.\ x^2 + 3x - 1$
[Soal UMPTN]
$g(x) = (x + 1)$ dan $(f \circ g)(x) = x^2 + 3x + 1$
$f(x + 1) = x^2 + 3x + 1$
$f(x + 1) = (x + 1)^2 + (x + 1) - 1$
$f(x) = x^2 + x - 1$
jawab: B.

$20$. Jika invers fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x) = \dfrac{2x}{3 - x}$, maka $f(-3) =$ . . . .
  $A.\ 9$
  $B.\ \dfrac{9}{5}$
  $C.\ 1$
  $D.\ -\dfrac{3}{7}$
  $E.\ -1$
[Soal UMPTN]
$f^{-1}(x) = \dfrac{2x}{3 - x}$
$f(x) = [f^{-1}(x)]^{-1}$
Kita inverskan $f^{-1}(x)$
$f^{-1}(x)$ kita ganti jadi $y$.
$y = \dfrac{2x}{3 - x}$
$y(3 - x) = 2x$
$3y -xy = 2x$
$2x + xy = 3y$
$x(y + 2) = 3y$
$x = \dfrac{3y}{y + 2}$
$f(x) = \dfrac{3x}{x + 2}$
$f(-3) = \dfrac{3.(-3)}{-3 + 2}$
$= \dfrac{-9}{-1}$
$= 9$ → A.

$21$. Jika $f(x - 1) = x + 2$ dan $g(x) = \dfrac{2 - x}{x + 3}$, maka nilai $(g^{-1} \circ f)(1)$ adalah . . . .
  $A.\ -6$
  $B.\ -2$
  $C.\ -\dfrac{1}{6}$
  $D.\ \dfrac{1}{4}$
  $E.\ 4$
[Soal SNMPTN]
Cari $f(x)\ !$
$f(x - 1) = x + 2$
$f(x - 1) = (x - 1) + 3$
Misalkan $x - 1 = a$
$f(a) = a + 3$
Misalkan $a = x$
$f(x) = x + 3$

Cari $g^{-1}(x)\ !$
$g(x) = \dfrac{2 - x}{x + 3}$
$y = \dfrac{2 - x}{x + 3}$
$y(x + 3) = 2 - x$
$xy + 3y = 2 - x$
$xy + x = 2 - 3y$
$x(y + 1) = 2 - 3y$
$x = \dfrac{2 - 3y}{y + 1}$
$g^{-1}(x) = \dfrac{2 - 3x}{x + 1}$
$(g^{-1} \circ f)(x) = \dfrac{2 - 3(x + 3)}{(x + 3) + 1}$
$(g^{-1} \circ f)(1) = \dfrac{2 - 3(1 + 3)}{(1 + 3) + 1}$
$(g^{-1} \circ f)(1) = \dfrac{2 - 3(4)}{(4) + 1}$
$(g^{-1} \circ f)(1) = \dfrac{-10}{5}$
$(g^{-1} \circ f)(1) = -2$
jawab: B.

$22$. Jika $f(x) = ax + 3$, $a ≠ 0$, dan $f^{-1}(f^{-1}(9)) = 3$, maka nilai $a^2 + a + 1$ adalah . . . .
  $A.\ 11$
  $B.\ 9$
  $C.\ 7$
  $D.\ 5$
  $E.\ 3$
[Soal SNMPTN]
$f(x) = ax + 3$
$y = ax + 3$
$y - 3 = ax$
$x = \dfrac{y - 3}{a}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{a}$
$f^{-1}(9) = \dfrac{9 - 3}{a}$
$f^{-1}(9) = \dfrac{6}{a}$
$f^{-1}\left(\dfrac{6}{a}\right) = \dfrac{\dfrac{6}{a} - 3}{a} = 3$

$\dfrac{6}{a} - 3 = 3a$
$6 - 3a = 3a^2$
$3a^2 + 3a -6 = 0$
$a^2 + a - 2 = 0$
$a^2 + a = 2$
$a^2 + a + 1 = 2 + 1$
$a^2 + a + 1 = 3$
jawab: E.

$23$. Jika $f(x) = 3^x$, maka $f(a + 2b - c) =$ . . . .
  $A.\ f(a) + 2f(b) - f(c)$
  $B.\ \dfrac{2f(a)f(b)}{f(c)}$
  $C.\ \dfrac{f(a)(f(b))^2}{f(c)}$
  $D.\ \dfrac{f(a) + (f(b))^2}{f(c)}$
  $E.\ f(a + 2b) - f(c)$
[Soal SPMB]
$f(x) = 3^x$
$f(a) = 3^a,\ f(b) = 3^b,\ f(c) = 3^c$
$f(a + 2b - c) = 3^{a + 2b - c}$
$= \dfrac{3^a.3^{2b}}{3^c}$
$= \dfrac{3^a.(3^b)^2}{3^c}$
$= \dfrac{f(a).(f(b))^2}{f(c)}$
jawab: C.

$24$. Daerah asal fungsi $f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 + 5x - 6}{-x + 2}}$ adalah . . . .
  $A.\ \{x| x < 2\}$
  $B.\ \{x| 1 ≤ x < 2\}$
  $C.\ \{x| x ≤ -6\ atau\ 1 ≤ x < 2\}$
  $D.\ \{x| x ≤ -6\ atau\ 1 ≤ x ≤ 2\}$
  $E.\ \{x| x ≤ -6\ atau\ 1 < x < 2\}$
[Soal UMPTN]
$\dfrac{x^2 + 5x - 6}{-x + 2} ≥ 0$
$\dfrac{(x + 6)(x - 1)}{-x + 2} ≥ 0$
$\dfrac{(x + 6)(x - 1)}{x - 2} ≤ 0$
$(x + 6)(x - 1)(x - 2) ≤ 0$ dan $x ≠ 2$
$x ≤ -6\ atau\ 1 ≤ x < 2$
jawab: C.

$25$. Jika $f(x) = 3^{x-1}$ maka $f^{-1}(81) =$ . . . .
  $A.\ 1$
  $B.\ 2$
  $C.\ 3$
  $D.\ 4$
  $E.\ 5$
$f(x) = 3^{x - 1}$ → $y = 3^{x - 1}$
$^3log\ y = x - 1$
$^3log\ y + 1 = x$
$^3log\ x + 1 = f^{-1}(x)$
$^3log\ 81 + 1 = f^{-1}(81)$
$^3log\ 3^4 + 1 = f^{-1}(81)$
$4.^3log\ 3 + 1 = f^{-1}(81)$
$4.1 + 1 = f^{-1}(81)$
$5 = f^{-1}(81)$
jawab: E.

$26$. Jika $f(x) = 2 - x$, $g(x) = x^2 + 1$, dan $h(x) = 3x$, maka $(h \circ g \circ f)(3) =$ . . . .
  $A.\ -80$
  $B.\ -6$
  $C.\ 6$
  $D.\ 80$
  $E.\ 81$
[Soal UMPTN]
$f(x) = 2 - x$
$g(x) = x^2 + 1$
$h(x) = 3x$
$(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x)))$
$(h \circ g \circ f)(x) = h(g(2 - x))$
$(h \circ g \circ f)(x) = h((2 - x)^2 + 1)$
$(h \circ g \circ f)(x) = 3((2 - x)^2 + 1)$
$(h \circ g \circ f)(1) = 3((2 - 1)^2 + 1)$
$(h \circ g \circ f)(1) = 3(2)$
$(h \circ g \circ f)(1) = 6$
jawab: C.

$27$. Jika $f : R → R$ dengan $f(x) = x^2 - 4x - 5$, maka $f^{-1}(x) =$ . . . .
  $A.\ \sqrt{x + 9} + 2$
  $B.\ \sqrt{x + 9} - 2$
  $C.\ \sqrt{x + 2} + 9$
  $D.\ \sqrt{x + 2} - 9$
  $E.\ \sqrt{x - 9} + 2$
$f(x) = x^2 - 4x - 5$ → $y = x^2 - 4x - 5$
$y + 5 = x^2 - 4x$
$y + 5 = (x - 2)^2 - 4$
$y + 9 = (x - 2)^2$
$± \sqrt{y + 9} = x - 2$
$± \sqrt{y + 9} + 2 = x$
$± \sqrt{x + 9} + 2 = f^{-1}(x)$
$\sqrt{x + 9} + 2 = f^{-1}(x)$ atau $-\sqrt{x + 9} + 2 = f^{-1}(x)$ → A.

$28$. Jika diketahui $f(x) = ^{5}log x$ dan $g(x) = x - 3$, maka $(f \circ g)^{-1}(x) =$ . . . .
  $A.\ 5^x - 1$
  $B.\ 5^x + 1$
  $C.\ 2^x - 5$
  $D.\ 2^x + 5$
  $E.\ 5^x + 3$
$f(x) =\ ^5log x$
$g(x) = x - 3$
$(f \circ g)(x) =\ ^5log (x - 3)$
$y =\ ^5log (x - 3)$
$x - 3 = 5^y$
$x = 5^y + 3$
$(f \circ g)^{-1}(x) = 5^x + 3$
jawab: E.

$29$. Diberikan fungsi $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ dan $g(x) = x + 1$. Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $(f \circ g)(x) < f(x)g(x)$ adalah . . . .
  $A.\ x > 1$
  $B.\ 0 < x < 1$
  $C.\ x < 0\ atau\ 0 < x < 1$
  $D.\ 0 < x < 1\ atau\ x > 1$
  $E.\ x < 0\ atau\ x > 1$
[Soal SBMPTN]
$(f \circ g)(x) < f(x).g(x)$
$\dfrac{1}{x} < \dfrac{x + 1}{x - 1}$
$\dfrac{1}{x} - \dfrac{x + 1}{x - 1} < 0$
$\dfrac{x - 1 - x(x + 1)}{x(x - 1)} < 0$
$\dfrac{-x^2 - 1}{x(x - 1)} < 0$
$\dfrac{x^2 + 1}{x(x - 1)} > 0$
$x^2 + 1$ adalah definit positif, jadi bisa diabaikan.
$x(x - 1) > 0$
$x < 0$ atau $x > 1$
jawab: E.

$30$. Jika $f(x) = ax + b$ dan $f^{-1}(x) = bx + a$ untuk suatu bilangan bulat negatif $a\ dan\ b$, maka $a - b =$ . . . .
  $A.\ -2$
  $B.\ -1$
  $C.\ 0$
  $D.\ 1$
  $E.\ 2$
[Soal SBMPTN]
$f(x) = ax + b$ → $y = ax + b$
$y - b = ax$
$\dfrac{y - b}{a} = x$
$\dfrac{x - b}{a} = f^{-1}(x)$
$\dfrac{1}{a}x - \dfrac{b}{a} = f^{-1}(x)$

$f^{-1}(x) = bx + a$ → dari soal.
$\dfrac{1}{a} = b$ → $ab = 1$ . . . .(1)
$-\dfrac{b}{a} = a$ → $b = -a^2$ . . . .(2)

Substitusi persamaan 2 ke dalam persamaan 1.
$-a^3 = 1$
$a^3 = -1$
$a = -1 → b = -1$
$a - b = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$
jawab: C.

31. Jika $g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f o g)(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$, maka himpunan penyelesaian $1 ≤ f(x) ≤ 6$ adalah . . . .
  $(A).\ \{x| -2 ≤ x ≤ -1\ atau\ 1 ≤ x ≤ 2\}$
  $(B).\ \{x| -2 ≤ x ≤ 0\ atau\ x ≥ 1\}$
  $(C).\ \{x| -2 ≤ x ≤ 2\}$
  $(D).\ \{x| -1 ≤ x ≤ 2\}$
  $(E).\ \{x| 0 ≤ x ≤ 2\}$
[SBMPTN 2018 MDas]
Misalkan $\dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} = a$
Kuadratkan kiri dan kanan kemudian kali silang!
$1 = a^2(x - 1)$
$1 = a^2x - a^2$
$1 + a^2 = a^2x$
$x = \dfrac{1 + a^2}{a^2}$

$f(a) = \dfrac{\dfrac{2(a^2 + 1)}{a^2} - 1}{\dfrac{(a^2 + 1)}{a^2} - 1}$
$f(a) = \dfrac{\dfrac{[2(a^2 + 1) - a^2]}{a^2}}{\dfrac{[(a^2 + 1) - a^2]}{a^2}}$
$f(a) = a^2 + 2$
Ganti a dengan x!
$f(x) = x^2 + 2$
$1 ≤ f(x) ≤ 6$
$1 ≤ x^2 + 2 ≤ 6$
$1 ≤ x^2 + 2$ dan $x^2 + 2 ≤ 6$
Karena $1 ≤ x^2 + 2$ selalu memenuhi syarat untuk sembarang $x$, maka bisa kita abaikan.
$x^2 + 2 ≤ 6$
$x^2 - 4 ≤ 0$
$(x + 2)(x - 2) ≤ 0$
$-2 ≤ x ≤ 2$
jawab: C.

32. Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f(g(x)) = 2x - 1$ dan $g(x + 1) = x - 3$, maka nilai $f^{-1}(3).g^{-1}(3)$ adalah . . . .
  $(A).\ 14$
  $(B).\ 9$
  $(C).\ 0$
  $(D).\ -9$
  $(E).\ -14$
[SBMPTN 2018 Mdas]
$g(x+1) = x - 3$
$g(x+1) = (x + 1) - 4$
Misalkan $x + 1 = a$
$g(a) = a - 4$
Selanjutnya misalkan $a = x$
$g(x) = x - 4$
$g^{-1}(x) = x + 4$
$g^{-1}(3) = 3 + 4 = 7$

$f(g(x)) = 2x - 1$
$f(x - 4) = 2x - 1$
$f(x - 4) = 2(x - 4) + 7$
Misalkan $x - 4 = a$
$f(a) = 2a + 7$
Selanjutnya misalkan $a = x$
$f(x) = 2x + 7$
$f^{-1}(x) = \dfrac{x - 7}{2}$
$f^{-1}(3) = \dfrac{3 - 7}{2} = -2$
$f^{-1}(3).g^{-1}(3) = (-2).7 = -14$
jawab: E.

33. Jika $f(x) = x^2 - 1$ dan $g(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1}$, maka daerah asal fungsi $f\ o\ g$ adalah . . . .
  $(A)\ \{x|-∞ < x < ∞\}$
  $(B)\ \{x|x ≠ -1\}$
  $(C)\ \{x|x ≠ 2\}$
  $(D)\ \{x|x < -1\}$
  $(E)\ \{x|x ≥ 2\}$
[SBMPTN MDas 2017]
$g(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1}$ → $Dg = x ≠ -1$
Daerah asal dari $f o g$ adalah $D_g$ → $x ≠ -1$
jawab: B.

34. Jika $f(x) = 1 - x^2$ dan $g(x) = \sqrt{5 - x}$, maka daerah hasil fungsi komposisi $f o g$ adalah . . . .
  $(A)\ \{y|-∞ < y < ∞\}$
  $(B)\ \{y|y ≤ -1\ atau\ y ≥ 1\}$
  $(C)\ \{y|y ≤ 5\}$
  $(D)\ \{y|y ≤ 1\}$
  $(E)\ \{y|-1 ≤ y ≤ 1\}$
[SBMPTN 2017 Mdas]
$f(x) = 1 - x^2$ → $Df = x ∈ R$
$g(x) = \sqrt{5 - x}$
$5 - x ≥ 0$
$5 ≥ x$
$x ≤ 5$
$D_g = x ≤ 5$
$D_{f o g} = D_g = \{x| x ≤ 5, x \in R\}$
$\begin{align}
(f o g)(x) &= 1 - (5 - x)\\
&= x - 4\\
\end{align}$
Perhatikan daerah asal $x \leq 5$ atau $\{\cdots , 3, 4, 5\}$, dengan demikian:
$(f o g)(5) = 1$
$(f o g)(4) = 0$
$(f o g)(3) = -1$
dan seterusnya . . . .
Karena rentang daerah hasil mulai 1 hingga $-∞$, maka daerah hasil dari $f o g$ adalah $\{y| y ≤ 1\}$
jawab: D.

35. Diberikan fungsi $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ dan $g(x) = x + 1$. Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $(f o g)(x) < f(x)g(x)$ adalah . . . .
$(A)\ x > 1$
$(B)\ 0 < x < 1$
$(C)\ x < 0\ atau\ 0 < x < 1$
$(D)\ 0 < x < 1\ atau\ x > 1$
$(E)\ x < 0\ atau\ x > 1$
[SBMPTN 2016 MDas]
$(f o g)(x) < f(x)g(x)$
$\dfrac{1}{(x + 1 - 1)} < \dfrac{1}{(x - 1)}.(x + 1)$
$\dfrac{1}{x} < \dfrac{x + 1}{x - 1}$
$\dfrac{1}{x} - \dfrac{x + 1}{x - 1} < 0$
$\dfrac{x - 1 - (x + 1)}{x(x - 1)} < 0$
$\dfrac{-2}{x(x - 1)} < 0$
$-2x(x - 1) < 0$
$2x(x - 1) > 0$
$x(x - 1) > 0$
$x < 0\ atau\ x > 1$
jawab: E.

36. Daerah asal fungsi $h(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 4}}$ agar terdefinisi adalah . . . .
$A.\ \{x\ |\ 1 \leq x < 4,\ x\in R \}$
$B.\ \{x\ |\ x \leq -1\ atau\ 3 \leq x < 4,\ x \in R \}$
$C.\ \{x\ |\ x \leq -3\ atau\ 1 \leq x < 4,\ x \in R \}$
$D.\ \{x\ |\ 1 \leq x \leq 3\ atau\ x > 4,\ x \in R \}$
$E.\ \{x\ |\ -3 \leq x \leq 1\ atau\ x > 4,\ x \in R \}$
[UN 2019 Mtk IPA]
$\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 4} \geq 0,\ x \ne 4$
$\dfrac{(x + 3)(x - 1)}{x - 4} \geq 0$
$(x + 3)(x - 1)(x - 4) \geq 0$
$-3 \leq x \leq 1\ atau\ x > 4,\ x \in R$
jawab: E.

37. Diketahui $f : R → R$ dan $g : R → R$ dengan $(f\ o\ g)(x) = 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10$ dan $g(x) = 2x - 1.$ Nilai dari $f(1) =$ . . . .
$A.\ -10$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 10$
[UN 2019 Mtk IPA]
$\begin{align}
(f\ o\ g)(x) &= 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10\\
f(g(x)) &= 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10\\
f(2x - 1) &= 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10\\
f(2.1 - 1) &= 8.1^3 - 20.1^2 + 22.1 - 10\\
f(1) &= 8.1 - 20 + 22 - 10\\
f(1) &= 0\end{align}$
jawab: C.

38. Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{3x + 5}$ dengan $x \geq \dfrac 53$. Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3) =$ . . . .
$A.\ \dfrac43$
$B.\ \dfrac23$
$C.\ \dfrac13$
$D.\ -\dfrac23$
$E.\ -\dfrac43$
[UN 2019 Mtk IPA]
$y = \sqrt{3x + 5}$
$y^2 = 3x + 5$
$x = \dfrac{y^2 - 5}{3}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 - 5}{3}$
$f^{-1}(3) = \dfrac{3^2 - 5}{3}$
$f^{-1}(3) = \dfrac43$
jawab: A.

39. Daerah hasil fungsi $y = x^2 - 2x - 3$ untuk daerah asal $\{x\ |\ -1 \leq x \leq 4,\ x \in R \}$ adalah . . . .
$A.\ \{y\ |\ -4 \leq y \leq 0,\ y \in R \}$
$B.\ \{y\ |\ -4 \leq y \leq 11,\ y \in R \}$
$C.\ \{y\ |\ -4 \leq y \leq 5,\ y \in R \}$
$D.\ \{y\ |\ 0 \leq y \leq 5,\ y \in R \}$
$E.\ \{y\ |\ 0 \leq y \leq 11,\ y \in R \}$
[UN 2019 Mtk IPS]
$a = 1 > 0$ → kurva terbuka ke atas, sehingga yang ada adalah nilai minimum. Kita cari terlebih dahulu nilai minimumnya, kemudian kita hitung nilai dari tepi-tepi intervalnya.
Sumbu simetri:
$x = \dfrac{-b}{2a}$
$x = \dfrac{-(-2)}{2.1}$
$x = 1$

nilai minimum pada saat $x = 1$ dan berada pada interval $\{x\ |\ -1 \leq x \leq 4\}$
Nilai minimum $= f(1) = 1^2 - 2.1 - 3 = -4$.
Nilai tepi-tepi interval:
$f(-1) = (-1)^2 - 2.(-1) - 3 = 0$
$f(4) = 4^2 - 2.4 - 3 = 5$

Terlihat bahwa range atau derah hasil pada interval $\{x\ |\ -1 \leq x \leq 4\}$ bernilai maksimum $5$ dan bernilai minimum $-4$. Dengan demikian daerah hasil adalah:
$\{y\ |\ -4 \leq y \leq 5,\ y \in R \}$
jawab: C.

40. Diketahui $f(x) = x^2 + x + 1$ dan $g(x) = 2x - 3$. Fungsi komposisi $(f\ o\ g)(x)$ adalah . . . .
$A.\ 4x^2 - 14x + 7$
$B.\ 4x^2 - 10x + 7$
$C.\ 4x^2 - 10x + 5$
$D.\ 4x^2 + 2x - 11$
$E.\ 4x^2 + 2x + 7$
[UN 2019 Mtk IPS]
$(f\ o\ g)(x) = f(g(x))$
$= (2x - 3)^2 + 2x - 3 + 1$
$= 4x^2 - 12x + 9 + 2x - 3 + 1$
$= 4x^2 - 10x + 7$
jawab: B.

41. Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = \dfrac{x}{3x - 2}$. Daerah asal fungsi komposisi $(g\ o\ f)(x)$ adalah . . . .
$A.\ \left\{x\ |\ x \ne -\dfrac16,\ x \in R \right\}$
$B.\ \left\{x\ |\ x \ne -\dfrac12,\ x \in R \right\}$
$C.\ \left\{x\ |\ x \ne \dfrac16,\ x \in R \right\}$
$D.\ \left\{x\ |\ x \ne \dfrac23,\ x \in R \right\}$
$E.\ \left\{x\ |\ x \in R \right\}$
[UN 2019 Mtk IPS]
$f(x) = 2x + 1 → D_f: x \in R.$
$(g\ o\ f)(x) = g(f(x))$
$(g\ o\ f)(x) = \dfrac{2x + 1}{3(2x + 1) - 2}$
$(g\ o\ f)(x) = \dfrac{2x + 1}{6x + 1},\ x \ne -\dfrac16$
$D_{(g\ o\ f)(x)} = x \ne -\dfrac16, x \in R$
jawab: A.

42. Pembuatan pakaian pada suatu industri dilakukan melalui dua tahap yaitu tahap pemotongan kain menjadi pola dan dilanjutkan dengan tahap penjahitan pola menjadi pakaian. Banyak unit pola yang terbentuk bergantung pada lebar kain yang tersedia dengan mengikuti fungsi $f(x) = \dfrac34x + 5$, sedangkan banyak pakaian yang diproduksi bergantung pada banyak pola yang dihasilkan dengan mengikuti fungsi $g(x) = \dfrac12x + 6$. Jika tersedia $100\ m^2$ kain untuk membuat pola, banyak pakaian yang dihasilkan adalah . . . .
$A.\ 38\ pakaian$
$B.\ 41\ pakaian$
$C.\ 42\ pakaian$
$D.\ 46\ pakaian$
$E.\ 47\ pakaian$
[UN 2019 Mtk IPS]
Banyak pola:
$f(x) = \dfrac34x + 5$, dimana $x$ adalah lebar kain. Jika $x = 100$, maka:
$f(100) = \dfrac34.100 + 5$
$= 80$

Banyak pakaian:
$g(x) = \dfrac12x + 6$, dimana $x$ adalah banyak pola.
$g(80) = \dfrac12.80 + 6$
$= 46$
jawab: D.

43. Diketahui $f(x) = \dfrac{9x + 17}{x + 2};\ x \ne -2$ dan $f^{-1}$ adalah invers dari $f(x)$. Nilai dari $f^{-1}(10)$ adalah . . . .
$A.\ -16$
$B.\ -3$
$C.\ -2$
$D.\ 2$
$E.\ 12$
[UN 2019 Mtk IPS]
jika $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ maka $f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$
$f(x) = \dfrac{9x + 17}{x + 2}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{-2x + 17}{x - 9}$
$f^{-1}(10) = \dfrac{-2.10 + 17}{10 - 9}$
$f^{-1}(10) = -3$.
jawab: B.

44. Diketahui $f(x) = 2x - 3$ dan $(g o f)(x) = 4x - 9$. Nilai dari $\displaystyle g^{-1}(3)$ = . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 4$
$C.\ 5$
$D.\ 6$
$E.\ 7$
[UN 2018 Mtk IPA]
$(g o f)(x) = 4x - 9$
$g(2x - 3) = 4x - 9$
$g(2x - 3) = 2(2x - 3) - 3$
$Misalkan\ a = 2x - 3$
$g(a) = 2a - 3$
$Ganti\ a\ dengan\ x$
$g(x) = 2x - 3$
$x = \dfrac{g(x) + 3}{ 2}$
$g^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{2}$
$g^{-1}(3) = \dfrac{3 + 3}{2}$
$g^{-1}(3) = 3$
jawab: A.

45. Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu (x) memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan kertas setengah jadi (m) dengan mengikuti fungsi $m = f(x) = x^2 - 3x - 2$. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi $g(m) = 4m + 2$, dengan x dan m dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 4 ton, banyak kertas yang dihasilkan adalah . . . .
A. 5 ton
B. 10 ton
C. 15 ton
D. 20 ton
E. 30 ton
[UN 2018 Mtk IPA]
Bahan baku setengah jadi:
$m = f(4) = 4^2 - 3.4 - 2$
$= 16 - 12 - 2$
$= 2\ ton$
Kertas yang dihasilkan:
$g(2) = 4.2 + 2$
$= 10\ ton$
jawab: B.

46. Daerah asal dari fungsi $f(x) = \dfrac{\sqrt{2x + 5}}{3x + 2}$, $x ∈ R$ adalah . . . .
  $A.\ \{x|x ≠ -\dfrac{5}{2}, x ∈ R\}$
  $B.\ \{x|x ≥ \dfrac{5}{2}, x ≠ -\dfrac{2}{3}, x ∈ R\}$
  $C.\ \{x|x ≥ -\dfrac{5}{2}, x ≠ -\dfrac{2}{3}, x ∈ R\}$
  $D.\ \{x|x ≠ -\dfrac{2}{3}, x ∈ R\}$
  $E.\ \{x|x ≥ -\dfrac{2}{3}, x ∈ R\}$
[UN 2018 Mtk IPS]
Pertama: Yang di dalam tanda akar harus ≥ 0.
$2x + 5 ≥ 0$
$2x ≥ -5$
$x ≥ -\dfrac{5}{2}$
Kedua: Penyebut tidak boleh = 0.
$x ≠ -\dfrac{2}{3}$
Ketiga: $x$ harus bilangan real.
$x ∈ R$
$\{x|x ≥ -\dfrac{5}{2}, x ≠ -\dfrac{2}{3}, x ∈ R\}$
jawab: C.

47. Diketahui $f(x) = 3 - x$ dan $g(x) = x^2 + 2x$. Fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ adalah . . . .
  $A.\ (g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 15$
  $B.\ (g \circ f)(x) = x^2 + 4x + 15$
  $C.\ (g \circ f)(x) = x^2 - 4x - 15$
  $D.\ (g \circ f)(x) = x^2 - 8x + 15$
  $E.\ (g \circ f)(x) = x^2 - 8x - 15$
[UN 2018 Mtk IPS]
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$
$= g(3 - x)$
$= (3 - x)^2 + 2(3 - x)$
$= 9 - 6x + x^2 + 6 - 2x$
$= x^2 - 8x + 15$
jawab: D.

48. Diketahui $f(x) = \dfrac{4x + 1}{x - 4}$, $x ≠ 4$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah . . . .
  $A.\ \dfrac{x + 4}{4x - 1}$, $x ≠ \dfrac{1}{4}$
  $B.\ \dfrac{x - 4}{4x + 1}$, $x ≠ -\dfrac{1}{4}$
  $C.\ \dfrac{4x - 1}{x + 4}$, $x ≠ -4$
  $D.\ \dfrac{4x + 1}{ x - 4}$, $x ≠ 4$
  $E.\ \dfrac{4x - 1}{x - 4}$, $x ≠ 4$
[UN 2018 Mtk IPS]
$y = \dfrac{4x + 1}{x - 4}$, $x ≠ 4$
$y(x - 4) = 4x + 1$
$xy - 4y = 4x + 1$
$xy - 4x = 4y + 1$
$x(y - 4) = 4y + 1$
$x = \dfrac{4y + 1}{y - 4}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{4x + 1}{x - 4},\ x ≠ 4$
jawab: D.

Cara Cepat:

Jika $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, maka:
$f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{4x + 1}{x - 4}$, $x ≠ 4$

49. Jika $f(x) = 2x + 1$ dan $g(f(x)) = 4x^2 + 1$ maka $g^{-1}(x) =$ . . . .
$A.\ x^2 - 2x + 2$
$B.\ \sqrt{x - 1}$
$C.\ 1 + \sqrt{x - 1}$
$D.\ 4x^2 - 8x + 5$
$E.\ 1 + \sqrt{x^2 - 1}$
[SIMAK UI 2019 MDas]
$g(f(x)) = 4x^2 + 1$
$g(2x + 1) = 4x^2 + 1$
$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 4x$
$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2(2x + 1) + 2$
$Misalkan\ 2x + 1 = a$
$g(a) = a^2 - 2a + 2$
$g(x) = x^2 - 2x + 2$

$x^2 - 2x = g(x) - 2$
$(x - 1)^2 - 1 = g(x) - 2$
$(x - 1)^2 = g(x) - 1$
$x - 1 = \pm \sqrt{g(x) - 1}$
$x = \pm \sqrt{g(x) - 1} + 1$
$g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x - 1} + 1$
jawab: C.

50. Diketahui $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = ax + 2$, dengan $a \ne 0$. Jika $(f\ o\ g^{-1})(1) = 5$, maka $4a^2 - 3 = \cdots$
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ -1$
$D.\ 1$
$E.\ 2$
[UM UGM 2019 MDas]
$g(x) = ax + 2$
$g^{-1}(x) = \dfrac1a(x - 2)$
$g^{-1}(1) = -\dfrac1a$

$(f\ o\ g^{-1})(1) = f(g^{-1}(1))$
$5 = f\left(-\dfrac1a\right)$
$5 = \left(-\dfrac1a\right)^2 + 1$
$4 = \dfrac{1}{a^2}$
$a^2 = \dfrac14$

$4a^2 - 3 = 4.\dfrac14 - 3 = -2$
jawab: B.

Demikianlah soal dan pembahasan komposisi fungsi dan invers fungsi, semoga bermanfaat. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.