MARETONG: Soal dan Pembahasan Operasi Hitung Bilangan Bulat

Wednesday, March 20, 2019

Soal dan Pembahasan Operasi Hitung Bilangan Bulat


Pengertian Bilangan Bulat

Soal dan pembahasan operasi hitung bilangan bulat. Sebelum kita masuk ke topik utama, seperti biasa kita akan melakukan review singkat tentang operasi hitung bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, . . .), bilangan bulat negatif (. . . , -3, -2, -1), dan nol (0). Nol adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatif. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan B, dimana B = {. . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Bilangan bulat dapat digambarkan dalam suatu garis bilangan.

bilangan-bulat

Semakin ke kanan semakin besar, dan semakin ke kiri semakin kecil. Sebelum kita lanjut pembahasan tentang bilangan bulat, sebaiknya kita tinjau lebih dahulu macam-macam bilangan yang lain yaitu:
A. Bilangan asli.
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka satu. (1, 2, 3, 4, . . .)
B. Bilangan cacah.
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka nol. (0, 1, 2, 3, 4, . . .)
C. Bilangan prima.
Bilangan adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. (2, 3, 5, 7, 11, . . .)
D. Bilangan rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$, misalnya 2, 3, -5, 5, . . .
E. Bilangan irrasional.
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ karena pembagiannya tidak bisa berhenti, misalnya $\pi$, $\sqrt{2}$.
F. Bilangan komposit.
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Bilangan komposit yaitu (4, 6, 8, 9 . . .).
G. Bilangan real atau riil.
Bilangan real atau riil adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal, misaalnya 5,1243. Itulah macam-macam bilangan dengan ilustrasi sederhana. Sekarang kita lanjut ke topik utama, yaitu bilangan bulat.

Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Bulat

1. Sifat komutatif atau sifat pertukaran.
$p + q = q + p$
Contoh:
$a.\ 3 + 5 = 5 + 3$
$b.\ 7 + (-12) = (-12) + 7$
2. Sifat assosiatif atau pengelompokan.
$(p + q) + r = p + (q + r)$
Contoh:
$a.\ (5 + 7) + 9 = 5 + (7 + 9)$
$b.\ (6 + (-15)) + 4 = 6 + ((-15) + 4)$
3. Sifat tertutup.
Penjumlahan bilangan bulat pasti akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sifat ini dsebut sifat tertutup. untuk $a, b, ∈ B$, maka berlaku $a + b ∈ B$.
4. unsur identitas.
$p + 0 = 0 + p = 0$
Nol (0) adalah unsur identitas atau elemen netral pada penjumlahan.
Contoh:
$a.\ (-17) + 0 = 0 + (-17) = -17$
$b.\ 4 + 0 = 0 + 4 = 4$
5. Sifat invers.
$p + (-p) = (-p) + p = 0$
Contoh:
$a.\ 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0$
$b.\ (-7) + 7 = 7 + (-7) = 0$

Sifat-sifat Operasi Pengurangan Pada Bilangan Bulat

1. Mengurangi suatu bilangan sama dengan manambahkan lawan atau invers dari bilangan tersebut.
Lawan atau invers dari $p$ adalah $-p$, sedangkan lawan atau invers dari $-p$ adalah $p$.
2. Pengurangan pada bilangan bulat tidak bersifat komutatif.
$p - q ≠ q - p$ jika $p ≠ q ≠ 0$.
Contoh:
$a.\ 9 - 5 ≠ 5 - 9 → 4 ≠ -4$.
$b.\ -4 - 3 ≠ 3 - (-4) → -7 ≠ 7$
3. Pengurangan pada bilangan bulat tidak bersifat assosiatif.
$(p - q) - r ≠ p - (q - r)$ dengan $p ≠ q ≠ r ≠ 0$
Contoh:
$a.\ (12 - 5) - 3 ≠ 12 - ( 5 - 3) → 4 ≠ 10$.
$b.\ (15 - (-3)) - 10 ≠ 15 - ((-3) - 10) → 8 ≠ 28$.
4. Pengurangan pada bilangan bulat bersifat tertutup.
Karena pengurangan bilangan bulat dengan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat. $p, q ∈ B$ maka $p - q ∈ B$.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Pada Bilangan Bulat

1. Sifat tertutup.
Perkalian bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. $p, q ∈ B\ maka\ p.q ∈ B$
2. Sifat komutatif.
$p \times q = q \times p$
Contoh:
$a.\ 7 \times 6 = 6 \times 7 → 42 = 42$.
$b.\ (-5) \times 4 = 4 \times (-5) → -20 = -20$.
3. Sifat assosiatif.
$(p \times q) \times r = p \times (q \times r)$
Contoh:
$a.\ (2 \times 3) \times 6 = 2 \times (3 \times 6) → 36 = 36$.
$b.\ ((-3) \times 5) \times 2 = (-3) \times (5 \times 2)$
4. Sifat distributif.
$\bullet$ Sifat distributif pada penjumlahan.
$p \times ( q + r) = p \times q + p \times r$
Contoh:
$a.\ (-3) \times (6 + 7) = (-3) \times 6 + (-3) \times 7$.
$b.\ 8 \times ( 7 + (-2)) = 8 \times 7 + 8 \times (-2)$
$\bullet$ Sifat distributif pada pengurangan.
$p \times ( q - r) = p \times q - p \times r$
Contoh:
$a.\ 8 \times (5 - 3) = 8 \times 5 - 8 \times 3$
$b.\ (-2) \times (9 - (-3)) = (-2) \times 9 - (-2) \times (-3)$.
5. Unsur Identitas.
$p \times 1 = 1 \times p = p$
Satu (1) adalah unsur identitas atau elemen netral pada perkalian.
Contoh:
$a.\ 5 \times 1 = 1 \times 5 = 5$
$b.\ (-18) \times 1 = 1 \times (-18) = 0$
6. Perkalian bilangan nol (0).
$p \times 0 = 0 \times p = 0$.
Contoh:
$a.\ 35 \times 0 = 0 \times 35 = 0$
$b.\ (-15) \times 0 = 0 \times (-15) = 0$
7. Sifat invers.
$p \times \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{p} \times p = 1$.

8. Tanda pada perkalian bilangan bulat:
$1.\ (+) \times (+) = (+)$
Contoh:
$a.\ 4 \times 6 = 24$
$b.\ 7 \times 8 = 56$
$2. (+) \times (-) = (-)$
Contoh:
$a.\ 6 \times (-3) = (-18)$
$b.\ 5 \times (-12) = (-60)$
$3. (-) \times (+) = (-)$
Contoh:
$a.\ (-5) \times 6 = (-30)$
$b.\ (-7) \times 3 = (-21)$
$4. (-) \times (-) = (+)$
Contoh:
$a.\ (-5) \times (-3) = 15$
$b.\ (-2) \times (-4) = 8$

Sifat-sifat Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat

1. Tidak bersifat komutatif.
$p : q ≠ q : p$
Contoh:
$a.\ 4 : 2 ≠ 2 : 4$
$b.\ (-10) : 5 ≠ 5 : (-10)$
2. Tidak bersifat assosiatif.
$(p : q) : r ≠ p : (q : r)$
Contoh:
$a.\ (12 : 2) : 3 ≠ 12 : (2 : 3)$
$b.\ (15 : (-3)) : 5 ≠ 15 : ((-3) : 5)$
3. Tidak bersifat tertutup.
Pembagian pada bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat, sehingga pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup. $p, q ∈ B$, maka $\dfrac{p}{q} \notin$ B.

4. Tanda pada pembagian bilangan bulat
$1. (+) : (+) = (+)$
Contoh:
$a.\ 8 : 4 = 2$
$b.\ 12 : 3 = 4$
$2. (+) : (-) = (-)$
Contoh:
$a.\ 15 : (-3) = (-5)$
$b.\ 20 : (-5) = (-4)$
$3. (-) : (+) = (-)$
Contoh:
$a.\ (-18) : 6 = (-3)$
$b.\ (-25) : 5 = (-5)$
$4. (-) : (-) = (+)$
Contoh:
$a.\ (-16) : (-4) = 4$
$b.\ (-32) : (-4) = 8$

Sifat-sifat Operasi Perpangkatan Pada Bilangan Bulat

Perpangkatan adalah perkalian berulang dengan bilangan yang sama. $a^n = a \times a \times a \cdots$ sampai n kali. $a$ disebut sebagai bilangan pokok dan $n$ disebut pangkat.
Sifat-sifat perpangkatan:
$\bullet$ $x^0 = 1$
$\bullet$ $x^m.x^n = x^{m + n}$
$\bullet$ $x^m : x^n = x^{m - n}$
$\bullet$ $(xy)^m = x^my^m$
$\bullet$ $(x : y)^m = x^m : y^m$
$\bullet$ $(x^m)^n = x^{mn}$
$\bullet$ $(x : y)^{-m} = (y : x)^m$
$\bullet$ $(-p)^m = \begin{cases} p^m & \text{jika }m = bilangan\: genap\\ -p^m & \text{jika } m= bilangan \: ganjil \end{cases}$

1. Kuadrat suatu bilangan.
Kuadrat suatu bilangan adalah perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri.
$a^2 = a \times a$
Contoh:
$a.\ 2^2 = 2 \times 2 = 4$
$b.\ (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$
2. Pangkat tiga suatu bilangan
$a^3 = a \times a \times a$
Contoh:
$a.\ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
$b.\ (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = (-8)$

3. Bentuk Akar
$\sqrt[m]{xy} = \sqrt[m]{x}\sqrt[m]{y}$
$\sqrt[m]{x : y} = \sqrt[m]{x} : \sqrt[m]{y}$
$\sqrt[m]{x^n} = x^{n\over m}$

a. Akar kuadrat suatu bilangan.
Jika $\sqrt{p} = q,\: maka\: p = q^2$
b. Akar pangkat tiga suatu bilangan.
Jika $\sqrt[3]{p} = q,\: maka \: p = q^3$

Untuk mengerjakan operasi hitung yang lebih rumit yang melibatkan bentuk tanda kurung, perpangkatan, akar, perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan, harus memperhatikan urutan pengerjaan. Tanda kurung harus diselesaikan lebih dahulu, kemudian perpangkatan atau akar, selanjutnya perkalian atau pembagian, kemudian penjumlahan atau pengurangan.
Begitulah review singkat tentang operasi hitung bilangan bulat. Untuk meningkatkan pemahaman dari adik-adik, silahkan simak dan pelajari soal dan pembahasan operasi hitung bilangan bulat yang berikut.

Contoh Soal Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pembahasan

1. Diantara bilangan-bilangan berikut: $2, 6, -7, -18$, bilangan terkecil adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 6$
$C.\ -7$
$D.\ -18$
Pada garis bilangan, $-18$ adalah angka paling kiri, sehingga $-18$ adalah bilangan paling kecil. → D.

$2$. Suhu suatu ruangan di daerah kutub pada siang hari adalah $2^oC$ dan pada malam hari $18^oC$ lebih rendah dari suhu pada siang hari. Maka suhu pada malam hari adalah . . . .
$A.\ 16^oC$
$B.\ -16^oC$
$C.\ 20^oC$
$D.\ -20^oC$
Suhu pada malam hari $= 2^oC - 18^oC = -16^oC$ → B.

$3.\ (9 - 3)^2 - 12:3 =$ . . . .
$A.\ 8$
$B.\ 16$
$C.\ 18$
$D.\ 32$
$(9 - 3)^2 - 12:3$
$= 6^2 - 4$
$= 36 - 4$
$= 32$ → D.

$4$. Nilai $n$ yang memenuhi $2n + (-18) + 12 = -4$ adalah . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$2n - 18 + 12 = -4$
$2n - 6 = -4$
$2n = -4 + 6$
$2n = 2$
$n = 1$ → A.
Ingat !
$(+).(-) = (-)$
Contoh:
$2 + (-18) = 2 - 18 = -16$.

$5.\ -26 + (-12) + 26 =$ . . . .
$A.\ -12$
$B.\ -40$
$C.\ 12$
$D.\ 64$
$-26 + (-12) + 26 = -26 - 12 + 26$
$= -12$ → C.

$6.\ -8 - (-18) + (-24) =$ . . . .
$A.\ 12$
$B.\ 14$
$C.\ -12$
$D.\ -14$
$-8 - (-18) + (-24) = -8 + 18 - 24$
$= -14$ → D.

$7$. Seorang anak berlari pada suatu lintasan lurus sejauh 90 meter, kemudian mundur sejauh 35 meter dan maju lagi sejauh 15 meter. Jarak anak dari titik awal adalah . . . .
$A.\ 85\ meter$
$B.\ 80\ meter$
$C.\ 75\ meter$
$D.\ 70\ meter$
Maju tambahkan, mundur kurangkan.
Jarak = 90 - 35 + 15
= 70 meter → D.

$8$. Suhu di dalam kulkas $-2^oC$. Pada saat mati lampu suhu di dalam kulkas naik $3^oC$ setiap 4 menit. Setelah lampu mati selama 8 menit, suhu di dalam kulkas adalah . . . .
$A.\ 1^oC$
$B.\ 3^oC$
$C.\ 4^oC$
$D.\ 8^oC$
[Soal UN]
Karena suhunya naik $3^oC$ tiap 4 menit, maka setelah 8 menit suhu kulkas naik sebesar ${8\over 4}.3 = 6^oC$. Suhu kulkas menjadi $-2 + 6 = 4^oC$ → C.

$9$. Skor pada kompetisi adalah 4 untuk setiap jawaban yang benar, 0 untuk soal yang tidak dijawab dan $-1$ untuk untuk setiap jawaban yang salah. Dari 50 soal yang diberikan Budi tidak menjawab 6 soal dan salah 5 soal. Skor yang diperoleh Budi adalah . . . .
$A.\ 150$
$B.\ 151$
$C.\ 156$
$D.\ 180$
[Soal UN]
Jumlah soal = 50
------------------------
tidak dijawab = 6
Salah = 5
------------------------
Berarti Soal yang dijawab benar = 50 - 6 - 5 = 39 soal.
Skor = 39.4 + 6.0 + 5.(-1)
= 156 + 0 - 5
= 151 → B.

$10$. Hasil dari $(-4 + 6) \times (-2 - 3)$ adalah . . . .
$A.\ -10$
$B.\ -2$
$C.\ 10$
$D.\ 50$
[Soal UN]
Ingat urutan pengerjaan !

$(-4 + 6) \times (-2 - 3) = (2) \times (-5) = -10$ → A.

$11$. Hasil dari $(16 : 2) + (-5 \times 2) - (-3)$ adalah . . . .
$A.\ -5$
$B.\ 1$
$C.\ 15$
$D.\ 24$
[Soal UN]
$(16 : 2) + (-5 \times 2) - (-3)$
$= (8) + (-10) + 3$
$= 8 - 10 + 3$
$= 1$ → B.

$12$. Hasil dari $8 + (-3 \times 4) - (-6 : 3)$ adalah . . . .
$A.\ 6$
$B.\ 2$
$C.\ -2$
$D.\ -6$
[Soal UN]
$8 + (-3 \times 4) - (-6 : 3)$
$= 8 + (-12) - (-2)$
$= 8 - 12 + 2$
$= -2$ → C.

$13$. Hasil dari $(-20) + 8 \times 5 - 18 : (-3)$ adalah . . . .
$A.\ -26$
$B.\ -14$
$C.\ 14$
$D.\ 26$
[Soal UN]
$(-20) + 8 \times 5 - 18 : (-3)$
$= (-20) + 40 - (-6)$
$= -20 + 40 + 6$
$= 26$ → D.

$14$. Hasil dari $-25 \times (8 + (-9)) : (2 - 7)$ adalah . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -3$
$C.\ 2$
$D.\ 5$
[Soal UN 2018]
$-25 \times (8 + (-9)) : (2 - 7)$
$= -25 \times (-1) : (-5)$
$= 25 : (-5)$
$= -5$ → A.

$15$. Jika $a = -3,\ b = 5,\ dan\ c = 2$, maka nilai dari $ab - abc + 2b = \cdots$
$A.\ -35$
$B.\ -25$
$C.\ 25$
$D.\ 55$
$ab - abc + 2b$
$= (-3) \times 5 - (-3) \times 5 \times 2 + 2 \times 5$
$= -15 - (-30) + 10$
$= -15 + 30 + 10$
$= 25$ → C.

$16$. Jika $a = -5,\ b = 3,\ dan\ c = -2$, maka nilai dari $-a^2 + (b - c)^2$ adalah . . . .
$A.\ -25$
$B.\ -5$
$C.\ 0$
$D.\ 5$
$-a^2 + (b - c)^2$
$= -(-5)^2 + (3 - (-2))^2$
$= -25 + 5^2$
$= -25 + 25$
$= 0$ → C.

$17$. Jika "#" berarti "kalikan bilangan pertama dengan 5, kemudian hasilnya dikurangi 3 kali bilangan kedua", maka hasil dari $-4$ # $-2$ adalah . . . .
$A.\ -26$
$B.\ -16$
$C.\ 26$
$D.\ 16$
$5 \times (-4) - 3 \times (-2)$
$= -20 - (-6)$
$= -20 + 6$
$= -16$ → B.

$18$. Diketahui $\sqrt{16} = a$ dan $\sqrt{25} = b$. Nilai dari $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} =$ . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 4$
$C.\ 5$
$D.\ 9$
$a = \sqrt{16} = 4$
$b = \sqrt{25} = 5$
$\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$
$= \sqrt{4^2 - 2.4.5 + 5^2}$
$= \sqrt{16 - 40 + 25}$
$= \sqrt{1}$
$= 1$ → A.

$19$. Hasil dari $\sqrt{625} + \sqrt{0,16} + \sqrt[3]{512}$ adalah . . . .
$A.\ 31,04$
$B.\ 31,4$
$C.\ 33,04$
$D.\ 33,4$
$\sqrt{625} + \sqrt{0,16} + \sqrt[3]{512}$
$= 25 + 0,4 + 8$
$= 33,4$ → D.

$20$. Hasil dari $\sqrt[3]{-8} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt[3]{-125}$ adalah . . . .
$A.\ -10$
$B.\ -6$
$C.\ -5$
$D.\ 0$
$\sqrt[3]{-8} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt[3]{-125}$
$-2 + (-3) + (-5)$
$-2 - 3 - 5$
$-10$ → A.

$21$. Hasil dari $\left(-3^2\right)^3 + \left((-3)^2 \right)^3$ = . . . .
$A.\ 1458$
$B.\ -1458$
$C.\ 729$
$D.\ 0$
$\left(-3^2\right)^3 + \left((-3)^2 \right)^3$
$= \left(-9\right)^3 + \left(9\right)^3$
$= -729 + 729$
$= 0$ → D.

$22$. Hasil dari $\left(5^2.5^3\right)^2$ adalah . . . .
$A.\ 5^7$
$B.\ 5^8$
$C.\ 5^9$
$D.\ 5^{10}$
$\left(5^2.5^3\right)^2$
$= \left(5^{2 + 3}\right)^2$
$= \left(5^5\right)^2$
$= \left(5^{5.2}\right)$
$= 5^{10}$ → D.

$23$. Pembulatan angka ke puluhan terdekat dari $47 \times 146 =$ . . . .
$A.\ 5.500$
$B.\ 6.000$
$C.\ 7.000$
$D.\ 7.500$
Ingat aturan pembulatan !
Angka 1 sampai angka 4 dihilangkan. Angka 5 sampai angka 9 dibulatkan ke atas. 47 dibulatkan kepuluhan terdekat menjadi 50. 146 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 150.
Sehingga:
47 x 146 $\approx$ 50 x 150
$\approx $ 7.500 → D.

$24$. Pembulatan ke angka ratusan terdekat dari 437 x 879 = . . . .
$A.\ 360.000$
$B.\ 371.817$
$C.\ 387.200$
$D.\ 393.300$
437 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400. 879 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 900.
Sehingga:
437 x 879 $\approx$ 400 x 900
$\approx$ 360.000 → A.

$25$. Pembulatan ke angka ribuan terdekat dari 35.346 : 6.765 = . . . .
$A.\ 4$
$B.\ 5$
$C.\ 6$
$D.\ 7$
35.346 dibulatkan ke angka ribuan terdekat menjadi 35.000. Sementara 6.765 dibulaatkan ke angka ribuan terdekat menjadi 7.000.
Sehingga:
35.346 : 6765 $\approx$ 35.000 : 7.000
$\approx$ 5 → B.

Demikianlah soal dan pembahasan operasi hitung bilangan bulat. Selamat belajar !

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.