MARETONG: Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Substitusi

Thursday, December 19, 2019

Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Substitusi


Pengertian Metode Substitusi

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV atau Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Substitusi serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Pengertian substitusi dalam bahasa sederhana adalah mengganti. Metode substitusi merupakan salah satu metode aljabar yang bisa digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear dua variabel (SPDLV). Dalam metode substitusi, salah satu persamaan dipilih dan diubah kedalam bentuk eksplisit, yaitu bentuk $y = ax + b$ atau ke dalam bentuk $x = ay + c$, kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang lain. Supaya lebih jelas, pelajari setiap contoh soal yang berikut.

Contoh Soal Dan Pembahasan SPLDV dengan Metode Substitusi

Contoh Soal 1:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $x = 2$ dan $3x + 2y = 12$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Nilai dari $x$ sudah diketahui, tinggal memasukkan nilai $x = 2$ ke dalam persamaan $3x + 2y = 12$.
$3x + 2y = 12$
$3.2 + 2y = 12$
$6 + 2y = 12$
$2y = 12 - 6$
$2y = 6$
$y = 3$

$HP = \{(2, 3)\}$

Contoh Soal 2:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $5x - 3y = 16$ dan $y = 3$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Nilai dari $y$ sudah diketahui, tinggal memasukkan nilai $y = 3$ ke dalam persamaan $5x - 3y = 16$.
$5x - 3y = 16$
$5x - 3.3 = 16$
$5x - 9 = 16$
$5x = 16 + 9$
$5x = 25$
$x = 5$

$HP = \{(5, 3)\}$

Contoh Soal 3:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $y = x + 5$ dan $3x - y = 7$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
$y = x + 5$ . . . . (*)
$3x - y = 7$ . . . . (**)

Persamaan (*) sudah dalam bentuk eksplisit, dengan begitu bisa langsung disubstitusikan ke dalam persamaan (**).
$3x - y = 7$
$3x - (x + 5) = 7$ → jangan lupa tanda kurung.
$3x - x - 5 = 7$
$2x = 7 + 5$
$2x = 12$
$x = 6$

Substitusikan nilai $x = 6$ kedalam persamaan (*) atau persamaan (**) untuk mendapatkan nilai dari $y$. Dalam hal ini kita ambil persamaan (*).
$y = x + 5$
$y = 6 + 5$
$y = 11$

$HP = \{(6, 11)\}$

Contoh Soal 4:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $2x + 3y = 7$ dan $x = 5 - y$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
$2x + 3y = 7$ . . . . (*)
$x = 5 - y$ . . . . (**)

Persamaan (**) telah berbentuk eksplisit, tinggal mensubstitusikan persamaan (**) ke dalam persamaan (*).
$2x + 3y = 7$
$2(5 - y) + 3y = 7$ → jangan lupa tanda kurung.
$10 - 2y + 3y = 7$
$y = 7 - 10$
$y = -3$

Substitusikan nilai dari $y = -3$ ke dalam persamaan (*) atau (**), dalam hal ini kita ambil persamaan (**).
$\begin{align}
x &= 5 - y\\
&= 5 - (-3)\\
&= 5 + 3\\
&= 8\\
\end{align}$

$HP = \{(8, -3)\}$

Contoh Soal 5:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari $5x = y + 7$ dan $5x - 3y = -9$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
$5x = y + 7$
$5x - 7 = y$
$y = 5x - 7$ . . . . (*)

$5x - 3y = -9$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)!
$5x - 3y = -9$
$5x - 3(5x - 7) = -9$
$5x - 15x + 21 = -9$
$-10x = -9 - 21$
$-10x = -30$
$x = 3$

Substitusikan nilai $x = 3$ ke dalam persamaan (*) atau (**) untuk mendapatkan nilai dari $y$. Kita pilih persamaan (*) karena lebih simpel.
$\begin{align*}
y &= 5x - 7\\
&= 5.3 - 7\\
&= 15 - 7\\
&= 8\\
\end{align*}$

$HP = \{(3, 8)\}$

Contoh Soal 6:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $x + 2y = 1$ dan $2x - y = 7$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
$x + 2y = 1$
$x = 1 - 2y$ . . . . (*)

$2x - y = 7$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)
$2x - y = 7$
$2(1 - 2y) - y = 7$
$2 - 4y - y = 7$
$2 - 5y = 7$
$-5y = 7 - 2$
$-5y = 5$
$y = -1$

Substitusikan nilai $y = -1$ ke dalam persamaan (*) atau (**). Kita pilih persamaan (*) karena lebih simpel.
$\begin{align*}
x &= 1 - 2y\\
&= 1 - 2.(-1)\\
&= 1 - (-2)\\
&= 1 + 2\\
&= 3\\
\end{align*}$

$HP = \{(3, -1)\}$

Contoh Soal 7:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $3x - 5y = 14$ dan $4x + 5y = 7$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Ubah salah satu ke dalam bentuk eksplisit!
$3x - 5y = 14$
$3x = 14 + 5y$
$x = \dfrac{14 + 5y}{3}$ . . . . (*)

$4x + 5y = 7$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)!
$4x + 5y = 7$
$4.\left(\dfrac{14 + 5y}{3}\right) + 5y = 7$ → kalikan persamaan dengan 3 supaya lebih sederhana.
$4(14 + 5y) + 15y = 21$
$56 + 20y + 15y = 21$
$56 + 35y = 21$
$35y = 21 - 56$
$35y = -35$
$y = -1$

Substitusikan nilai $y = -1$ ke dalam persamaan (*)!
$\begin{align*}
x &= \dfrac{14 + 5y}{3}\\
&= \dfrac{14 + 5.(-1)}{3}\\
&= \dfrac{14 - 5}{3}\\
&= \dfrac93\\
&= 3
\end{align*}$

$HP = \{(3, -1)\}$

Contoh Soal 8:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $4x - 3y = -7$ dan $9x - 6y = -8$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Ubah salah satu persamaan ke dalam bentuk eksplisit!
$4x - 3y = -7$
$-3y = -4x - 7$ → semua dikali negatif.
$3y = 4x + 7$
$y = \dfrac{4x + 7}{3}$ . . . . (*)

$9x - 6y = -8$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)
$9x - 6y = -8$
$9x - 6.\left(\dfrac{4x + 7}{3}\right) = -8$
$9x - 2(4x + 7) = -8$
$9x - 8x - 14 = -8$
$x = -8 + 14$
$x = 6$

Substitusikan nilai $x = 6$ ke dalam persamaan (*)!
$\begin{align}
y &= \dfrac{4x + 7}{3}\\
&= \dfrac{4.6 + 7}{3}\\
&= \dfrac{31}{3}\\
\end{align}$

$HP = \left \{\left(6, \dfrac{31}{3} \right)\right\}$

Contoh Soal 9:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $9y - 4(x - 3y) = 43$ dan $4(x - 3y) + 7y = 5$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Kedua persamaan masih rumit, untuk itu perlu disederhanakan. Pilih salah satu persamaan untuk diubah ke dalam bentuk eksplisit.
$9y - 4(x - 3y) = 43$
$9y - 4x + 12y = 43$
$21y - 4x = 43$
$21y - 4x = 43$ . . . . (*)

$4(x - 3y) + 7y = 5$
$4x - 12y + 7y = 5$
$4x - 5y = 5$
$4x = 5 + 5y$
$x = \dfrac{5 + 5y}{4}$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (**) ke dalam persamaan (*)!
$21y - 4x = 43$
$21y - 4.\left(\dfrac{5 + 5y}{4}\right) = 43$
$21y - (5 + 5y) = 43$
$21y - 5 - 5y = 43$
$16y = 43 + 5$
$16y = 48$
$y = 3$

Substitusikan nilai $y = 9$ ke dalam persamaan (**)!
$\begin{align}
x &= \dfrac{5 + 5y}{4}\\
&= \dfrac{5 + 5.3}{4}\\
&= \dfrac{20}{4}\\
&= 5\\
\end{align}$

$HP = \{(5, 3)\}$

Contoh Soal 10:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $\dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac32$ dan $\dfrac{x - 3y + 2}{x + y} = \dfrac23$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Sederhanakan masing-masing persamaan terlebih dahulu dan ubah salah satu persamaan ke bentuk eksplisit.
$\dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac32$ → lakukan kali silang!
$2(x + y) = 3(x - y)$
$2x + 2y = 3x - 3y$
$2y + 3y = 3x - 2x$
$5y = x$ . . . . (*)

$\dfrac{x - 3y + 2}{x + y} = \dfrac23$ → lakukan kali silang!
$3(x - 3y + 2) = 2(x + y)$
$3x - 9y + 6 = 2x + 2y$
$3x - 2x - 9y - 2y + 6 = 0$
$x - 11y + 6 = 0$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)!
$x - 11y + 6 = 0$
$5y - 11y + 6 = 0$
$-6y = -6$
$y = 1$

Substitusikan nilai $y = 1$ ke dalam persamaan (*)!
$5y = x$
$5.1 = x$
$5 = x$

$HP = \{(5, 1)\}$

Contoh Soal 11:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $\dfrac{1}{3x} - \dfrac 1y = 1$ dan $\dfrac 1x + \dfrac{3}{2y} = \dfrac{15}{2}$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Sederhanakan kedua persamaan dengan memisalkan $\dfrac 1x = a$ dan $\dfrac 1y = b$, kemudian ubah salah satu persamaan ke dalam bentuk eksplisit.
$\dfrac{1}{3x} - \dfrac 1y = 1$
$\dfrac13.\dfrac 1x - \dfrac 1y = 1$
$\dfrac13.a - b = 1$ → kalikan persamaan dengan 3.
$a - 3b = 3$
$a = 3 + 3b$ . . . . (*)

$\dfrac 1x + \dfrac{3}{2y} = \dfrac{15}{2}$
$\dfrac 1x + \dfrac32.\dfrac 1y = \dfrac{15}{2}$
$a + \dfrac32b = \dfrac{15}{2}$ → kalikan persamaan dengan 2.
$2a + 3b = 15$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)!
$2a + 3b = 15$
$2(3 + 3b) + 3b = 15$
$6 + 6b + 3b = 15$
$9b = 15 - 6$
$9b = 9$
$b = 1$
$\dfrac 1y = b$
$\dfrac 1y = 1$
$y = 1$

Substitusikan nilai $b = 1$ ke dalam persamaan (*)!
$a = 3 + 3b$
$a = 3 + 3.1$
$a = 6$
$\dfrac 1x = 6$
$1 = 6x$
$x = \dfrac16$

$HP = \left\{\left(\dfrac16, 1\right)\right\}$

Contoh Soal 12:
Jika $\dfrac{8}{x + 1} + \dfrac{10}{y + 1} = 4$ dan $\dfrac{12}{x + 1} - \dfrac{5}{y + 1} = 2$ maka $x + y = \cdots$
(selesaikan dengan metode substitusi!)

Pembahasan:
Sederhanakan kedua persamaan dengan memisalkan $\dfrac{1}{x + 1} = a$ dan $\dfrac{1}{y + 1} = b$, kemudian ubah salah satu ke bentuk eksplisit.
$\dfrac{8}{x + 1} + \dfrac{10}{y + 1} = 4$
$8\left(\dfrac{1}{x + 1}\right) + 10\left(\dfrac{1}{y + 1}\right) = 4$
$8a + 10b = 4$ → bagi persamaan dengan 2.
$4a + 5b = 2$
$4a = 2 - 5b$
$a = \dfrac{2 - 5b}{4}$ . . . . (*)

$\dfrac{12}{x + 1} - \dfrac{5}{y + 1} = 2$
$12\left(\dfrac{1}{x + 1}\right) - 5\left(\dfrac{1}{y + 1}\right) = 2$
$12a - 5b = 2$ . . . . (**)

Substitusikan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)!
$12a - 5b = 2$
$12.\left(\dfrac{2 - 5b}{4}\right) - 5b = 2$
$3(2 - 5b) - 5b = 2$
$6 - 15b - 5b = 2$
$6 - 20b = 2$
$6 - 2 = 20b$
$4 = 20b$
$b = \dfrac15$
$\dfrac{1}{y + 1} = b$
$\dfrac{1}{y + 1} = \dfrac15$ → lakukan kali silang!
$5 = y + 1$
$5 - 1 = y$
$4 = y$

Substitusikan nilai $b = \dfrac15$ ke persamaan (*)!
$a = \dfrac{2 - 5b}{4}$
$a = \dfrac{2 - 5.\dfrac15}{4}$
$a = \dfrac{2 - 1}{4}$
$a = \dfrac14$
$\dfrac{1}{x + 1} = a$
$\dfrac{1}{x + 1} = \dfrac14$ → lakukan perkalian silang!
$4 = x + 1$
$4 - 1 = x$
$3 = x$

$x + y = 3 + 4 = 7$

Contoh Soal 13:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan $\dfrac{1}{2(2x + 3y)} + \dfrac{12}{7(3x - 2y)} = \dfrac12$ dan $\dfrac{7}{(2x + 3y)} + \dfrac{4}{(3x - 2y)} = 2$ dengan metode substitusi!

Pembahasan:
Sederhanakan kedua persamaan dengan memisalkan $\dfrac{1}{2x + 3y} = a$ dan $\dfrac{1}{3x - 2y} = b$.
$\dfrac{1}{2(2x + 3y)} + \dfrac{12}{7(3x - 2y)} = \dfrac12$
$\dfrac12.\dfrac{1}{(2x + 3y)} + \dfrac{12}{7}.\dfrac{1}{(3x - 2y)} = \dfrac12$
$\dfrac12a + \dfrac{12}{7}b = \dfrac12$ → kalikan persamaan dengan 14 (KPK dari 2 dan 7).
$7a + 24b = 7$ . . . . (*)

$7.\dfrac{1}{(2x + 3y)} + 4.\dfrac{1}{(3x - 2y)} = 2$
$7a + 4b = 2$
$7a = 2 - 4b$ . . . (**)

Substitusikan persamaan (**) ke dalam persamaan (*)!
$7a + 24b = 7$
$2 - 4b + 24b = 7$
$2 + 20b = 7$
$20b = 7 - 2$
$20b = 5$
$b = \dfrac14$
$\dfrac{1}{3x - 2y} = b$
$\dfrac{1}{3x - 2y} = \dfrac14$ → lakukan kali silang!
$3x - 2y = 4$ . . . . (***)

Substitusikan nilai $b = \dfrac14$ ke dalam persamaan (**)!
$7a = 2 - 4b$
$7a = 2 - 4.\dfrac14$
$7a = 2 - 1$
$7a = 1$
$a = \dfrac17$
$\dfrac{1}{2x + 3y} = a$
$\dfrac{1}{2x + 3y} = \dfrac17$ → lakukan kali silang!
$2x + 3y = 7$
$2x = 7 - 3y$
$x = \dfrac{7 - 3y}{2}$ . . . . (****)

Substitusikan persamaan (****) ke dalam persamaan (***)!
$3x - 2y = 4$
$3\left(\dfrac{7 - 3y}{2}\right) - 2y = 4$ → kalikan persamaan dengan 2.
$3(7 - 3y) - 4y = 8$
$21 - 9y - 4y = 8$
$21 - 13y = 8$
$21 - 8 = 13y$
$13 = 13y$
$y = 1$

Substitusikan nilai $y = 1$ ke dalam persamaan (***)!
$\begin{align}
x &= \dfrac{7 - 3y}{2}\\
&= \dfrac{7 - 3.1}{2}\\
&= \dfrac{7 - 3}{2}\\
&= \dfrac42\\
&= 2\\
\end{align}$

$HP = \{(2, 1)\}$

Demikianlah ulasan tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan metode substitusi. Semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.