MARETONG: Relasi dan Fungsi SMA kelas 10

Tuesday, December 25, 2018

Relasi dan Fungsi SMA kelas 10


Pengertian Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi adalah dua hal yang berbeda. Relasi belum tentu fungsi, sedangkan fungsi sudah pasti relasi. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B. Jika anggota dari suatu himpunan dapat dipasangkan dengan anggota himpunan lain sehingga pemasangan tersebut menghasilkan suatu hubungan, maka hubungan tersebut disebut relasi. Suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B membutuhkan suatu hubungan berupa kalimat terbuka yang menyatakan hubungan a anggota himpunan A dengan b anggota himpunan B, sehingga (a, b) anggota A x B. Relasi R dari himpunan A ke himpunan B dituliskan R : A → B. Suatu relasi dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah dan koordinat Cartesius. Fungsi adalah suatu relasi antara dua himpunan misalkan himpunan A dengan himpunan B, dimana anggota himpunan A dipetakan ke himpunan B. Himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Setiap anggota domain memiliki pasangan dan hanya berpasangan tepat satu kali dengan anggota kodomain. Himpunan anggota kodomain yang merupakan pasangan atau peta dari anggota domain disebut range atau daerah hasil. Jika ada anggota domain (daerah asal) yang tidak berpasangan, maka relasi tersebut bukanlah fungsi. Begitu juga jika ada anggota domain yang berpasangan lebih dari sekali atau dengan kata lain memiliki pasangan lebih dari satu, maka relasi tersebut bukanlah fungsi. Himpunan anggota kodomain yang merupakan pasangan (peta) dari anggota domain disebut daerah hasil (range). Range adalah himpunan bagian dari kodomain. Kadang-kadang seluruh anggota kodomain adalah range (daerah hasil). Jika seluruh anggota kodomain merupakan range, dan relasinya merupakan fungsi, maka fungsi tersebut adalah fungsi surjektif. Jika tidak semua anggota kodomain merupakan range, dan relasinya merupakan fungsi, maka fungsi tersebut adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. Perhatikan diagram berikut!

contoh fungsi

Diagram diatas merupakan fungsi, karena seluruh anggota himpunan A (domain) memiliki pasangan di B (kodomain) dan setiap anggota domain hanya dipasangkan sebanyak satu kali. {a, b} disebur daerah hasil (range). Perhatikan diagram berikut!

relasi-fungsi

Diagram diatas merupakan fungsi, karena seluruh anggota himpunan A (domain) memiliki pasangan di B (kodomain) dan setiap anggota domain hanya dipasangkan sebanyak satu kali. {a, c} disebur daerah hasil (range). Perhatikan diagram berikut!

relasi-dan-fungsi

Diagram diatas bukanlah fungsi, karena ada anggota domain yang tidak berpasangan. Perhatikan diagram berikut!

contoh-relasi-yang-bukan-fungsi

Diagram diatas bukanlah fungsi karena ada anggota domain yang dipasangkan lebih dari satu kali. Relasi R disebut fungsi, jika setiap anggota dari himpunan A dapat dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan B. Bentuk relasi tersebut dapat dituliskan dalam notasi fungsi: f : A → B.
Jika x anggota A dipetakan ke y anggota B oleh fungsi f, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan f : x → y atau y = f(x). Bentuk penulisan bentuk $y = f(x)$, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel terikat. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya bebas untuk dipilih dan ditentukan dari domain fungsi f. Variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung dari variabel bebas. Sama seperti relasi, suatu fungsi juga dapat dinyatakan dalam tiga bentuk, yaitu diagram panah, pasangan berurutan, dan koordinat Cartesius. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B ditentukan oleh banyaknya anggota himpunan A dan himpunan B. Jika banyak anggota himpunan A adalah p, dan banyak anggota himpunan B adalah q, maka banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah $q^p$. Sedangkan banyaknya pemetaan dari himpunan B ke himpunan A adalah $p^q$. Berdasarkan cara berpasangan antara anggota domain dengan anggota kodomain, fungsi memiliki sifat-sifat yang dapat dibagi atas 4 bagian, yaitu fungsi into, fungsi surjektif atau onto, fungsi injektif, dan fungsi bijektif.

Pengertian Fungsi Into

Fungsi Into dapat dikenali dengan mengamati daerah kodomain. Seperti yang sudah dijelaskan diatas, bahwa range adalah himpunan bagian dari kodomain. Jadi anggota kodomain belum tentu semuanya masuk anggota range. Jika anggota kodomain tidak seluruhnya berpasangan dengan anggota domain, maka fungsi tersebut adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. Perhatikan diagram berikut!

fungsi-into

Diagram di atas adalah fungsi into, bukan fungsi surjektif karena tidak semua anggota kodomain memiliki pasangan. Terlihat bahwa range adalah {a, c} sementara kodomain adalah {a, b, c}. Tidak semua anggota kodomain merupakan range. Bukan fungsi injektif, karena ada anggota kodomain yang memiliki pasangan lebih dari satu, sehingga bukan fungsi satu-satu.

Pengertian Fungsi Surjektif atau Onto

Fungsi Surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada adalah suatu fungsi dimana seluruh anggota kodomain memiliki pasangan. Anggota kodomain boleh berpasangan lebih dari sekali. Seluruh anggota kodomain merupakan range (daerah hasil). Perhatikan diagram berikut!

fungsi-surjektif-atau-fungsi-onto

Diagram diatas adalah fungsi surjektif atau fungsi onto, karena semua anggota kodomain memiliki pasangan. Bukan fungsi injektif, karena ada anggota kodomain yang memiliki pasangan lebih dari satu.

Pengertian Fungsi Injektif

Fungsi injektif atau fungsi satu-satu adalah fungsi yang memasangkan anggota domain dengan anggota kodomain sehingga setiap anggota domain memiliki pasangan yang berbeda dan pasangannya hanya satu di kodomain. Perhatikan diagram berikut!

fungsi-injektif-atau-fungsi-satu-satu

Diagram diatas adalah fungsi injektif. Fungsi injektif haruslah relasi satu-satu. Anggota kodomain tidak harus memiliki pasangan, asalkan anggota domain masing-masing memiliki pasangan.

Pengertian Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif. Fungsi Bijektif disebut juga fungsi korespondensi satu-satu. Semua anggota kodomain berpasangan dengan anggota domain dan setiap anggota domain memiliki pasangan yang berbeda. Masing-masing anggota hanya berpasangan satu kali. Perhatikan diagram berikut!

fungsi-bijektif

Diagram di atas adalah fungsi bijektif. Semua anggota kodomain memiliki pasangan dan tiap-tiap anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali. Suatu korespondensi satu-satu hanya mungkin terjadi jika banyaknya anggota himpunan A sama dengan banyaknya anggota himpunan B. Jika banyak anggota himpunan A adalah p, maka banyak anggota himpunan B haruslah p. Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah $p! = p(p - 1).(p - 2).(p - 3)....3.2.1$

Contoh soal 1.
Jika A = {a, b, c, d, e} dan B = {3, 4, 5}, maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah . . . .

Pembahasan:

Banyak anggota himpunan A = 5, banyak anggota himpunan B = 3. Banyak pemetaan dari A ke B = $3^5 = 243$.

Contoh soal 2.
Jika n(A) = n(B) = 5, maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah . . . .

Pembahasan:

Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Contoh soal 3.
Suatu fungsi dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan R = {(3,2),(1,3),(2,5),(5,6),(7,3)}. Domain dari fungsi tersebut adalah . . . .

Pembahasan:

Domain adalah {1, 2, 3, 5, 7}.
Kodomain adalah {2, 3, 5, 6}

Contoh soal 4.
Diketahui $y = x^2 - 2x - 3$, $y = 3x + 1$, $y = 5$, $y^2 = 4 - x^2$. Yang bukan fungsi adalah . . . .

Pembahasan:
Suatu relasi disebut fungsi jika anggota domain dipetakan tepat dengan satu anggota kodomain. x adalah anggota domain dan y adalah anggota kodomain. Perhatikan $y^2 = 4 - x^2$ ! jika x = 0, maka ada dua nilai dari y, yaitu y = 2 dan y = -2. Ada beberapa nilai x yang berpasangan dua kali. Jadi $y^2 = 4 - x^2$ bukanlah fungsi.
Cara alternatif:
Sketsakan grafik dan tarik garis sejajar sumbu y memotong grafik. Jika garis memotong grafik lebih dari sekali, berarti grafik bukanlah fungsi.

Contoh soal 5.
Diketahui P = {(5,2),(6,2),(5,1),(7,1),(2,5)}, P bukanlah sebuah fungsi, tetapi jika salah satu pasangan terurut dibalik, maka P akan menjadi fungsi. Pasangan terurut yang harus dibalik adalah . . . .

Pembahasan:
P merupakan fungsi jika semua anggota domain berpasangan, dan memiliki satu pasangan di kodomain. Domain = {2, 5, 6, 7}, anggota domain yaitu 5 berpasangan dua kali, yaitu (5, 2) dan (5, 1). Salah satu harus dibalik. Jika (5, 2) dibalik menjadi (2, 5), akan ada anggota domain yaitu 2 yang berpasangan dua kali. Jika (5, 1) dibalik menjadi (1, 5), semua anggota domain hanya berpasangan satu kali.

Contoh soal 6.
Diketahui f : R → R. Yang merupakan fungsi korespondensi satu-satu adalah . . . .
$A.\ f(x) = x^4$
$B.\ f(x) = x^2 + 4$
$C.\ f(x) = |x + 1|$
$D.\ f(x) = 3x - 5$
$E.\ f(x) = 2x^2$

Pembahasan:
Kita bisa menguji sembarang nilai x, misalkan x = 1, x = -1 dan lain-lain. Kita juga bisa membuat sketsa. Jika garis yang ditarik sejajar sumbu x atau garis yang ditarik sejajar sumbu y memotong grafik lebih dari sekali, maka grafik bukanlah korespondensi satu-satu.
A. Jika x = 1 maka f(x) = 1, jika x = -1 maka f(x) = 1, x = 1 dan x = -1 memiliki peta yang sama. Jadi $f(x) = x^4$ bukanlah korespondensi satu-satu.
B. Jika x = 1 maka f(x) = 5, jika x = -1 maka f(x) = 5. Jadi $f(x) = x^2 + 4$ bukanlah korespondensi satu-satu.
C. Jika x = 1 maka f(x) = |1 + 1| = 2, jika x = -3 maka f(x) = |-3 + 1| = 2. Jadi f(x) = |x + 1| bukanlah korespondensi satu-satu.
D. f(x) = 3x - 5 adalah korespondensi satu-satu.
E. Sama seperti A dan B, $f(x) = x^2$ bukanlah korespondensi satu-satu.

Contoh soal 7.
Domain dari fungsi $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 7}{3 - x}}$ adalah . . . .

Pembahasan:

$\sqrt{\dfrac{x + 7}{3 - x}}$ akan terdefinisi jika $\dfrac{x + 7}{3 - x} ≥ 0$
$\dfrac{x + 7}{3 - x} ≥ 0$ → $x ≠ 3$
$(x + 7)(3 - x) ≥ 0$
$(x + 7)(x - 3) ≤ 0$
$-7 ≤ x < 3$.

Contoh soal 8.
Tentukan range dari fungsi $f(x) = x^2 - 2x - 3$ untuk -2 < x < 5.

Pembahasan:

Persamaan sumbu simetri:
$x = -\dfrac{b}{2a}$
$x = -\dfrac{-2}{2.1}$
$x = 1$
a = 1 > 0, kurva terbuka keatas sehingga yang ada adalah nilai minimum.
Nilai minimum pada x = 1.
$f(1) = 1^2 - 2.1 - 3$
= $-4$.
Kita akan menentukan nilai pada batas kiri dan batas kanan interval.
$f(-2) = (-2)^2 - 2.(-2) - 3$
= $5$
$f(5) = 5^2 - 2.5 - 3$
= $12$
Terlihat bahwa pada interval $-2 < x < 5$, range adalah $-4 < y < 12$.

Jenis-jenis Fungsi Khusus

Fungsi khusus adalah fungsi yang memiliki ciri-ciri khusus atau ciri-ciri yang khas. Beberapa fungsi khusus adalah fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak, fungsi genap, dan fungsi ganjil.

A. Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi f : A → B dimana setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama. Akibatnya range dari fungsi
tersebut hanyalah satu anggota. Fungsi konstan diformulasikan dengan $f(x) = k$ dengan x ∈ R, dan k merupakan sebuah konstanta atau tetapan.
Contoh fungsi konstan:
$a.\ f(x) = 3.$
$b.\ y = 2$.
$c.\ f(x) = -5.$

B. Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah fungsi f : A → A dengan A sembarang himpunan tidak kosong. Fungsi identitas diformulasikan dengan $f(x) = x$

C. Fungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi berderajat satu. Suatu fungsi f : R → R yang diformulasikan dengan $f(x) = ax + b$ dengan a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0.

D. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinom berderajat dua. Fungsi kuadrat diformulasikan dengan $f(x) = ax^2 + bx + c$ dengan a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0. Materi tentang fungsi kuadrat lihat DISINI.

E. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak.

Fungsi modulus adalah suatu fungsi nilai mutlak yang diformulasikan dengan $y = |f(x)|$.
Contoh fungsi modulus:
$a.\ f(x) = |x^2 - x + 5|$
$b.\ f(x) = |3x - 1|$

F. Fungsi Genap

Fungsi genap adalah suatu fungsi y = f(x) dimana $f(x) = f(-x)$ untuk semua bilangan real x anggota domain $(D_f)$.
Contoh fungsi genap:
$a.\ f(x) = 2x^2$
$f(x) = 2x^2$
$f(-x) = 2.(-x)^2$
$= 2x^2$
karena $f(x) = f(-x)$, maka $f(x) = 2x^2$ adalah fungsi genap.
$b.\ f(x) = |3x|$
$f(x) = |3x|$
$f(-x) = |3.(-x)|$
$= |-3x|$
$= |3x|$
Karena $f(x) = f(-x)$, maka $f(x) = |3x|$ adalah fungsi genap. Ciri-ciri fungsi genap adalah kesimetrisan terhadap sumbu $y$.

G. Fungsi Ganjil

Fungsi ganjil adalah suatu fungsi $y = f(x)$ dimana $f(x) = -f(x)$
Contoh fungsi ganjil:
$a.\ f(x) = x^3$
$f(-x) = -x^3$
$= -f(x)$
Karena $f(x) = -f(x)$, maka $f(x) = x^3$ adalah fungsi ganjil.
$b. f(x) = 3x$
$f(-x) = 3.(-x)$
$= -3x$
$= -f(x)$
Karena $f(x) = -f(x)$, maka $f(x) = 3x$ adalah fungsi ganjil. Ciri-ciri fungsi ganjil adalah kesimetrisan terhadap titik asal $O(0, 0)$.

Demikianlah pembahasan kita tentang Relasi dan Fungsi. Masih banyak kekurangan. Silahkan adik-adik dan rekan-rekan menambahkan dan melengkapi.

SHARE THIS POST

www.maretong.com




No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.