MARETONG: Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Saturday, September 14, 2019

Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran. Seperti biasa, sebelum kita masuk ke pokok persoalan kita akan melakukan review singkat tentang persamaan lingkaran.

Pengertian Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan semua titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut pusat lingkaran dan jarak antara pusat lingkaran dengan semua titik yang berjarak sama disebut jari-jari lingkaran. Jika jarak tersebut dinyatakan secara matematis dalam bentuk persamaan, maka persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran.

Rumus Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di $O(0,\ 0)$ dan Berjari-jari $r$.

$x^2 + y^2 = r^2$

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di $P(a,\ b)$ dan Berjari-jari $r$.

$(x - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
$\bullet$ $Pusat = (-\dfrac12A,\ -\dfrac12B)$
$\bullet$ $R^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$
$R → jari-jari$

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak di luar lingkaran, maka berlaku:
$x_1^2 + y_1^2 > r^2$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak pada lingkaran, maka berlaku:
$x_1^2 + y_1^2 = r^2$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak di dalam lingkaran, maka berlaku:
$x_1^2 + y_1^2 < r^2$

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak di luar lingkaran, maka berlaku:
$(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 > r^2$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak pada lingkaran, maka berlaku:
$(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak di dalam lingkaran, maka berlaku:
$(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 < r^2$

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak di luar lingkaran, maka berlaku:
$x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C > 0$.
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak pada lingkaran, maka berlaku:
$x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C = 0$.
$\bullet$ Jika titik $M(x_1,\ y_1)$ terletak di dalam lingkaran, maka berlaku:
$x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C < 0$.

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Sebuah garis kemungkinan akan menjauhi atau menyinggung atau memotong lingkaran. Kedudukan garis $ax + by + c = 0$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ atau $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ atau $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Nyatakan persamaan garis dalam bentuk eksplisit $y = mx + c$
2. Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran, sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
a. Jika $D > 0$ maka garis memotong lingkaran pada dua titik yang berlainan.
b. Jika $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran.
c. Jika $D < 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung atau menjauhi lingkaran.

Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

1. Persamaan garis singgung melalui titik $M(x_1,\ y_1)$ pada lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$:
$x_1x + y_1y = r^2$
2. Persamaan garis singgung melalui titik $M(x_1,\ y_1)$ pada lingkaran $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$:
$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$
3. Persamaan garis singgung melalui titik $M(x_1,\ y_1)$ pada lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$:
$x_1x + y_1y + \dfrac12A(x_1 + x) + \dfrac12B(y_1 + y) + C = 0$

Rumus Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

1. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan gradien $m$:
$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$
2. Persamaan garis singgung lingkaran $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ dengan gradien $m$:
$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$.
3. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ dengan gradien $m$:
$y + \dfrac12B = m(x + \dfrac12A) \pm r\sqrt{1 + m^2}$

Persamaan Garis Polar Pada Lingkaran



1. Jika titik $P(x_1,\ y_1)$ berada di luar lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah:
$x_1x + y_1y = r^2$.
2. Jika titik $P(x_1,\ y_1)$ berada di luar lingkaran $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah:
$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$.
3. Jika titik $P(x_1,\ y_1)$ berada di luar lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ maka persamaan garis polarnya adalah:
$x_1x + y_1y + \dfrac12A(x + x_1) + \dfrac12B(y + y_1) + C = 0$.

Kedudukan Dua Lingkaran

Jika dua buah lingkaran yaitu lingkaran $L_1$ dan lingkaran $L_2$ yang masing-masing berpusat di $A$ dan $B$ dan berjari-jari $R$ dan $r$ terletak pada suatu bidang, maka berdasarkan jarak $AB$ dan panjang jari-jari $R$ dan $r$, kedudukan kedua lingkaran dapat ditentukan sebagai berikut:
1. Jika $AB < R + r$, maka lingkaran $L_1$ berpotongan dengan lingkaran $L_2$ di dua titik yang berbeda.
2. Jika $AB = R + r$, maka lingkaran $L_1$ bersinggungan luar dengan lingkaran $L_2$.
3. Jika $AB = |R - r|$, maka lingkaran $L_1$ bersinggungan dalam dengan lingkaran $L_2$.
4. Jika $AB > R + r$, maka lingkaran $L_1$ tidak bersinggungan dan tidak berpotongan dengan lingkaran $L_2$.
5. Jika $AB < |R - r|$, maka lingkaran $L_1$ dan $L_2$ tidak berpotongan dan salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran yang lain.
6. Jika $AB = 0$ maka lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah sepusat (memiliki pusat yang sama).

$\bullet$ Jarak antara titik $(x_1,\ y_1)$ dengan garis $Ax + By + C = 0$
$r = \dfrac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$\bullet$ Jarak antara titik $(x_1,\ y_1)$ dan titik $(x_2,\ y_2)$
$r^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

$1.$ Persamaan lingkaran dengan pusat $(-1,\ 3)$ dan menyinggung sumbu $y$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 - 2x + 6y + 9 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 + 2x - 6y - 9 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 11 = 0$
[Soal Ebtanas 1995 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Perhatikan gambar !


Panjang jari-jari lingkaran adalah $1$.
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,\ b)$ dengan jari-jari $r$:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 1^2$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 1^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = 1$
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 = 0$
jawab: D.

$2.$ Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah adalah . . . .


$A.\ \sqrt{3}$
$B.\ 3$
$C.\ \sqrt{13}$
$D.\ 3\sqrt{3}$
$E.\ \sqrt{37}$
[Soal Ebtanas 1996 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Misalkan persamaan lingkaran adalah:
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Substitusikan titik $A,\ B,\ dan\ C$ ke dalam persamaan lingkaran !
$5^2 + 0^2 + A.5 + B.0 + C = 0$
$5A + C = -25$ . . . . (1)
$(-1)^2 + 0^2 - A + B.0 + C = 0$
$-A + C = -1$ . . . . (2)
$0^2 + 5^2 + A.0 + B.5 + C = 0$
$5B + C = -25$ . . . . (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) !
$5A + C = -25$
$-A + C = -1$
------------------------- $-$
$6A = -24$
$A = -4$
$C = -5$
Dengan memasukkan nilai $C = -5$ ke pers (3), didapat nilai $B = -4$. Sehingga persamaan lingkaran menjadi:
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$
$\begin{align}
R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\
&= \dfrac14(-4)^2 + \dfrac14(-4)^2 - (-5)\\
&= \dfrac14.16 + \dfrac14.16 + 5\\
&= 4 + 4 + 5\\
&= 13\\
R &= \sqrt{13}\\
\end{align}$
jawab: C.

$3.$ Persamaan garis singgung melalui titik $(9,\ 0)$ pada lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ adalah . . . .
$A.\ 2x + y\sqrt{5} = 18$ dan $2x - y\sqrt{5} = 18$
$B.\ 2x + y\sqrt{5} = 18$ dan $-2x - y\sqrt{5} = 18$
$C.\ 2x + y\sqrt{5} = -18$ dan $-2x - y\sqrt{5} = -18$
$D.\ x\sqrt{5} + 2y = 18$ dan $x\sqrt{5} - 2y = 18$
$E.\ x\sqrt{5} + 2y = -18$ dan $x\sqrt{5} - 2y = -18$
[Soal Ebtanas 1997 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Titik $(9,\ 0)$ berada di luar lingkaran. Misalkan gradien garis singgung adalah $m$, sehingga persamaan garis singgung adalah:
$y - 0 = m(x - 9)$
$y = mx - 9m$ . . . . *
Substitusi pers * ke dalam pers lingkaran !
$x^2 + (mx - 9m)^2 = 36$
$x^2 + m^2x^2 - 18m^2x + 81m^2 - 36 = 0$
$(1 + m^2)x^2 - 18m^2x + 81m^2 - 36 = 0$
$D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-18m^2)^2 - 4(1 + m^2)(81m^2 - 36) = 0$
$324m^4 - (324m^2 - 144 + 324m^4 - 144m^2) = 0$
$180m^2 - 144 = 0$
$5m^2 = 4$
$m = \pm \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Persamaan garis menjadi:
$y = \dfrac{2}{\sqrt{5}}x - 9.\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$y\sqrt{5} = 2x - 18$
$2x - y\sqrt{5} = 18$ . . . . I.

$y = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}x - 9.(-\dfrac{2}{\sqrt{5}})$
$y\sqrt{5} = -2x + 18$
$2x + y\sqrt{5} = 18$ . . . . II.
jawab: A.

$4.$ Diketahui lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 2y + C = 0$ melalui titik $A(5,\ -1)$. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan . . . .
$A.\ \sqrt{7}$
$B.\ 3$
$C.\ 4$
$D.\ 2\sqrt{6}$
$E.\ 9$
[Soal Ebtanas 1998 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Substitusikan titik $A(5,\ -1)$ ke dalam persamaan lingkaran !
$x^2 + y^2 - 4x + 2y + C = 0$
$5^2 + (-1)^2 - 4.5 + 2.(-1) + C = 0$
$25 + 1 - 20 - 2 + C = 0$
$C = -4$

Persamaan lingkaran menjadi:
$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$
$\begin{align}
R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\
&= \dfrac14.(-4)^2 + \dfrac14.2^2 - (-4)\\
&= 4 + 1 + 4\\
&= 9\\
R &= 3\\
\end{align}$
jawab: B.

$5.$ Diketahui lingkaran $x^2 + y^2 + 8x + 2py + 9 = 0$ mempunyai jari-jari $4$ dan menyinggung sumbu $Y$. Pusat lingkaran tersebut sama dengan . . . .
$A.\ (4,\ -6)$
$B.\ (-4,\ 6)$
$C.\ (-4,\ -6)$
$D.\ (-4,\ -3)$
$E.\ (4,\ 3)$
[Soal Ebtanas 1999 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$\begin{align}
R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\
4^2 &= \dfrac14.8^2 + \dfrac14.(2p)^2 - 9\\
16 &= 16 + p^2 - 9\\
p^2 &= 9\\
p &= 3\\
\end{align}$

Persamaan lingkaran menjadi:
$x^2 + y^2 + 8x + 6y + 9 = 0$
$\begin{align}
Pusat &= \left(-\dfrac12A,\ -\dfrac12B\right)\\
&= \left(-\dfrac12.8,\ -\dfrac12.6\right)\\
&= \left(-4,\ -3\right)
\end{align}$
jawab: D.

$6.$ Garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(-3,\ 4)$ menyinggung lingkaran dengan pusat $(10,\ 5)$ dan jari-jari $r$. Nilai $r =$ . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 5$
$C.\ 7$
$D.\ 9$
$E.\ 11$
[Soal Ebtanas 2000 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Periksa apakah titik $(-3,\ 4)$ terletak pada lingkaran:
$(-3)^2 + 4^2 = 25$
$25 = 25$
Berarti titik $(-3,\ 4)$ terletak pada lingkaran.
Persamaan garis singgung di titik $(x_1,\ y_1)$ yang terletak pada lingkaran dengan pusat $O(0,\ 0)$
$x_1x + y_1y = r^2$
$-3x + 4y = 25$
$3x - 4y + 25 = 0$
Persamaan garis $3x - 4y + 25 = 0$ merupakan garis singgung pada lingkaran dengan pusat $(10,\ 5)$. Jari-jari adalah jarak antara pusat lingkaran dengan garis singgung.
$\begin{align}
r &= \dfrac{|Ax + By + C |}{\sqrt{A^2 + B^2}}\\
&= \dfrac{|3.10 - 4.5 + 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\
&= \dfrac{35}{5}\\
&= 7.\\
\end{align}$
jawab: C.

$7.$ Salah satu persamaan garis singgung dari titik $(0,\ 0)$ pada lingkaran $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 - 5 = 0$ adalah . . . .
$A.\ x - y = 0$
$B.\ 11x + y = 0$
$C.\ 2x + 11y = 0$
$D.\ 11x - y = 0$
$E.\ 11x - 2y = 0$
[Soal Ebtanas 2001 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Garis singgung lingkaran melalui titik $(0,\ 0)$, misalkan gradiennya adalah $m$, sehingga persamaan garis singgungnya adalah $y = mx$. Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran !
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 - 5 = 0$
$(x - 3)^2 + (mx - 4)^2 - 5 = 0$
$x^2 - 6x + 9 + m^2x^2 - 8mx + 16 - 5 = 0$
$(1 + m^2)x^2 - (8m + 6)x + 20 = 0$
$D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-(8m + 6))^2 - 4.(1 + m^2).20 = 0$
$64m^2 + 96m + 36 - 80 - 80m^2 = 0$
$-16m^2 + 96m - 44 = 0$
$16m^2 - 96m + 44 = 0$
$4m^2 - 24m + 11 = 0$
$(2m - 11)(2m - 1) = 0$
$m = \dfrac{11}{2}\ atau\ m = \dfrac12$

Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran adalah:
$y = mx$
$y = \dfrac{11}{2}x$
$2y = 11x$
$11x - 2y = 0$ . . . . (I)

$y = \dfrac12x$
$2y = x$
$x - 2y = 0$ . . . . (II)
jawab: E.

$8.$ Titik $(a,\ b)$ adalah pusat lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$. Jadi $2a + b =$ . . . .
$A.\ 0$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ -1$
$E.\ -2$
[Soal Ebtanas 2002 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$\begin{align}
Pusat &= \left(-\dfrac12A,\ -\dfrac12B\right)\\
&= \left(-\dfrac12.(-2),\ -\dfrac12.4\right)\\
&= \left(1,\ -2\right)\\
2a + b &= 2.1 + (-2)\\
&= 0\\
\end{align}$
jawab: A.

$9.$ Salah satu garis singgung yang bersudut $120^o$ terhadap sumbu $x$ positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik $(7,\ 6)$ dan $(1,\ -2)$ adalah . . . .
$A.\ y = -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 12$
$B.\ y = -x\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 8$
$C.\ y = -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 4$
$D.\ y = -x\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 8$
$E.\ y = -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 22$
[Soal Ebtanas 2002 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Panjang diameter dan jari-jari lingkaran:
$\begin{align}
d^2 &= (7 - 1)^2 + (6 - (-2))^2\\
&= 6^2 + 8^2\\
&= 100\\
d &= 10\\
r &= 5\\
\end{align}$

Pusat lingkaran:
$\begin{align}
Pusat &= \left(\dfrac12(7 + 1),\ \dfrac12(6 - 2) \right)\\
&= (4,\ 2)\\
\end{align}$

Gradien garis singgung lingkaran:
$m = tan\ 60^o = -\sqrt{3}$
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a,\ b)$ dan jari-jari $r$ dengan gradien garis singgung $m$:
$\begin{align}
y - b &= m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}\\
y - 2 &= -\sqrt{3}(x - 4) \pm 5\sqrt{1 + (\sqrt{3})^2}\\
y - 2 &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \pm 5\sqrt{4}\\
y - 2 &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \pm 10\\
y &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 12 . . . . (I)\\
y &= -x\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 8 . . . . (II).\\
\end{align}$
jawab: A.

$10.$ Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ yang tegak lurus garis $5x - 12y + 15 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 12x + 5y - 41 = 0$ dan $12x + 5y + 37 = 0$
$B.\ 12x + 5y + 41 = 0$ dan $12x + 5y - 37 = 0$
$C.\ 5x + 12y + 41 = 0$ dan $5x + 12y + 37 = 0$
$D.\ 5x + 12y - 41 = 0$ dan $5x + 12y - 37 = 0$
$E.\ 12x - 5y - 41 = 0$ dan $12x - 5y + 37 = 0$
[Soal UAN 2004 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$5x - 12y + 15 = 0$
$m_1 = \dfrac{5}{12}$
Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah $m_2$
$m_1.m_2 = -1$
$\dfrac{5}{12}.m_2 = -1$
$m_2 = -\dfrac{12}{5}$

Pusat lingkaran:
$Pusat = (1,\ -2)$

Jari-jari lingkaran:
$\begin{align}
R^2 &= \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C\\
&= \dfrac14.(-2)^2 + \dfrac14.4^2 - (-4)\\
&= 1 + 4 + 4\\
&= 9\\
R &= 3\\
\end{align}$

Persamaan garis singgung lingkaran:
$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$
$y - (-2) = -\dfrac{12}{5}(x - 1) \pm 3\sqrt{1 + \left(\dfrac{12}{5}\right)^2}$
$y + 2 = -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{12}{5} \pm 3\sqrt{\dfrac{169}{25}}$
$y + 2 = -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{12}{5} \pm \dfrac{39}{5}$
$y + \dfrac{12}{5}x - \dfrac{2}{5} \pm \dfrac{39}{5} = 0$
$y + \dfrac{12}{5}x + \dfrac{37}{5} = 0$
$12x + 5y + 37 = 0$ . . . . (I)
$y + \dfrac{12}{5}x - \dfrac{41}{5} = 0$
$12x + 5y - 41 = 0$ . . . . (II)
jawab: A.

$11.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0$ pada titik $(7,\ 2)$ adalah . . . .
$A.\ 2x - 7y = 0$
$B.\ 4x + 7y - 38 = 0$
$C.\ 7x + 2y - 35 = 0$
$D.\ 4x + 3y - 35 = 0$
$E.\ 4x + 3y - 34 = 0$
[Soal UN 2005 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0$
$7^2 + 2^2 - 6.7 + 2.2 - 15 = 0$
$49 + 4 - 42 + 4 - 15 = 0$
$0 = 0$
Berarti titik $(7,\ 2)$ terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(x_1,\ y_1)$ yang terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$:
$x_1x + y_1y + \dfrac12A(x_1 + x) + \dfrac12B(y_1 + y) + C = 0$
$7x + 2y - \dfrac12.6(7 + x) + \dfrac12.2(2 + y) - 15 = 0$
$7x + 2y - 21 - 3x + 1 + y - 15 = 0$
$4x + 3y - 35 = 0$
jawab: D.

$12.$ Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $x - y - 2 = 0$ serta menyinggung sumbu $X$ positif dan sumbu $Y$ negatif adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - x - y - 1 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y - 1 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 1 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$
[Soal UN 2006 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Perhatikan gambar !


$Pusat = (1,\ -1)$
$r = 1$
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,\ b)$ dan jari-jari $r$:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 1$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$
jawab: E.

$13.$ Persamaan garis singgung melalui titik $A(-2,\ -1)$ pada lingkaran $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 13 = 0$ adalah . . . .
$A.\ -2x - y - 5 = 0$
$B.\ x - y + 1 = 0$
$C.\ x + 2y + 4 = 0$
$D.\ 3x - 2y + 4 = 0$
$E.\ 2x - y + 3 = 0$
[Soal UN 2008 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$x^2 + y^2 + 12x - 6y + 13 = 0$
$(-2)^2 + (-1)^2 + 12.(-2) - 6.(-1) + 13 = 0$
$4 + 1 - 24 + 6 + 13 = 0$
$0 = 0$
Berarti titik $(-2,\ -1)$ terletak pada lingkaran.
Persamaan garis singgung:
$x_1x + y_1y + \dfrac12A(x_1 + x) + \dfrac12B(y_1 + y) + C = 0$
$-2x + (-1)y + \dfrac12.12(-2 + x) + \dfrac12.(-6)(-1 + y) + 13 = 0$
$-2x - y - 12 + 6x + 3 - 3y + 13 = 0$
$4x - 4y + 4 = 0$
$x - y + 1 = 0$
jawab: B.

$14.$ Lingkaran $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$ memotong garis $y = 4$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah . . . .
$A.\ y = 8 - x$
$B.\ y = 0$ dan $y = 8$
$C.\ x = 0$ dan $x = 8$
$D.\ y = x + 8$ dan $y = x - 8$
$E.\ y = x - 8$ dan $y = 8 - x$
[Soal UN 2009 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Titik potong garis dengan lingkaran:
$(x - 4)^2 + (4 - 4)^2 = 16$
$(x - 4)^2 = 16$
$x - 4 = \pm 4$
$x = \pm 4 + 4$
$x = 0\ atau\ x = 8$
Titik potong/titik singgung lingaran:
$(0,\ 4)\ dan (8,\ 4)$

Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(0,\ 4)$
$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$
$(0 - 4)(x - 4) + (4 - 4)(y - 4) = 16$
$-4x + 16 = 16$
$x = 0$

Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(8,\ 4)$
$(8 - 4)(x - 4) + (4 - 4)(y - 4) = 16$
$4x - 16 = 16$
$4x = 32$
$x = 8$
jawab: C.

$15.$ Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 8$ yang sejajar dengan $y - 7x + 5 = 0$ adalah . . . .
$A.\ y - 7x - 13 = 0$
$B.\ y + 7x + 3 = 0$
$C.\ -y - 7x + 3 = 0$
$D.\ -y + 7x + 3 = 0$
$E.\ y - 7x + 3 = 0$
[Soal UN 2010 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Karena garis singgung sejajar dengan garis $y - 7x + 5 = 0$, maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis $y - 7x + 5 = 0$.
$m = 7$
$Pusat\ lingkaran = (4,\ 5)$
$r = \sqrt{8}$

Persamaan garis singgung:
$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$
$y - 5 = 7(x - 4) \pm \sqrt{8}\sqrt{1 + 7^2}$
$y - 5 = 7(x - 4) \pm \sqrt{8}\sqrt{50}$
$y - 5 = 7x - 28 \pm 20$
$y - 7x + 23 \pm 20 = 0$
$y - 7x + 43 = 0$ . . . . I
$y - 7x + 3 = 0$ . . . . II
jawab: E.

$16.$ Lingkaran $L = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah . . . .
$A.\ x = 2\ dan\ x = -4$
$B.\ x = 2\ dan\ x = -2$
$C.\ x = -2\ dan\ x = 4$
$D.\ x = -2\ dan\ x = -4$
$E.\ x = 8\ dan\ x = -10$
[Soal UN 2012 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Pusat lingkaran:
$Pusat = (-1,\ 3)$
$r = 3$
Karena di atas sudah ada soal yang mirip yang dikerjakan dengan cara analitis, maka kita bisa selesaikan soal yang ini dengan cara membuat sketsa. Perhatikan gambar !


Persamaan garis singgungnya adalah $x = -4$ dan $x = 2$.
jawab: A.

$17.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,\ 4)$ dan menyinggung garis $3x - 4y + 3 = 0$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 + 2x + 8y - 13 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 21 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 2x + 8y - 21 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 - 2x + 8y - 13 = 0$
[Soal UN 2015 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$\begin{align}
r &= \dfrac{|3.1 - 4.4 + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\
&= \dfrac{|-10|}{5}\\
&= \dfrac{10}{2}\\
&= 2\\
\end{align}$

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a,\ b)$ dan jari-jari $r$:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 2^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 4$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$
jawab: A.

$18.$ Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 15 = 0$ yang sejajar garis $2x + y + 3 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2x + y + 10 = 0$
$B.\ 2x + y + 6 = 0$
$C.\ 2x + y + 4 = 0$
$D.\ 2x + y - 6 = 0$
$E.\ 2x + y - 8 = 0$
[Soal UN 2016 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat = (-1,\ 2)$
$\begin{align}
r^2 &= \dfrac14.2^2 + \dfrac14.(-4)^2 - (-15)\\
&= 1 + 4 + 15\\
&= 20\\
r &= \sqrt{20}\\
\end{align}$
Garis singgung sejajar dengan garis $2x + y + 3 = 0$, berarti gradien garis singgung sama dengan gradien garis $2x + y + 3 = 0$.
$m = -2$

Persamaan garis singgung lingkaran:
$y - 2 = -2(x + 1) \pm \sqrt{20}\sqrt{1 + (-2)^2}$
$y - 2 = -2x - 2 \pm 10$
$y + 2x \pm 10 = 0$
$y + 2x + 10 = 0$ . . . . (I)
$y + 2x - 10 = 0$ . . . . (II)
jawab: A.

$19.$ Persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(2,\ -3)$ dan menyinggung garis $x = 5$, adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$
[Soal UNBK 2017 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Jarak titik $(2,\ -3)$ dengan garis $x - 5 = 0$:
$r = \dfrac{|1.2 - 5|}{\sqrt{1^2}}$
$r = 3$

Persamaan lingkaran:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$
jawab: C.

$20.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(3, -1)$ dan melalui titik $A(5,\ 2)$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 + 6x - 2y - 55 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 + 6x - 2y - 31 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 21 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 23 = 0$
[Soal UNBK 2018 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Jarak antara dua titik $(x_1,\ y_1)$ dan $(x_2,\ y_2)$:
$\begin{align}
r^2 &= (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\\
&= (5 - 3)^2 + (2 - (-1))^2\\
&= 2^2 + 3^2\\
&= 13\\
\end{align}$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a,\ b)$ dan jari-jari $r$:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = 13$
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 13$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0$
jawab: C.

$21.$ Persamaan lingkaran dengan pusat $(2,\ 3)$ dan menyinggung garis $y = 2x$ adalah . . . .
$A.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 12 = 0$
$B.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 49 = 0$
$C.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 54 = 0$
$D.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 60 = 0$
$E.\ 5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 64 = 0$
[Soal SNMPTN Matematika IPA 2011]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Jarak titik $(2,\ 3)$ dengan garis $2x - y = 0$:
$\begin{align}
r &= \dfrac{|2.2 - 1.3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}\\
&= \dfrac{|1|}{\sqrt{5}}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{5}}\\
\end{align}$

Persamaan lingkaran:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = \dfrac15$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = \dfrac15$
$5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 65 = 1$
$5x^2 + 5y^2 - 20x - 30y + 64 = 0$
jawab: E.

$22.$ Lingkaran $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$ memotong sumbu-x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka $cos\ \angle APB =$ . . . .
$A.\ \dfrac{7}{25}$
$B.\ \dfrac{8}{25}$
$C.\ \dfrac{12}{25}$
$D.\ \dfrac{16}{25}$
$E.\ \dfrac{18}{25}$
[Soal SNMPTN 2012 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat = (3,\ 4)$
$R = 5$

Perhatikan gambar !


$sin\ APC = \dfrac35$
$cos\ APC = \dfrac45$

$cos\ APB = cos\ (APC + APC)$
$= cos^2\ APC - sin^2\ APC$
$= \left(\dfrac45\right)^2 - \left(\dfrac35\right)^2$
$= \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25}$
$= \dfrac{7}{25}$
jawab: A.

$23.$ Lingkaran $(x + 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$ menyinggung garis $y = 4$ di titik . . . .
$A.\ (-6,\ 4)$
$B.\ (6,\ 4)$
$C.\ (-1,\ 4)$
$D.\ (1,\ 4)$
$E.\ (5,\ 4)$
[Soal SNMPTN Matematika IPA 2012]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Substitusikan $y = 4$ ke dalam persamaan lingkaran !
$(x + 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$
$(x + 6)^2 + (4 + 1)^2 = 25$
$(x + 6)^2 = 0$
$x + 6 = 0$
$x = -6$
$Titik\ singgung\ = (-6,\ 4)$
jawab: A.

$24.$ Persamaan lingkaran dengan pusat $(-1,\ 1)$ dan menyinggung garis $3x - 4y + 12 = 0$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y - 7 = 0$
$C.\ 4x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 17 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$
$E.\ 4x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 1 = 0$
[Soal SBMPTN Matematika IPA 2013]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Jarak antara titik $(-1,\ 1)$ dengan garis $3x - 4y + 12 = 0$:
$\begin{align}
r &= \dfrac{|3.(-1) - 4.1 + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\\
&= \dfrac{|5|}{\sqrt{25}}\\
&= \dfrac55\\
&= 1\\
\end{align}$

Persamaan lingkaran:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 1$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$
jawab: A.

$25.$ Jika lingkaran $x^2 + y^2 - 2ax + b = 0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x - y = 0$, maka nilai $a^2 + b$ adalah . . . .
$A.\ 12$
$B.\ 8$
$C.\ 4$
$D.\ 2$
$E.\ 0$
[Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat\ lingkaran = (a,\ 0)$
Jarak titik $(a,\ 0)$ dengan garis $x - y = 0$
$r = \dfrac{|a - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$2 = \dfrac{|a|}{\sqrt{2}}$
$|a| = 2\sqrt{2}$
$a = \pm 2\sqrt{2}$

Persamaan lingkaran menjadi:
$x^2 + y^2 \pm 4\sqrt{2}x + b = 0$
$r^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$
$2^2 = \dfrac14.(\pm 4\sqrt{2})^2 - b$
$4 = 8 - b$
$b = 4$
$\begin{align}
a^2 + b &= (2\sqrt{2})^2 - 4\\
&= 8 - 4\\
&= 4\\
\end{align}$
jawab: C.

$26.$ Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,\ 1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,\ B,\ C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k =$ . . . .
$A.\ -1$
$B.\ 0$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
[Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat\ lingkaran = (3, 1)$
Perhatikan gambar !


$AP = r$
$PC = 5$
$AC = \sqrt{25 - r^2}$
$\begin{align}
Luas\ ACBP &= 2.\dfrac12.AP.AC\\
12 &= r.\sqrt{25 - r^2}\\
144 &= r^2(25 - r^2)\\
144 &= 25r^2 - r^4\\
\end{align}$
$r^4 - 25r^2 + 144 = 0$
$(r^2 - 9)(r^2 - 16) = 0$
$r^2 = 9\ atau\ r^2 = 16$

$r^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$
$9 = \dfrac14.(-6)^2 + \dfrac14.(-2)^2 - k$
$9 = 9 + 1 - k$
$k = 1$ . . . . (I)

$r^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$
$16 = \dfrac14.(-6)^2 + \dfrac14.(-2)^2 - k$
$16 = 9 + 1 - k$
$k = -6$ . . . . (II)
jawab: A.

$27.$ Syarat agar garis $ax + y = 0$ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,\ 3)$ dan jari-jari $1$ adalah $a =$ . . . .
$A.\ \dfrac32$
$B.\ \dfrac43$
$C.\ \dfrac34$
$D.\ \dfrac23$
$E.\ \dfrac14$
[Soal UM UGM Matematika IPA 2010]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$r = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$1 = \dfrac{|a.(-1) + 1.3 + 0|}{\sqrt{a^2 + 1^2}}$
$1 = \dfrac{|3 - a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$
$|3 - a| = \sqrt{a^2 + 1}$
$(3 - a)^2 = a^2 + 1$
$a^2 - 6a + 9 = a^2 + 1$
$6a = 8$
$a = \dfrac43$
jawab: B.

$28.$ Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis $y = 2$ di $(3,\ 2)$ dan menyinggung garis $y = -x\sqrt{3} + 2$ adalah . . . .
$A.\ (3,\ \sqrt{3})$
$B.\ (3,\ 3\sqrt{3})$
$C.\ (3,\ 2 + \sqrt{3})$
$D.\ (3,\ 2 + 2\sqrt{3})$
$E.\ (3,\ 2 + 3\sqrt{3})$
[Soal UM UGM Matematika IPA 2013]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Perhatikan gambar !


$AP = r = 2 - b$ . . . . (1)
Jarak titik $P$ dengan garis $x\sqrt{3} + y - 2 = 0$:
$BP = r = \dfrac{|3\sqrt{3} + b - 2|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}}$
$= \dfrac{|3\sqrt{3} + b - 2|}{2}$ . . . . (2)
Dari persamaan (1) dan pers (2)
$2 - b = \dfrac{|3\sqrt{3} + b - 2|}{2}$
$4 - 2b = |3\sqrt{3} + b - 2|$
$4 - 2b = 3\sqrt{3} + b - 2$
$3b = 6 - 3\sqrt{3}$
$b = 2 - \sqrt{3}$ . . . . (1)

$-(4 - 2b) = 3\sqrt{3} + b - 2$
$-4 + 2b = 3\sqrt{3} + b - 2$
$b = 2 + 3\sqrt{3}$ . . . . (2)
jawab: E.

$29.$ Jika garis $y = mx + k$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 - 10x + 6y + 24 = 0$ di titik $(8,\ -4)$, maka nilai $m + k$ adalah . . . .
$A.\ -26$
$B.\ -25$
$C.\ -24$
$D.\ -23$
$E.\ -22$
[Soal UM UGM Matematika IPA 2014]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat\ lingkaran = (5,\ -3)$
Gradien garis yang melalui titik $(5,\ -3)$ dan $(8,\ -4)$:
$m_1 = \dfrac{-4 - (-3)}{8 - 5} = -\dfrac{1}{3}$
Misalkan gradien garis singgung adalah $m_2$. Karena garis singgung selalu tegak lurus dengan garis yang ditarik dari titik pusat ke titik singgung, maka:
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac13.m_2 = -1$
$m_2 = 3$

Persamaan garis singgung:
$y - (-4) = 3(x - 8)$
$y + 4 = 3x - 24$
$y = 3x - 28$
$m = 3$
$k = -28$
$m + k = 3 + (-28) = -25$
jawab: B.

$30.$ Diketahui titik $(1,\ p)$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 - 2y = 0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,\ p)$ dan menyinggung garis $px + y = 4$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 1 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$
$D.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 1 = 0$
[Soal UM UGM 2016 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Karena titik $(1,\ p)$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 - 2y = 0$, maka:
$1^2 + p^2 - 2p = 0$
$p^2 - 2p + 1 = 0$
$(p - 1)^2 = 0$
$p - 1 = 0$
$p = 1$

Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,\ 1)$ dan menyinggung garis $x + y - 4 = 0$:
$\begin{align}
r &= \dfrac{|1 + 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\
&= \dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}\\
&= \dfrac{2}{\sqrt{2}}\\
\end{align}$
Persamaan lingkaran:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{2}}\right)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$
jawab: C.

$31.$ Titik pusat lingkaran L terletak di kuadran I dan terletak pada garis $y = 2x + 1$. Jika lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik $(0,\ 11)$, maka persamaan lingkaran L adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 - 5x - 11y = 0$
$B.\ x^2 + y^2 + 5x + 11y - 242 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 - 5x + 11y = 0$
$E.\ x^2 + y^2 + 10x + 22y - 363 = 0$
[Soal UM UGM Matematika IPA 2017]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Karena lingkaraan L menyinggung sumbu Y di titik $(0,\ 11)$, berarti titik pusat lingkaran terletak pada garis $y = 11$. Karena titik pusat lingkaran terletak pada garis $y = 2x + 1$, maka:
$11 = 2x + 1$
$2x = 10$
$x = 5$
Dengan demikian, titik pusat lingkaran adalah $(5,\ 11)$ dan jari-jari lingkaran adalah $5$.


Persamaan lingkaran:
$(x - 5)^2 + (y - 11)^2 = 5^2$
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121 = 25$
$x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0$
jawab: C.

$32.$ Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-X di $(1,\ 0)$ dan $(3,\ 0)$. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-Y, maka titik singgung yang mungkin adalah . . . .
$A.\ (0,\ 1)$
$B.\ (0,\ 2)$
$C.\ (0,\ \sqrt{3})$
$D.\ (0,\ \sqrt{5})$
$E.\ (0,\ 3)$
[Soal UM UGM Matematika IPA 2018]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Karena lingkaran memotong sumbu-X di titik $(1,\ 0)$ dan $(3,\ 0)$, berarti pusat lingkaran terletak pada garis $x = 2$. Jika lingkaran menyinggung sumbu-Y, maka panjang jari-jari adalah $2$.


Lingkaran menyinggung sumbu-Y di titik $(0,\ \sqrt{3})$
jawab: C.

$33.$ Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $L_1:\ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ dan $L_2:\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$ serta berpusat di garis $g:\ x - 2y = 5$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$
[Soal UM UGM Matematika IPA 2017]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat\ L_1 = (1,\ 1)$
$Pusat\ L_2 = (-1,\ 3)$
Karena lingkaran ketiga $(L_3)$ melalui titik potong lingkaran $L_1$ dan lingkaran $L_2$, berarti ketiga lingkaran memiliki tali busur persekutuan yang sama dan pusat lingkaran $L_1,\ L_2,\ dan\ L_3$ terletak pada satu garis lurus. Persamaan garis yang melalui pusat lingkaran $L_1\ dan\ L_2$.
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 1}{3 - 1} = \dfrac{x - 1}{-1 - 1}$
$\dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{x - 1}{-2}$
$y - 1 = -x + 1$
$x + y = 2$
Karena pusat lingkaran $L_3$ terletak pada garis $x - 2y = 5$, berarti pusat lingkaran $L_3$ terletak pada titik potong garis $x + y = 2$ dan $x - 2y = 5$.
Eliminasi kedua persamaan garis !
$x + y = 2$
$x - 2y = 5$
---------------- $-$
$3y = -3$
$y = -1$
$x = 3$
$Pusat\ L_3 = (3,\ -1)$

Eliminasi persamaan lingkaran $L_1\ dan\ L_2$ untuk mendapatkan persamaan tali busur lingkaran.
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$
--------------------------------------------- $-$
$4x - 4y + 8 = 0$
$x - y + 2 = 0$
$y = x + 2$
Substitusi persamaan garis $y = x + 2$ ke dalam salah satu persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik potong lingkaran $L_1,\ L_2,\ dan\ L_3$.
$x^2 + (x + 2)^2 - 2x - 2(x + 2) - 2 = 0$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 - 2x - 2x - 4 - 2 = 0$
$2x^2 - 2 = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x = -1\ atau\ x = 1$
$y = 1\ atau\ y = 3$
Titik potong $L_1,\ L_2,\ dan\ L_3$:
$(-1,\ 1)\ dan\ (1,\ 3)$
Jar-jari lingkaran $L_3$ adalah jarak antara titik pusat lingkaran $L_3$ dengan salah satu titik potong ketiga lingkaran. Jarak antara titik $(3,\ -1)\ dengan\ (1,\ 3)$.
$r^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
$= (3 - 1)^2 + (-1 - 3)^2$
$= 2^2 + (-4)^2$
$= 20$
Persamaan lingkaran $L_3$:
$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = 20$
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 20$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 20$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0$
jawab: B.

$34.$ Persamaan garis $l$ yang menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 = 8$ pada titik $x = 2$ dan memiliki gradien positif adalah . . . .
$A.\ y = x - 4$
$B.\ y = x + 4$
$C.\ y = 2x + 4$
$D.\ y = x - 8$
$E.\ y = x + 8$
[Soal SIMAK UI Matematika Dasar 2010]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$r^2 = 8$
Substitusikan titik $x = 2$ ke dalam persamaan lingkaran.
$2^2 + y^2 = 8$
$4 + y^2 = 8$
$y^2 = 4$
$y_1 = -2$
$y_2 = 2$
Titik singgung lingkaran:
$(2,\ -2)\ dan\ (2,\ 2)$
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(2,\ -2)$:
$x_1x + y_y = r^2$
$2x + (-2)y = 8$
$2x - 2y = 8$
$y = x - 4 → m = 1$

Persamaan garis singgung yang melalui titik $(2,\ 2)$:
$2x + 2y = 8$
$x + y = 4$
$y = -x + 4 → m = -1$
jawab: A.

$35.$ Jika lingkaran $x^2 + y^2 - 2ax + b = 0$ berjari-jari $2$ menyinggung garis $x - y = 0$, maka jumlah kuadrat semua nilai $a$ yang mungkin adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 8$
$C.\ 12$
$D.\ 16$
$E.\ 18$
[Soal SIMAK UI Matematika IPA 2017]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Pusat\ lingkaran = (a,\ 0)$
jarak titik $(a,\ 0)$ dengan garis $x - y = 0$
$\begin{align}
r &= \dfrac{|1.a - 1.0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\\
2 &= \dfrac{|a|}{\sqrt{2}}\\
|a| &= 2\sqrt{2}\\
a &= 2\sqrt{2}\ atau\ a = -2\sqrt{2}\\
\end{align}$
$(2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2 = 4.2 + 4.2 = 16$
jawab: D.

$36.$ Nilai $p$ yang memenuhi agar lingkaran $x^2 + y^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$ bersinggungan dengan garis $y = x$ adalah . . . .
$A.\ -2\ atau\ 2$
$B.\ -3\ atau\ 3$
$C.\ -\sqrt{2}\ atau\ \sqrt{2}$
$D.\ -2\sqrt{2}\ atau\ 2\sqrt{2}$
$E.\ -4\ atau\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Substitusikan persamaan garis $y = x$ ke dalam persamaan lingkaran:
$x^2 + x^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$
$2x^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$
$D = 0$
$(-2p)^2 - 4.2.(p^2 - 4) = 0$
$4p^2 - 8p^2 + 32 = 0$
$4p^2 = 32$
$p^2 = 8$
$p = \pm \sqrt{8}$
$p = \pm 2\sqrt{2}$
jawab: D.

$37.$ Lingkaran yang menyinggung garis $x + y = 3$ di titik $(1,\ 2)$ dan melalui titik $(3,\ 6)$ mempunyai jari-jari . . . .
$A.\ 5\sqrt{3}$
$B.\ 5\sqrt{2}$
$C.\ \dfrac53\sqrt{6}$
$D.\ \dfrac53\sqrt{3}$
$E.\ \dfrac53\sqrt{2}$
[Soal Sipenmaru 1999 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Karena lingkaran menyinggung garis $x + y = 3$ di titik $(1,\ 2)$, berarti diameter lingkaran melalui titik $(1,\ 2)$ dan tegak lurus garis $x + y = 3$. Persamaan garis diameter lingkaran:
$y - 2 = -1(x - 1)$
$y - 2 = -x + 1$
$y = - x + 3$

Misalkan koordinat pusat lingkaran adalah $(a,\ b)$, maka:
$b = -a + 3$ . . . . *

Jari-jari adalah jarak antara titik $(a,\ b)$ dengan titik $(1,\ 2)$ dan sama dengan jarak antara titik $(a,\ b)$ dengan titik $(3,\ 6)$.
$(a - 1)^2 + (b - 2)^2 = (a - 3)^2 + (b - 6)^2$
$a^2 - 2a + 1 + b^2 - 4b + 4 = a^2 - 6a + 9 + b^2 - 12b + 36$
$4a + 8b = 40$
$a + 2b = 10$ . . . . **

Dari persamaan * dan **
$a + 2(-a + 3) = 10$
$a = -4$
$b = 7$

$\begin{align}
r^2 &= (-4 - 1)^2 + (7 - 2)^2\\
&= 25 + 25\\
&= 50\\
r &= 5\sqrt{2}\\
\end{align}$
jawab: B.

$38.$ Diketahui lingkaran $L_1 \equiv x^2 + y^2 - 10x + 2y + 17 = 0$ dan lingkaran $L_2 \equiv x^2 + y^2 + 8x - 22y - 7 = 0$. Hubungan antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah . . . .
A. tidak berpotongan
B. bersinggungan dalam
C. bersinggungan luar
D. berpotongan di dua titik
E. mempunyai jari-jari yang sama
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$Lingkaran L_1:$
$Pusat = (5,\ -1)$
$\begin{align}
r_1^2 &= \dfrac14.(-10)^2 + \dfrac14.2^2\\
&= 26\\
r_1 &= \sqrt{26}\\
\end{align}$

$Lingkaran L_2:$
$Pusat = (-4,\ 11)$
$\begin{align}
r_2^2 &= \dfrac14.8^2 + \dfrac14.(-22)^2\\
&= 16 + 121\\
r_2 &= \sqrt{137}\\
\end{align}$

Jarak antara pusat lingkaran $L_1$ dengan lingkaran $L_2$:
$\begin{align}
L_1L_2 &= \sqrt{(5 + 4)^2 + (-1 - 11)^2}\\
&= \sqrt{9^2 + (-12)^2}\\
&= \sqrt{81 + 144}\\
&= \sqrt{225}\\
&= 15\\
\end{align}$

$L_1L_2 < r_1 + r_2$, dengan demikian lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik yang berbeda.
jawab: D.

$39.$ Jarak terdekat antara titik $(-7,\ 2)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 - 10x - 14y - 151 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 3$
$C.\ 4$
$D.\ 8$
$E.\ 13$
[Soal proyek perintis 1981 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
$x^2 + y^2 - 10x - 14y - 151 = 0$
$Pusat = (5,\ 7)$
$\begin{align}
R^2 &= \dfrac14.(-10)^2 + \dfrac14.(-14)^2 - (151)\\
&= 25 + 49 + 151\\
&= 225\\
R &= \sqrt{225}\\
&= 15\\
\end{align}$

Jarak antara titik $(-7,\ 2)$ dengan pusat lingkaran $(5,\ 7)$.
$\begin{align}
d &= \sqrt{(-7 - 5)^2 + (2 - 7)^2}\\
&= \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2}\\
&= \sqrt{169}\\
&= 13\\
\end{align}$
$\begin{align}
Jarak\ terdekat &= |R - d|\\
&= |15 - 13|\\
&= 2\\
\end{align}$
jawab: A.

$40.$ Diketahui persamaan lingkaran $C_1$ dan $C_2$ berturut-turut adalah $x^2 + y^2 = 25$ dan $(x - a)^2 + y^2 = r^2$. Lingkaran $C_1$ dan $C_2$ bersinggungan di titik $(5,\ 0)$. Jika garis $l$ adalah garis singgung lingkaran $C_1$ di titik $(3,\ -4)$ yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran $C_2$ di titik $(m,\ n)$, nilai $m + n = $ . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 6$
$C.\ 7$
$D.\ 8$
$E.\ 9$
[Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019]
[Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran]
Lingkaran $C_1$ pusat $(0,\ 0)$ dan jari-jari $5$. Lingkaran $C_2$ pusat $(a,\ 0)$ dan jari-jari $r$.
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(3,\ -4)$ pada lingkaran $C_1$:
$x_1x + y_1y = R^2$
$3x - 4y = 25$


Persamaan garis singgung melalui titik $(m,\ n)$ yang terletak pada lingkaran $C_2$, dengan demikian:
$3m - 4n = 25$
Dengan melihat gambar dan opsi yang ada, kita bisa kira-kira bahwa $m = 7$ dan $n = -1$.
$m + n = 7 + (-1) = 6$
jawab: B.

Demikianlah soal dan pembahasan persamaan lingkaran, semoga bermanfaat. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST
www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.