MARETONG: Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Eliminasi

Wednesday, December 18, 2019

Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Eliminasi


Pengertian Metode Eliminasi

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV atau Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan Metode Eliminasi serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Cara yang paling umum dilakukan untuk menentukan himpunan penyelesaian (HP) dari suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPDLV) adalah dengan metode eliminasi. Eliminasi artinya adalah menghilangkan. Metode eliminasi adalah metode menghilangkan salah satu suku yang mengandung variabel $x$ atau suku yang mengandung variabel $y$.

Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel berikut!
$ax + by = c$ . . . . (persamaan 1)
$px + qy = r$ . . . . (persamaan 2)

Kedua persamaan di atas bisa dieliminasi dengan menghilangkan suku yang mengandung variabel $x$ atau dengan menghilangkan suku yang mengandung variabel $y$. Caranya adalah sebagai berikut:
Eliminasi suku yang mengandung variabel $x$:
Samakan koefisien dari $x$ pada persamaan (1) dan (2) jika masing-masing koefisien belum sama atau berbeda. Untuk menyamakan koefisien, kalikan persamaan (1) dengan $p$ dan kalikan persamaan (2) dengan $a$, kemudian lakukan pengurangan.
Eliminasi suku yang mengandung variabel $y$:
Samakan koefisien dari $y$ pada persamaan (1) dan (2) jika masing-masing koefisien belum sama atau berbeda. Untuk menyamakan koefisien, kalikan persamaan (1) dengan $q$ dan kalikan persamaan (2) dengan $b$, kemudian lakukan pengurangan. Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh Soal dan Pembahasan SPLDV Dengan Metode Eliminasi

Contoh Soal 1:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $2x + y = 7$ dan $x - y = 8$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
$2x + y = 7$ . . . . (1)
$x - y = 8$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: samakan koefisien $x$ dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan dengan mengalikan persamaan 2 dengan 2, kemudian kurangkan.
$\left.\begin{matrix} 2x + y = 7\\ x - y = 8\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 1\\ \times 2\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 2x + y = 7\\ 2x - 2y = 16 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$3y = -9$
$y = -3$

Eliminasi suku variabel $y$: koefisien $y$ pada persamaan (1) dan (2) hanya berbeda tanda, tidak perlu disamakan. Cukup hanya dengan menjumlahkan kedua persamaan.

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 2x + y = 7\\ x - y = 8 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$3x = 15$
$x = 5$

$HP = \{(5, -3)\}$

Contoh Soal 2:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $3x - 4y = 5$ dan $2x + 3y = -8$ dengan cara atau metode eliminasi!

Pembahasan:
$3x - 4y = 5$ . . . . (1)
$2x + 3y = -8$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: kalikan persamaan (1) dengan 2 dan kalikan persamaan (2) dengan 3, kemudian kurangkan.

$\left.\begin{matrix} 3x - 4y = 5\\ 2x + 3y = -8\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 2\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 6x - 8y = 10\\ 6x + 9y = -24 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-17y = 34$
$y = -2$

Eliminasi suku variabel $y$: kalikan persamaan (1) dengan 3 dan kalikan persamaan (2) dengan 4. Karena koefisien $y$ pada persamaan (1) dan (2) hanya berbeda tanda, lakukan penjumlahan.

$\left.\begin{matrix} 3x - 4y = 5\\ 2x + 3y = -8\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 3\\ \times 4\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 9x - 12y = 15\\ 8x + 12y = -32 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$17x = -17$
$x = -1$

$HP = \{(-1, -2)\}$

Contoh Soal 3.
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $3x + 2y = 10$ dan $3x + 5y = 16$ dengan cara atau metode eliminasi.

Pembahasan:
$3x + 2y = 10$ . . . . (1)
$3x + 5y = 16$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: koefisien $x$ pada kedua persamaan sudah sama, tinggal mengurangkan.

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 3x + 2y = 10\\ 3x + 5y = 16 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-3y = -6$
$y = 2$

Eliminasi suku variabel $y$: kalikan persamaan (1) dengan 5 dan kalikan persamaan (2) dengan 2.

$\left.\begin{matrix} 3x + 2y = 10\\ 3x + 5y = 16\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 5\\ \times 2\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 15x + 10y = 50\\ 6x + 10y = 32 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$9x = 18$
$x = 2$

$HP = \{(2, 2)\}$

Contoh Soal 4.
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $3y - x = 8$ dan $2x - 5y = -11$ dengan cara atau metode eliminasi.

Pembahasan:
$-x + 3y = 8$ . . . . (1)
$2x - 5y = -11$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: kalikan persamaan (1) dengan 2 dan kalikan persamaan (2) dengan 1. Karena koefisien kedua persamaan berbeda tanda, lakukan penjumlahan.

$\left.\begin{matrix} -x + 3y = 8\\ 2x - 5y = -11\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 2\\ \times 1\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} -2x + 6y = 16\\ 2x - 5y = -11 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$y = 5$

Eliminasi suku variabel $y$: kalikan persamaan (1) dengan 5 dan kalikan persamaan (2) dengan 3. Karena koefisien $y$ pada kedua persamaan berbeda tanda, lakukan penjumlahan.

$\left.\begin{matrix} -x + 3y = 8\\ 2x - 5y = -11\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 5\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} -5x + 15y = 40\\ 6x - 15y = -33 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$x = 7$

$HP = \{(7, 5)\}$

Contoh Soal 5:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari $-5x - 3y = 11$ dan $-4x - 7y = 18$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
$-5x - 3y = 11$ . . . . (1)
$-4x - 7y = 18$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: kalikan persamaan (1) dengan 4 dan kalikan persamaan (2) dengan 5, kemudian kurangkan.

$\left.\begin{matrix} -5x - 3y = 11\\ -4x - 7y = 18\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 4\\ \times 5\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} -20x - 12y = 44\\ -20x - 35y = 90 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$23y = -46$
$y = -2$

Eliminasi suku variabel $y$: kalikan persamaan (1) dengan 7 dan kalikan persamaan (2) dengan 3, kemudian kurangkan.

$\left.\begin{matrix} -5x - 3y = 11\\ -4x - 7y = 18\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 7\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} -35x - 21y = 77\\ -12x - 21y = 54 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-23x = 23$
$x = -1$

$HP = \{(-1, -2)\}$

Contoh Soal 6:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan $3x - 2y + 7 = 0$ dan $2x + y - 7 = 0$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
$3x - 2y + 7 = 0$ . . . . (1)
$2x + y - 7 = 0$ . . . . (2)

Eliminasi suku variabel $x$: kalikan persamaan (1) dengan 2 dan kalikan persamaan (2) dengan 3, kemudian kurangkan.

$\left.\begin{matrix} 3x - 2y + 7 = 0\\ 2x + y - 7 = 0\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 2\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 6x - 4y + 14 = 0\\ 6x + 3y - 21 = 0 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-7y + 35 = 0$
$-7y = -35$
$y = 5$

Eliminasi suku variabel $y$: kalikan persamaan (1) dengan 1 dan kalikan persamaan (2) dengan 2, kemudian jumlahkan.

$\left.\begin{matrix} 3x - 2y + 7 = 0\\ 2x + y - 7 = 0\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 1\\ \times 2\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 3x - 2y + 7 = 0\\ 4x + 2y - 14 = 0 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$7x - 7 = 0$
$7x = 7$
$x = 1$

$HP = \{(1, 5)\}$

Contoh Soal 7:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari $\dfrac x2 - \dfrac y3 = 2$ dan $\dfrac x4 + \dfrac y2 = 3$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
Sistem persamaan merupakan sistem persamaan bentuk pecahan. Untuk mempermudah penyelesaian ubah bentuk pecahan ke bentuk yang lebih sederhana dengan mengalikan persamaan dengan KPK dari penyebut.

$\dfrac x2 - \dfrac y3 = 2$ → kalikan persamaan dengan 6 (KPK dari 2 dan 3)!
$3x - 2y = 12$ . . . . (1)

$\dfrac x4 + \dfrac y2 = 3$ → kalikan persamaan dengan 4 (KPK dari 4 dan 2)!
$x + 2y = 12$ . . . . (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) dengan langkah-langkah seperti contoh soal di atas.
Eliminasi suku variabel $x$:
$\left.\begin{matrix} 3x - 2y = 12\\ x + 2y = 12\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 1\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 3x - 2y = 12\\ 3x + 6y = 36 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-8y = -24$
$y = 3$

Eliminasi suku variabel $y$:
$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 3x - 2y = 12\\ x + 2y = 12 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$4x = 24$
$x = 6$

$HP = \{(6, 3)\}$

Contoh Soal 8:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $\dfrac 3x - \dfrac 2y = -1$ dan $\dfrac 5x + \dfrac{1}{2y} = 6$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
Variabel $x$ dan $y$ merupakan penyebut, sehingga perlu dilakukan pemisalan untuk membentuk persamaan yang lebih sederhana. Dalam hal ini kita misalkan $\dfrac 1x = a$ dan $\dfrac 1y = b$.

$\dfrac 3x - \dfrac 2y = -1$
$3.\dfrac 1x - 2.\dfrac 1y = -1$
$3a - 2b = -1$ . . . . (1)

$\dfrac 5x + \dfrac{1}{2y} = 6$
$5.\dfrac 1x + \dfrac12.\dfrac 1y = 6$
$5a + \dfrac12b = 6$ → kalikan persamaan dengan 2 supaya lebih sederhana lagi.
$10a + b = 12$ . . . . (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) seperti langkah-langkah contoh soal di atas!
Eliminasi suku variabel $a$:
$\left.\begin{matrix} 3a - 2b = -1\\ 10a + b = 12\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 10\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 30a - 20b = -10\\ 30a + 3b = 36 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-23b = -46$
$b = 2$

$\dfrac 1y = b$
$\dfrac 1y = 2$
$1 = 2y$
$y = \dfrac12$

Eliminasi suku variabel $b$:
$\left.\begin{matrix} 3a - 2b = -1\\ 10a + b = 12\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 1\\ \times 2\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 3a - 2b = -1\\ 20a + 2b = 24 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$23a = 23$
$a = 1$

$\dfrac 1x = a$
$\dfrac 1x = 1$
$1 = x$

$HP = \left\{\left(1, \dfrac12\right)\right\}$

Contoh Soal 9:
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan $\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{y - 1}{4} = 5$ dan $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{y + 1}{5} = 1$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
Sederhanakan masing-masing persamaan!
$\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{y - 1}{4} = 5$ → kalikan persamaan dengan 4 (KPK dari 2 dan 4)!
$2(x + 1) + y - 1 = 20$
$2x + 2 + y - 1 = 20$
$2x + y = 19$ . . . . (1)

$\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{y + 1}{5} = 1$ → kalikan persamaan dengan 15 (KPK dari 3 dan 5)!
$5(2x - 1) - 3(y + 1) = 15$
$10x - 5 - 3y - 3 = 15$
$10x - 3y = 23$ . . . . (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)!
Eliminasi suku variabel $x$:
$\left.\begin{matrix} 2x + y = 19\\ 10x - 3y = 23\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 5\\ \times 1\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 10x + 5y = 95\\ 10x - 3y = 23 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$8y = 72$
$y = 9$

Eliminasi suku variabel $y$:
$\left.\begin{matrix} 2x + y = 19\\ 10x - 3y = 23\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 3\\ \times 1\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 6x + 3y = 57\\ 10x - 3y = 23 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$16x = 80$
$x = 5$

$HP = \{(5, 9)\}$

Contoh Soal 10:
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari (HP) dari $\dfrac{x + y + 1}{2} - \dfrac{x - y}{3} = 4$ dan $\dfrac{x + y + 1}{5} + \dfrac{x - y}{2} = \dfrac72$ dengan metode eliminasi!

Pembahasan:
Untuk menyederhanakan persamaan, misalkan $x + y + 1 = a$ dan $x - y = b$.
$\dfrac{x + y + 1}{2} - \dfrac{x - y}{3} = 4$
$\dfrac{a}{2} - \dfrac{b}{3} = 4$ → kalikan persamaan dengan 6 (KPK dari 2 dan 3)!
$3a - 2b = 24$ . . . . (1)

$\dfrac{x + y + 1}{5} + \dfrac{x - y}{2} = \dfrac72$
$\dfrac{a}{5} + \dfrac{b}{2} = \dfrac72$ → kalikan persamaan dengan 10 (KPK dari 2 dan 5)!
$2a + 5b = 35$ . . . . (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)!
Eliminasi suku variabel $a$:
$\left.\begin{matrix} 3a - 2b = 24\\ 2a + 5b = 35\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 2\\ \times 3\end{matrix} \ \right|$

$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 6a - 4b = 48\\ 6a + 15b = 105 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-19b = -57$
$b = 3$
$x - y = b$
$x - y = 3$ . . . . (3)

Elimanasi suku variabel $b$:
$\left.\begin{matrix} 3a - 2b = 24\\ 2a + 5b = 35\ \end{matrix}\ \right| \left.\begin{matrix} \times 5\\ \times 2\end{matrix} \ \right|$
$\underline{\ \ \ \begin{matrix} 15a - 10b = 120\\ 4a + 10b = 70 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$19a + 190$
$a = 10$
$x + y + 1 = a$
$x + y + 1 = 10$
$x + y = 9$ . . . . (4)

Eliminasi persamaan (3) dan (4)!
Eliminasi suku variabel $x$:
$\underline{\ \ \ \begin{matrix} x - y = 3\\ x + y = 9 \end{matrix}_{\ \ \ -}}$
$-2y = -6$
$y = 3$

Eliminasi suku variabel $y$:
$\underline{\ \ \ \begin{matrix} x - y = 3\\ x + y = 9 \end{matrix}_{\ \ \ +}}$
$2x = 12$
$x = 6$

$HP = \{(6, 3)\}$

Demikianlah ulasan tentang menentukan himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear dua variabel (SPDLV) dengan metode eliminasi. Semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.