MARETONG: Rumus Trigonometri kelas 11

Monday, September 16, 2019

Rumus Trigonometri kelas 11


Rumus-rumus trigonometri SMA kelas 11 serta contoh soal dan Pembahasan. Rumus-rumus trigonometri yang akan kita bahas adalah rumus-rumus pada materi pelajaran matematika minat kelas 11 yang meliputi:
1. Jumlah dua sudut: sinus, cosinus, dan tangen.
2. Selisih dua sudut: sinus, cosinus, dan tangen.
3. Jumlah dua sudut rangkap: sinus, cosinus, dan tangen.
4. Perkalian sinus dan cosinus.
5. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus.
6. Mengubah bentuk $a\ cos\ x + b\ sin\ x$ menjadi $k\ cos\ (x - \alpha)$
Sebelum kita mulai membahas satu-persatu, pelajari terlebih dahulu trigonometri kelas 10. Lihat artikel terkait dan klik tautannya untuk melihat.

Rumus Trigonometri Jumlah Dua Sudut (sinus, cosinus, dan tangen).

$sin (A + B) = sin\ A\ cos\ B + cos\ A\ sin\ B$
Contoh soal 1.
Hitunglah nilai dari $sin\ 75^o\ !$

$Pembahasan:$

$sin\ 75^o = sin\ (30^o + 45^o)$
$= sin\ 30^ocos\ 45^o + cos\ 30^osin\ 45^o$
$= \dfrac12.\dfrac12\sqrt{2} + \dfrac12\sqrt{3}.\dfrac12\sqrt{2}$
$= \dfrac14\sqrt{2} + \dfrac14\sqrt{6}$

$cos\ (A + B) = cos\ Acos\ B - sin\ Asin\ B$
Contoh soal 2.
Hitunglah nilai dari $cos\ 105^o\ !$

$Pembahasan:$

$cos\ (105^o) = cos\ (60^o + 45^o)$
$= cos\ 60^o.cos\ 45^o - sin\ 60^o.sin\ 45^o$
$= \dfrac12.\dfrac12\sqrt{2} - \dfrac12\sqrt{3}.\dfrac12\sqrt{2}$
$= \dfrac14\sqrt{2} - \dfrac14\sqrt{6}$

$tan\ (A + B) = \dfrac{tan\ A + tan\ B}{1 - tan\ Atan\ B}$
Contoh soal 3.
Hitunglah nilai dari $tan\ 255^o$

$Pembahasan:$

$tan\ 255^o = tan\ (180^o + 75^o)$
$= tan\ 75^o$
$= tan\ (45^o + 30^o)$
$= \dfrac{tan\ 45^o + tan\ 30^o}{1 - tan\ 45^o.tan\ 30^o}$
$= \dfrac{1 + \dfrac13\sqrt{3}}{1 - 1.\dfrac13\sqrt{3}}$
$= \dfrac{\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}}$
$= \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$
$= \dfrac{(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})}.\dfrac{(3 + \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})}$
$= \dfrac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6}$
$= \dfrac{12 + 6\sqrt{3}}{6}$
$= 2 + \sqrt{3}$

Rumus Trigonometri Selisih Dua Sudut (sinus, cosinus, dan tangen).

$sin\ (A - B) = sin\ Acos\ B - sin\ Bcos\ A$
Contoh soal 4.
Hitunglahlah nilai dari $sin\ 15^o\ !$

$Pembahasan:$

$sin\ 15^o = sin\ (45^o - 30^o)$
$= sin\ 45^ocos\ 30^o - cos\ 45^osin\ 30^o$
$= \dfrac12\sqrt{2}.\dfrac12\sqrt{3} - \dfrac12\sqrt{2}.\dfrac12$
$= \dfrac14\sqrt{6} - \dfrac14\sqrt{2}$

$cos\ (A - B) = cos\ Acos\ B + sin\ Asin\ B$
Contoh soal 5.
Jika $cos\ 40^o = a$, maka nilai dari $cos\ 5^o =$ . . . .

$Pembahasan:$

$sin^2\ 40^o + cos^2\ 40^o = 1$
$sin^2\ 40^o + a^2 = 1$
$sin\ 40^o = \sqrt{1 - a^2}$

$cos\ 5^o = cos\ (45^o - 40^o)$
$= cos\ 45^ocos\ 40^o + sin\ 45^osin\ 40^o$
$= \dfrac12\sqrt{2}.a + \dfrac12\sqrt{2}.\sqrt{1 - a^2}$
$= \dfrac12\sqrt{2}(a + \sqrt{1 - a^2})$

$tan\ (A - B) = \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1 + tan\ A\ tan\ B}$
Contoh soal 6.
Jika $tan\ x = \dfrac12\sqrt{3}$ maka $tan\ (x - 30^o) =$ . . . .

$Pembahasan:$

$tan\ (A - B) = \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1 + tan\ Atan\ B}$
$tan\ (x - 30^o) = \dfrac{tan\ x - tan\ 30^o}{1 + tan\ x\ tan\ 30^o}$
$= \dfrac{\dfrac12\sqrt{3} - \dfrac13\sqrt{3}}{1 + \dfrac12\sqrt{3}.\dfrac13\sqrt{3}}$
$= \dfrac{\dfrac16\sqrt{3}}{1 + \dfrac12}$
$= \dfrac{\dfrac16\sqrt{3}}{\dfrac32}$
$= \dfrac16\sqrt{3}.\dfrac23$
$= \dfrac19\sqrt{3}$

Rumus Trigonometri Jumlah Sudut Rangkap (sinus, cosinus, dan tangen).

$sin\ 2A = 2\ sin\ A\ cos\ A$
Contoh soal 7.

Jika $sin\ x = p$ maka $sin\ 2x = $ . . . . ?

$Pembahasan:$

$sin\ x = p → cos\ x = \sqrt{1 - p^2}$
$sin\ 2x = 2\ sin\ x\ cos\ x$
$= 2.p.\sqrt{1 - p^2}$
$= 2p\sqrt{1 - p^2}$

$cos\ 2A = cos^2\ A - sin^2\ A$

Ingat kembali:
$sin^2\ A + cos^2\ A = 1$
$sin^2\ A = 1 - cos^2\ A$
$cos^2\ A = 1 - sin^2\ A$

Sehingga:
$cos\ 2A = 1 - 2\ sin^2\ A$
$cos\ 2A = 2\ cos^2\ A - 1$

Contoh soal 8.
Jika $sin\ \dfrac12x = \dfrac15$, maka $cos\ x =$ . . . .

$Pembahasan:$

$cos\ x = cos\ \left(\dfrac12x + \dfrac12x\right)$
$= cos^2\ \dfrac12x - sin^2\ \dfrac12x$
$= 1 - 2\ sin^2\ \dfrac12x$
$= 1 - 2.\left(\dfrac15\right)^2$
$= 1 - 2.\dfrac{1}{25}$
$= \dfrac{23}{25}$

$tan\ 2A = \dfrac{2\ tan\ A}{1 - tan^2\ A}$
Contoh soal 9.
Jika $sin\ x = \dfrac23$ maka $tan\ 2x =$ . . . .

$Pembahasan:$

$sin\ x = \dfrac23 → tan\ x = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$tan\ 2x = \dfrac{2\ tan\ x}{1 - tan^2\ x}$
$= \dfrac{2.\dfrac{2}{\sqrt{5}}} {1 - \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}$
$= \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{5}}}{\dfrac15}$
$= \dfrac{4}{\sqrt{5}}.5$
$= 4\sqrt{5}$

Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus.

$2\ sin\ A\ cos\ B = sin\ (A + B) + sin\ (A - B)$
Contoh soal 10.
Tentukanlah nilai dari $sin\ 52,5^ocos\ 7,5^o\ !$

$Pembahasan:$

$A = 52,5$
$B = 7,5$
$2\ sin\ A\ cos\ B = sin\ (A + B) + sin\ (A - B)$
$sin\ A\ cos\ B = \dfrac12(sin\ (A + B) + sin\ (A - B))$
$sin\ 52,5^ocos\ 7,5^o\ = \dfrac12(sin\ (52,5^o + 7,5^o)\ + $ $sin\ (52,5^o - 7,5^o))$
$= \dfrac12(sin\ 60^o + sin\ 45^o)$
$= \dfrac12\left(\dfrac12\sqrt{3} + \dfrac12\sqrt{2}\right)$
$= \dfrac14(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

$2\ cos\ A\ sin\ B = sin\ (A + B) - sin\ (A - B)$
Contoh soal 11.
Tentukanlah nilai dari $2\ cos\ 75^o\ sin\ 15^o\ !$

$Pembahasan:$

$2\ cos\ A\ sin\ B = sin\ (A + B) - sin\ (A - B)$
$2\ cos\ 75^o\ sin\ 15^o\ = sin\ (75^o + 15^o) - sin\ (75^o - 15^o)$
$= sin\ 90^o - sin\ 60^o$
$= 1 - \dfrac12\sqrt{3}$

$2\ cos\ A\ cos\ B = cos\ (A + B) + cos\ (A - B)$
Contoh soal 12.
Tentukanlah nilai dari $cos\ 45^o\ cos\ 15^o\ !$

$Pembahasan:$

$2\ cos\ A\ cos\ B = cos\ (A + B) + cos\ (A - B)$
$cos\ A\ cos\ B = \dfrac12(cos\ (A + B) + cos\ (A - B))$
$cos\ 45^o\ cos\ 15^o = \dfrac12(cos\ (45^o + 15^o) + cos\ (45^o - 15^o))$
$= \dfrac12(cos\ 60^o + cos\ 30^o)$
$= \dfrac12\left(\dfrac12 + \dfrac12\sqrt{3}\right)$
$= \dfrac14(1 + \sqrt{3})$

$-2\ sin\ A\ sin\ B = cos\ (A + B) - cos\ (A - B)$
Contoh soal 13.
Tentukanlah nilai dari $sin\ 37,5^o\ sin\ 7,5^o\ !$

$Pembahasan:$

$-2\ sin\ A\ sin\ B = cos\ (A + B) - cos\ (A - B)$
$sin\ A\ sin\ B = -\dfrac12[cos\ (A + B) - cos\ (A - B)]$
$sin\ 37,5^o\ sin\ 7,5^o = -\dfrac12[cos\ (37,5^o + 7,5^o)\ - $ $ cos\ (37,5^o - 7,5^o)]$
$= -\dfrac12(cos\ 45^o - cos\ 30^o)$
$= -\dfrac12\left(\dfrac12\sqrt{2} - \dfrac12\sqrt{3}\right)$
$= -\dfrac14(\sqrt{2} - \sqrt{3})$
$= \dfrac14(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Rumus Trigonometri Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

$\bullet$ $sin\ A + sin\ B = 2\ sin\ \dfrac12(A + B)cos\ \dfrac12(A - B)$
$\bullet$ $sin\ A - sin\ B = 2\ cos\ \dfrac12(A + B)sin\ \dfrac12(A - B)$
$\bullet$ $cos\ A + cos\ B = 2\ cos\ \dfrac12(A + B)cos\ \dfrac12(A - B)$
$\bullet$ $cos\ A - cos\ B = -2\ sin\ \dfrac12(A + B)sin\ \dfrac12(A - B)$

Contoh soal 14.
$sin\ 5x + sin\ 3x = 2\ sin\ \dfrac12(5x + 3x)\ cos\ \dfrac12(5x - 3x)$
$= 2\ sin\ \dfrac12.8x\ cos\ \dfrac12.2x$
$= 2\ sin\ 4x\ cos\ x$

Contoh soal 15.
$sin\ 7x - sin\ 3x = 2\cos \ \dfrac12(7x + 3x)\ sin\ \dfrac12(7x - 3x)$
$= 2\ cos\ \dfrac12.10x\ sin\ \dfrac12(4x)$
$= 2\ cos\ 5x\ sin\ 2x$

Contoh soal 16.
$cos\ 3x + cos\ x = 2\ cos\ \dfrac12(3x + x)\ cos\ \dfrac12(3x - x)$
$= 2\ cos\ \dfrac12.4x\ cos\ \dfrac12.2x$
$= 2\ cos\ 2x\ cos\ x$

Contoh soal 17.
Tentukanlah nilai dari $cos\ 75^o - cos\ 15^o\ !$

$Pembahasan:$

$cos\ 75^o - cos\ 15^o = -2\ sin\ \dfrac12(75^o + 15^o)\ sin\ \dfrac12(75^o - 15^o)$
$= -2\ sin\ \dfrac12.90^o\ sin\ \dfrac12.60^o$
$= -2\ sin\ 45^o\ sin\ 30^o$
$= -2.\dfrac12\sqrt{2}.\dfrac12$
$= -\dfrac12\sqrt{2}$

Mengubah bentuk $a\ cos\ x + b\ sin\ x$ menjadi $k\ cos\ (x - \alpha)$

$a\ cos\ x + b\ sin\ x = k\ cos\ (x - \alpha)$
$k = \sqrt{a^2 + b^2}$
$tan\ \alpha = \dfrac ba$
Jika:
# $\ a > 0;\ b > 0$ maka $0^o < \alpha < 90^o$
# $\ a < 0;\ b > 0$ maka $90^o < \alpha < 180^o$
# $\ a < 0;\ b < 0$ maka $180^o < \alpha < 270^o$
# $\ a > 0;\ b < 0$ maka $270^o < \alpha < 360^o$
Contoh soal 18.
Jika diubah ke bentuk $k\ cos\ (x - \alpha)$ maka bentuk dari $cos\ x + \sqrt{3}\ sin\ x$ adalah . . . .

$Pembahasan:$

$a = 1$
$b = \sqrt{3}$
$0^o < \alpha < 90^o$
$k = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$
$tan\ \alpha = \dfrac{b}{a}$
$tan\ \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
$\alpha = 60^o$
Dengan demikian:
$cos\ x + \sqrt{3}\ sin\ x = 2\ cos\ (x - 60^o)$

Contoh soal 19.
Jika diubah ke bentuk $k\ cos\ (x - \alpha)$ maka bentuk dari $cos\ x - \sqrt{3}\ sin\ x$ adalah . . . .

$Pembahasan:$

$a = 1$
$b = -\sqrt{3}$
$270^o < \alpha < 360^o$
$k = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$
$tan\ \alpha = \dfrac{b}{a}$
$tan\ \alpha = \dfrac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
$\alpha = 300^o$
Dengan demikian:
$cos\ x - \sqrt{3}\ sin\ x = 2\ cos\ (x - 300^o)$

Contoh soal 20.
Jika diubah ke bentuk $k\ cos\ (x - \alpha)$ maka bentuk dari $-cos\ x + \sqrt{3}\ sin\ x$ adalah . . . .

$Pembahasan:$

$a = -1$
$b = \sqrt{3}$
$90^o < \alpha < 180^o$
$k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$
$tan\ \alpha = \dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$
$\alpha = 120^o$
Dengan demikian:
$-cos\ x + \sqrt{3}\ sin\ x = 2\ cos\ (x - 120^o)$

Contoh soal 21.
Jika diubah ke bentuk $k\ cos\ (x - \alpha)$ maka bentuk dari $-cos\ x - \sqrt{3}\ sin\ x$ adalah . . . .

$Pembahasan:$

$a = -1$
$b = -\sqrt{3}$
$180^o < \alpha < 270^o$
$k = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$
$tan\ \alpha = \dfrac{b}{a}$
$tan\ \alpha = \dfrac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}$
$\alpha = 240^o$
Dengan demikian:
$-cos\ x - \sqrt{3}\ sin\ x = 2\ cos\ (x - 240^o)$

Demikianlah Rumus-Rumus Dalam Trigonometri serta contoh soal dan Pembahasan. Selamat belajar !

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.