MARETONG: Soal dan Pembahasan SIMAK UI Matematika IPA 2019

Friday, September 06, 2019

Soal dan Pembahasan SIMAK UI Matematika IPA 2019

Soal dan Pembahasan Simak UI Matematika IPA 2019 adalah topik yang akan kita ulas kali ini. SIMAK UI matematika IPA 2019 diujikan pada tanggal 21 Juli 2019. Lihat dan pelajari soal dan pembahasannya dibawah ini.

Download atau lihat naskah asli soal SIMAK UI 2019 kemampuan IPA DISINI.

Soal dan Pembahasan SIMAK UI Matematika IPA 2019

Nomor 1: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Diketahui persamaan lingkaran $C_1$ dan $C_2$ berturut-turut adalah $x^2 + y^2 = 25$ dan $(x - a)^2 + y^2 = r^2$. Lingkaran $C_1$ dan $C_2$ bersinggungan di titik $(5,\ 0)$. Jika garis $l$ adalah garis singgung lingkaran $C_1$ di titik $(3,\ -4)$ yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran $C_2$ di titik $(m,\ n)$, nilai $m + n = $ . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 6$
$C.\ 7$
$D.\ 8$
$E.\ 9$
Lingkaran $C_1$ pusat $(0,\ 0)$ dan jari-jari $5$. Lingkaran $C_2$ pusat $(a,\ 0)$ dan jari-jari $r$.
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(3,\ -4)$ pada lingkaran $C_1$:
$x_1x + y_1y = R^2$
$3x - 4y = 25$


Persamaan garis singgung melalui titik $(m,\ n)$ yang terletak pada lingkaran $C_2$, dengan demikian:
$3m - 4n = 25$
Dengan melihat gambar dan opsi yang ada, kita bisa kira-kira bahwa $m = 7$ dan $n = -1$.
$m + n = 7 + (-1) = 6$
jawab: B.
Klik Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran untuk belajar tentang lingkaran.

Nomor 2: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x) = (2 - a)x^2 + (a + \sqrt{2})x + a + \sqrt{2}$ selalu berada di atas sumbu $x$ untuk $m < a < n$, nilai $m - 5n =$ . . . .
$A.\ -8$
$B.\ -6$
$C.\ -4$
$D.\ 0$
$E.\ 2$
Kurva $y = px^2 + qx + r$ berada di atas sumbu $x$ jika:
$p > 0$
$q^2 - 4pr < 0$
Grafik fungsi berada di atas sumbu $x$ jika:
# $2 - a > 0$
$2 > a$
$a < 2$ . . . . *

# $(a + \sqrt{2})^2 - 4(2 - a)(a + \sqrt{2}) < 0$
$a^2 + 2a\sqrt{2} + 2 - 4(2a + 2\sqrt{2} - a^2 - a\sqrt{2}) < 0$
$a^2 + 2a\sqrt{2} + 2 - 8a - 8\sqrt{2} + 4a^2 + 4a\sqrt{2}) < 0$
$5a^2 + 6a\sqrt{2} - 8a + 2 - 8\sqrt{2} < 0$
$5a^2 + (6\sqrt{2} - 8)a + 2 - 8\sqrt{2} < 0$
Untuk mempermudah, kita cari nilai $a$ pembuat nol dengan rumus ABC !
$a_{1,2} = \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm \sqrt{(6\sqrt{2} - 8)^2 - 4.5(2 - 8\sqrt{2})}}{2.5}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm \sqrt{72 - 96\sqrt{2} + 64 - 40 + 160\sqrt{2}}}{2.5}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm \sqrt{96 + 64\sqrt{2}}}{10}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm \sqrt{16(6 + 4\sqrt{2})}}{10}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm 4\sqrt{(6 + 4\sqrt{2})}}{10}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm 4\sqrt{(6 + 2\sqrt{8})}}{10}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm 4\sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{4})^2}}{10}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm 4(\sqrt{2} + 2)}{10}$
$= \dfrac{8 - 6\sqrt{2} \pm (4\sqrt{2} + 8)}{10}$
$a_1 = \dfrac{8 - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 8}{10}$
$= \dfrac{16 - 2\sqrt{2}}{10}$
$= \dfrac{8 - \sqrt{2}}{5}$
$a_2 = \dfrac{8 - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 8}{10}$
$= -\dfrac{10\sqrt{2}}{10}$ $= -\sqrt{2}$
$5a^2 + (6\sqrt{2} - 8)a + 2 - 8\sqrt{2} < 0$
$\left(a + \sqrt{2}\right)\left(a - \left(\dfrac{8 - \sqrt{2}}{5}\right)\right) < 0$
$-\sqrt{2} < a < \dfrac{8 - \sqrt{2}}{5}$ . . . . **
$* \cap ** → -\sqrt{2} < a < \dfrac{8 - \sqrt{2}}{5}$
$m = -\sqrt{2}$
$n = \dfrac{8 - \sqrt{2}}{5}$
$m - 5n = -\sqrt{2} - 5.\dfrac{(8 - \sqrt{2})}{5}$
$= -\sqrt{2} - 8 + \sqrt{2}$
$= -8$
jawab: A.
Klik Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat untuk mempelajari Fungsi Kuadrat.
Klik Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat untuk mempelajari persamaan kuadrat.
Klik Pertidaksamaan untuk mempelajari pertidaksamaan.

Nomor 3: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika $(x_1,\ y_1)$ dan $(x_2,\ y_2)$ merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:
$\left\{\begin{matrix}4x^2 + 15y + 3 = 9xy + 2y^2 + 8x \\ 2x = 1 + 5y \end{matrix}\right.$
Nilai $2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 =$ . . . .
$A.\ -7$
$B.\ -6$
$C.\ -5$
$D.\ -4$
$E.\ -3$
$2x = 1 + 5y$
$x = \dfrac{1 + 5y}{2}$ . . . . *

$4x^2 + 15y + 3 = 9xy + 2y^2 + 8x$ . . . . **
Masukkan pers * ke pers **
$4.\left(\dfrac{1 + 5y}{2}\right)^2 + 15y + 3 = 9\left(\dfrac{1 + 5y}{2}\right)y\ + $
$ 2y^2 + 8\left(\dfrac{1 + 5y}{2}\right)$
$25y^2 + 25y + 4 = \dfrac{45y^2 + 9y}{2} + 2y^2 + 20y + 4$
$50y^2 + 50y + 8 = 45y^2 + 9y + 4y^2 + 40y + 8$
$y^2 + y = 0$
$y(y + 1) = 0$
$y_1 = 0 → x_1 = \dfrac12$
$y_2 = -1 → x_2 = -2$
$2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = 2.\dfrac12 + 0 + 2.(-2) + (-1)$
$= -4$
jawab: D.

Nomor 4: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Misalkan suku banyak $f(x)$ habis dibagi $x - 9$ dan $f(x)$ dibagi $x - 16$ bersisa 2. Jika sisa pembagian $f(x^2)$ oleh $x^2 - x - 12$ adalah $S(x)$, maka $S(1) =$ . . . .
$A.\ -\dfrac87$
$B.\ -\dfrac47$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac47$
$E.\ \dfrac87$
Misalkan:
$f(x) = (x - 9)(x - 16)H(x) + ax + b$
$f(9) = 9a + b = 0$
$f(16) = 16a + b = 2$
$......................\ -$
$7a = 2$
$a = \dfrac27$
$b = -\dfrac{18}{7}$
$f(x) = (x - 9)(x - 16).H(x) + \dfrac27x - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = (x^2 - 9)(x^2 - 16).H(x^2) + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = (x + 3)(x - 3)(x + 4)(x - 4).H(x^2) + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = (x + 3)(x - 4)(x - 3)(x + 4).H(x^2) + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) = \underbrace{(x^2 - x - 12)(x - 3)(x + 4).H(x^2)}_{habis\ dibagi\ x^2 - x - 12} + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$
$f(x^2) : (x^2 - x - 12) = (\dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}) : (x^2 - x - 12)$


$S(x) = \dfrac27x + \dfrac67$
$S(1) = \dfrac27.1 + \dfrac67 = \dfrac87$
jawab: E.
Klik Pembahasan Soal UNBK & SBMPTN Suku Banyak untuk mempelajarinya.

Nomor 5: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Penyelesaian dari pertidaksamaan $^8log\left(^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right)\right) > 0$ adalah . . . .
$A.\ x > 3$
$B.\ x < 0\ atau\ 2 < x < 3$
$C.\ x < 0\ atau x > 3$
$D.\ 0 < x < 3$
$E.\ x < 0$
$^8log\left(^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right)\right) > 0$

Syarat Numerus:
# $\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} > 0$
$\dfrac{(x - 3)}{x(x - 2)} > 0$
$x(x - 2)(x - 3) > 0$
$0 < x < 2\ atau\ x > 3$ . . . . *

# $^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right) > 0$
$^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right) >\ ^{\frac12}log\ 1$
$\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} < 1$
$\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} - 1 < 0$
$\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} - \dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x} < 0$
$\dfrac{x - 3 - x^2 + 2x}{x^2 - 2x} < 0$
$\dfrac{-x^2 + 3x - 3}{x^2 - 2x} < 0$
$\dfrac{x^2 - 3x + 3}{x^2 - 2x} > 0$

$x^2 - 3x + 3 ← definit\ positif$
$\dfrac{1}{x(x - 2)} > 0$
$x(x - 2) > 0$
$x < 0\ atau\ x > 2$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
$^8log\left(^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right)\right) > 0$
$^8log\left(^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right)\right) >\ ^8log\ 1$
$\left(^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right)\right) > 1$
$^{\frac12}log \left(\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} \right) >\ ^{\frac12}log\ \frac12$
$\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} < \frac12$
$\dfrac{x - 3}{x^2 - 2x} - \frac12 < 0$
$\dfrac{2(x - 3) - (x^2 - 2x)}{2x^2 - 4x} < 0$
$\dfrac{-x^2 + 4x - 6}{2x^2 - 4x} < 0$
$\dfrac{x^2 - 4x + 6}{2x^2 - 4x} > 0$
$x^2 - 4x + 6 ← definit\ positif$
$\dfrac{1}{2x^2 - 4x} > 0$
$2x^2 - 4x > 0$
$x^2 - 2x > 0$
$x(x - 2) > 0$
$x < 0\ atau\ x > 2$ . . . . ***

$* \cap ** \cap *** → x > 3$
jawab: A.
Klik Pembahasan Soal UNBK dan SBMPTN Logaritma untuk mempelajarinya.

Nomor 6: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Diberikan deret geometri
$1 - (a + 3) + (a + 3)^2 - (a + 3)^3 + . . . = 2a + 9$, dengan $-4 < a < -2$. Jika $a,\ -7,\ b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a + b =$ . . . .
$A.\ 7$
$B.\ 0$
$C.\ -7$
$D.\ -14$
$E.\ -21$
Deret geometri tak hingga:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
2a + 9 &= \dfrac{1}{1 - (-(a + 3))}\\
2a + 9 &= \dfrac{1}{a + 4}\\
\end{align}$
$\begin{align}
(2a + 9)(a + 4) &= 1\\
2a^2 + 17a + 35 &= 0\\
(a + 5)(2a + 7) &= 0\\
\end{align}$
$a = -5\ atau\ a = -\dfrac72$

Karena $-4 < a < -2$, maka yang memenuhi adalah $a = -\dfrac72$
Deret baru:
$-\dfrac72,\ -7,\ -14$
$b = -14$
$2a + b = 2.\left(-\dfrac72\right) + (-14) = -21$.
jawab: E.
Klik Pembahasan Soal UNBK & SBMPTN Barisan/deret Aritmetika & Geometri untuk mempelajarinya.

Nomor 7: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika $\dfrac{3\ cos^2(2\pi - x) - 2\ sin\ (\pi - x)}{2} = 1$ dengan $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$, salah satu nilai dari $sin\ 2x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah . . . .
$A.\ -1$
$B.\ -\dfrac13$
$C.\ \dfrac29\sqrt{2}$
$D.\ \dfrac39\sqrt{2}$
$E.\ \dfrac49\sqrt{2}$
Ingat !
$cos\ (2\pi - \alpha) = cos\ \alpha$
$sin\ (\pi - \alpha) = sin\ \alpha$
$\dfrac{3\ cos^2(2\pi - x) - 2\ sin\ (\pi - x)}{2} = 1$
$3\ cos^2\ x - 2\ sin\ x = 2$
$3(1 - sin^2\ x) - 2\ sin\ x - 2 = 0$
$3 - 3\ sin^2\ x - 2\ sin\ x - 2 = 0$
$-3\ sin^2\ x - 2\ sin\ x + 1 = 0$
$3\ sin^2\ x + 2\ sin\ x - 1 = 0$
$(sin\ x + 1)(3\ sin\ x - 1) = 0$
$sin\ x = -1 ← tidak\ memenuhi\ syarat$ atau $sin\ x = \dfrac13$


jika $sin\ x = \dfrac13$, maka $cos\ x = \dfrac23\sqrt{2}$
$\begin{align}
sin\ 2x &= 2\ sin\ x\ cos\ x\\
&= 2.\dfrac13.\dfrac23\sqrt{2}\\
&= \dfrac49\sqrt{2}\\
\end{align}$
jawab: E.
Klik Rumus-rumus Dalam Trigonometri untuk mempelajarinya.
Klik Soal dan Pembahasan Trigonometri kelas 10 untuk mempelajari sudut-sudut berelasi.

Nomor 8: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika $f(x) = \sqrt{x}$, nilai $\displaystyle \lim_{t \to 0}\dfrac{2f(s + t) + f(s - t) - 3f(s)}{3t}$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac{1}{3s}\sqrt{s}$
$B.\ 0$
$C.\ \dfrac{1}{6s}\sqrt{s}$
$D.\ \dfrac{1}{3s}\sqrt{s}$
$E.\ 1$
$\displaystyle \lim_{t \to 0}\dfrac{2f(s + t) + f(s - t) - 3f(s)}{3t}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 0}\dfrac{2\sqrt{s + t} + \sqrt{s - t} - 3\sqrt{s}}{3t}$
Gunakan aturan L'Hospital dengan menurunkan pembilang dan penyebut !
$= \displaystyle \lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{s + t}} - \dfrac{1}{2\sqrt{s - t}}}{3}$
$= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{s + 0}} - \dfrac{1}{2\sqrt{s - 0}}}{3}$
$= \dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{s}} - \dfrac{1}{2\sqrt{s}}}{3}$
$= \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{s}}}{3}$
$= \dfrac{1}{6\sqrt{s}}$
$= \dfrac{1}{6s}\sqrt{s}$
jawab: C.
Klik Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar untuk mempelajarinya.

Nomor 9: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika $\displaystyle \int_{a}^{b} f'(x)f(x)d(x) = 10$ dan $f(a) = 2 + f(b)$, nilai $f(b) =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -4$
$C.\ -6$
$D.\ -8$
$E.\ -10$
$f(a) = 2 + f(b)$
$f(b) - f(a) = -2$ . . . . *
$\displaystyle \int_{a}^{b} f'(x)f(x)d(x) = 10$
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)d(f(x)) = 10$
$\left.\begin{matrix}\dfrac12 f^2(x) \end{matrix}\right|_a^b = 10$
$\dfrac12(f^2(b) - f^2(a)) = 10$
$(f(b) + f(a))(f(b) - f(a)) = 20$ . . . . **

Masukkan pers * ke pers **
$(f(b) + f(a)).(-2) = 20$
$f(b) + f(a) = -10$ . . . . ***

Eliminasi pers * dan pers ***
$f(b) - f(a) = -2$
$f(b) + f(a) = -10$
$....................\ +$
$2f(b) = -12$
$f(b) = -6$
jawab: C.

Nomor 10: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Jika bidang AFH dan CFH membagi kubus menjadi tiga buah ruang bagian, perbandingan volume ruang terkecil dengan volume kubus adalah . . . .
$A.\ 1 : 3$
$B.\ 1 : 4$
$C.\ 1 : 5$
$D.\ 1 : 6$
$E.\ 1 : 8$
Volume kubus:
$V_1 = 2.2.2 = 2^3$


Perhatikan gambar !
Ruang terkecil adalah limas A.EFH atau limas C.FGH
$\begin{align}
V_2 &= \dfrac13.\dfrac12.2.2.2\\
&= \dfrac16.2^3\\
\end{align}$
$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\dfrac{1}{6}.2^3}{2^3} = \dfrac{1}{6} = 1 : 6$
jawab: D.

Nomor 11: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah dari EH, FG, AD, dan BC. Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang PQRS dan ACH, maka nilai $sin\ \alpha =$ . . . .
$A.\ \dfrac12\sqrt{6}$
$B.\ \dfrac13\sqrt{6}$
$C.\ \dfrac14\sqrt{6}$
$D.\ \dfrac15\sqrt{6}$
$E.\ \dfrac16\sqrt{6}$
Perhatikan gambar !
Sudut antara bidang PQRS dengan ACH sama dengan sudut antara bidang CDHG dengan bidang ACH.



$AD = 2$
$DT = \sqrt{2}$
$AT = \sqrt{6}$
$\begin{align}
sin\ \alpha &= \dfrac{AD}{AT}\\
&= \dfrac{2}{\sqrt{6}}\\
&= \dfrac13\sqrt{6}\\
\end{align}$
jawab: B.

Nomor 12: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019


Seorang peternak ikan ingin membuat akuarium berbentuk prisma yang sisi kacanya dibuat miring (lihat gambar akuarium) dengan derajat kemiringan kaca sebesar $\theta$ (lihat gambar sisi depan). Jika $\theta_1$ adalah sudut yang menyebabkan volume akuarium tersebut maksimal, nilai dari $sin\ \theta_1 =$ . . . .
$A.\ \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}$
$B.\ \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{4}$
$C.\ \dfrac{1 + \sqrt{3}}{4}$
$D.\ \dfrac{1 + \sqrt{3}}{8}$
$E.\ 1$

Volume aquarium:
$\begin{align}
V &= \dfrac{2x + x\ sin\ \theta}{2}.x\ cos\ \theta\\
&= x^2\ cos\ \theta + \dfrac12x^2\ sin\ \theta\ cos\ \theta\\
&= x^2\ cos\ \theta + \dfrac14x^2\ sin\ 2\theta\\

\dfrac{dV}{d\theta} &= -x^2\ sin\ \theta + \dfrac12x^2\ cos\ 2\theta = 0\\
\end{align}$
$\dfrac12cos\ 2\theta - sin\ \theta = 0$
$\dfrac12(1 - 2sin^2\ \theta) - sin\ \theta = 0$
$-sin^2\ \theta - sin\ \theta + \dfrac12 = 0$
$sin^2\ \theta + sin\ \theta = \dfrac12$
$\left(sin\ \theta + \dfrac12\right)^2 - \dfrac14 = \dfrac12$
$\left(sin\ \theta + \dfrac12\right)^2 = \dfrac34$
$\left(sin\ \theta + \dfrac12\right) = \pm \dfrac12\sqrt{3}$
$sin\ \theta = -\dfrac12 \pm \dfrac12\sqrt{3}$
$sin\ \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$
Karena $0^o < \theta < 90^o$, maka $sin\ \theta$ harus bernilai positif:
$sin\ \theta = \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}$
jawab: A.

Nomor 13: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Diketahui vektor u = (1, 0, 2), v = (-1, 2, 0), w = (3, 1, 1), dan x = (6, -1, 5). Jika x = ku + lv + mw dan y = (k + l)u, maka . . . .
$1.$ k + l + m = 2
$2.$ cosinus sudut antara u dan v adalah $-\dfrac15$
$3.\ \sqrt{x .y} = 4$
$4.$ |y| = |u|, tetapi y berlawanan arah dengan u
x = ku + lv + mw
$(6, -1, 5) = k(1,0,2) + l(-1,2,0) + m(3,1,1)$
$(6,-1,5) = (k - l + 3m, 2l + m, 2k + m)$
$6 = k - l + 3m$ . . . . *
$-1 = 2l + m$ . . . . **
$5 = 2k + m$ . . . . ***
Eliminasi pers * dan ***
$12 = 2k - 2l + 6m$
$5 = 2k + m$
$...................\ -$
$7 = -2l + 5m$ . . . . ****

Eliminasi persamaan ** dan ****
$-1 = 2l + m$
$7 = -2l + 5m$
$..............\ +$
$6 = 6m$
$m = 1$
$l = -1$
$k = 2$

$k + l + m = 2 - 1 + 1 = 2$
Pernyataan 1 benar.

$|u| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
$|v| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}$
$u.v = |u|.|v|.cos\ \theta$
$-1 + 0 + 0 = \sqrt{5}.\sqrt{5}.cos\ \theta$
$cos\ \theta = -\dfrac15$
Pernyataan 2 benar.
$\begin{align}
x &= 2(1,0,2) - 1(-1,2,0) + 1(3,1,1)\\
&= (2 + 1 + 3, 0 - 2 + 1, 4 - 0 + 1)\\
&= (6, -1, 5)\\
y &= (2 - 1)(1, 0, 2)\\
&= (1, 0, 2)\\
x.y &= 6 + 0 + 10 = 16\\
\sqrt{x.y} &= \sqrt{16} = 4\\
\end{align}$
Pernyataan 3 benar.

$|y| = |u|$ dan $y$ searah dengan $u$
Pernyataan 4 salah.
jawab: A.
Klik Soal dan Pembahasan Vektor untuk mempelajarinya.

Nomor 14: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika $sin\ 15^o = a$, maka . . . .
$1.\ a = \dfrac12(\sqrt{6} - \sqrt{2})$
$2.\ cos\ 75^o = \dfrac12(\sqrt{1 - a^2} - a)$
$3.\ tan\ 60^o = \dfrac{\sqrt{2(1 - a^2)} + 2a^2}{\sqrt{1 - a^2} - a}$
$4.\ sin\ 30^o\ cos\ 30^o = (1 - 2a^2)(2a\sqrt{1 - a^2})$
$sin\ 15^o = sin\ (45^o - 30^o)$
$\begin{align}
a &= sin\ 45^ocos\ 30^o - cos\ 45^osin\ 30^o\\
&= \dfrac12\sqrt{2}.\dfrac12\sqrt{3} - \dfrac12\sqrt{2}.\dfrac12\\
&= \dfrac14\sqrt{6} - \dfrac14\sqrt{2}\\
&= \dfrac14(\sqrt{6} - \sqrt{2})\\
\end{align}$
Pernyataan 1 benar.

$sin^2\ 15^o + cos^2\ 15^o = 1$
$a^2 + cos^2\ 15^o = 1$
$cos\ 15^o = \sqrt{1 - a^2}$
$\begin{align}
cos\ 75^o &= cos\ (60^o + 15^o)\\
&= cos\ 60^ocos\ 15^o - sin\ 60^osin\ 15^o\\
&= \dfrac12\sqrt{1 - a^2} - \dfrac12\sqrt{3}.a\\
&= \dfrac12(\sqrt{1 - a^2} - a\sqrt{3})\\
\end{align}$
Pernyataan 2 salah.
Pernyataan 3 tidak perlu diperiksa, karena opsi yang tersisa hanya opsi D, yaitu 4 saja yang benar.

$sin\ 30^o\ cos\ 30^o$
$= sin\ (15^o + 15^o)cos\ (15^o + 15^o)$
$= (2sin\ 15^o.cos\ 15^o).(cos^2\ 15^o - sin^2\ 15^o)$
$= (2a\sqrt{1 - a^2})(1 - a^2 - a^2)$
$= (2a\sqrt{1 - a^2})(1 - 2a^2)$
Pernyataan 4 benar.
jawab: D.
Klik Rumus-rumus Dalam Trigonometri untuk mempelajarinya.
Klik Soal dan Pembahasan Trigonometri kelas 10 untuk mempelajari sudut-sudut berelasi.

Nomor 15: Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019
Jika $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$, maka . . . .
$1.$ $f$ naik pada interval $(-\infty,-2)$ atau $(-2,0)$
$2.$ $f$ turun pada interval $(0,2)$ atau $(2,\infty)$
$3.\ 16\ f''(0) = -10$
$4.$ $f$ tidak mempunyai titik belok.
$f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$
$f\ naik\ jika\ f'(x) > 0$
$\dfrac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 1)(2x)} {(x^2 - 4)^2} > 0$
$\dfrac{2x^2 - 8x - 2x^2 - 2x}{(x^2 - 4)^2} > 0$
$\dfrac{-10x}{(x^2 - 4)^2} > 0$

$x \ne \pm 2$ . . . . *

$(x^2 - 4)^2 ← definit\ positif$ abaikan !
$-10x > 0$
$-x > 0$
$x < 0$ . . . . **
$* \cap ** → (-\infty, -2)\ atau\ (-2,0)$
Pernyataan 1 benar.
$f\ turun\ jika\ f'(x) < 0$
$\dfrac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 1)(2x)} {(x^2 - 4)^2} < 0$
$\dfrac{2x^2 - 8x - 2x^2 - 2x}{(x^2 - 4)^2} < 0$
$\dfrac{-10x}{(x^2 - 4)^2} < 0$
$x \ne \pm 2$ . . . . *
$(x^2 - 4)^2 ← definit\ positif$ abaikan !
$-10x < 0$
$-x < 0$
$x > 0$ . . . . **
$* \cap ** → (0,2)\ atau\ (2, \infty)$
Pernyataan 2 benar.

$f''(x) = \dfrac{-10(x^2 - 4)^2 + 40x^2(x^2 - 4)} {(x^2 - 4)^2}$
$16f''(0) = 16.\dfrac{-10.16}{16^2} = -10$
Pernyataan 3 benar.

Syarat titik belok:
$f''(x) = 0$
$\dfrac{-10(x^2 - 4)^2 + 40x^2(x^2 - 4)} {(x^2 - 4)^2} = 0$
$-10(x^2 - 4)^2 + 40x^2(x^2 - 4) = 0$
$4x^2 = x^2 - 4$
$3x^2 = -4$
$x^2 = -\dfrac43$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi, sehingga $f$ tidak mempunyai titik belok.
Pernyataan 4 benar.
jawab: E.

Demikianlah soal dan pembahasan SIMAK UI matematika IPA 2019, semoga bermanfaat dan bisa membantu. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST


www.maretong.com



1 comment:

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.