Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras



Pengertian Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras atau Rumus / Dalil Pythagoras serta contoh soal dan pembahasan. Teorema Pythagoras merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara tiga sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras mengatakan bahwa kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi penyikunya. Perhatikan gambar di bawah!

teorema-dalil-rumus-tripel-pythagoras

Sesuai teorema Pythagoras, pada segitiga siku-siku berlaku: Kuadrat sisi terpanjang (hipotenusa) sama dengan kuadrat sisi-sisi penyikunya. Dengan demikian, pada segitiga ABC berlaku: $a^2 = b^2 + c^2$, sedangkan pada segitiga PQR berlaku: $r^2 = p^2 + q^2$.

Pengertian Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli dan berlaku: kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat bilangan lainnya. Misalkan tiga bilangan asli $a,\ b,\ c$ dimana $a$ merupakan bilangan terbesar dan $a^2 = b^2 + c^2$, maka $a,\ b,\ c$ disebut tripel Pythagoras. Tripel Pytagoras dapat dicari dengan rumus: $p^2 + q^2,\ p^2 - q^2,\ 2pq$ dimana $p > q \geq 1$.
Contoh:
$a).\ q = 1, p = 2$ → $p > q \geq 1$
$p^2 + q^2 = 2^2 + 1^2 = 5$
$p^2 - q^2 = 2^2 - 1^2 = 3$
$2pq = 2.2.1 = 4$
Dengan demikian 3, 4, dan 5 merupakan tripel Pythagoras.

$b).\ q = 3, p = 1$ → $p > q \geq 1$
$p^2 + q^2 = 3^2 + 1^2 = 10$
$p^2 - q^2 = 3^2 - 1^2 = 8$
$2pq = 2.3.1 = 6$
Dengan demikian 6, 8,dan 10 merupakan tripel Pythagoras.

$c).\ q = 5, p = 2$ → $p > q \geq 1$
$p^2 + q^2 = 5^2 + 2^2 = 29$
$p^2 - q^2 = 5^2 - 2^2 = 21$
$2pq = 2.5.2 = 20$
Dengan demikian 20, 21,dan 29 merupakan tripel Pythagoras.

Bilangan-bilangan yang merupakan tripel Pythagoras yang umum digunakan:
A. Bilangan 3 , 4, dan 5 atau kelipatannya.
$\begin{matrix}
3 & 4 & 5\\
6 & 8 &10 \\
9 & 12 & 15 \\
12 & 16 & 20 \\
15& 20 & 25\\
18 & 24 & 30\\
21 & 28 & 35\\
24 & 32 & 40\\
dst & dst & dst\\
\end{matrix}$

B. Bilangan 5, 12, dan 13 atau kelipatannya.
$\begin{matrix}
5 & 12 & 13\\
10 & 24 & 26\\
15 & 36 &39 \\
20& 48 & 52\\
dst& dst& dst\\
\end{matrix}$

C. Bilangan 8, 15, dan 17 atau kelipatannya.
$\begin{matrix}
8& 15 & 17\\
16& 30 & 34\\
24& 45 &51 \\
32& 60 & 68\\
dst& dst& dst\\
\end{matrix}$

D. Bilangan 7, 24, dan 25 atau kelipatannya.
$\begin{matrix}
7& 24 & 25\\
14& 48 & 50\\
21& 72 & 75\\
28& 96& 100\\
dst& dst& dst
\end{matrix}$

E. Bilangan 20, 21, dan 29 atau kelipatannya.
$\begin{matrix}
20& 21 & 29\\
40& 42 & 58\\
60& 63 & 87\\
dst& dst& dst\\
\end{matrix}$

F. Bilangan 9, 40, dan 41 atau kelipatannya.
$\begin{matrix}
9& 40 & 41\\
18& 80 & 82\\
27& 120 & 123\\
dst& dst& dst\\
\end{matrix}$

Kebalikan Teorema Pythagoras

Jika pada segitiga ABC berlaku hubungan:
$1.\ a^2 = b^2 + c^2$, maka segitiga ABC siku-siku di A.
$2.\ b^2 = a^2 + c^2$, maka segitiga ABC siku-siku di B.
$3.\ c^2 = a^2 + b^2$, maka segitiga ABC siku-siku di C.

$4.\ a^2 < b^2 + c^2$, maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip di A.
$5.\ b^2 < a^2 + c^2$, maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip di B.
$6.\ c^2 < a^2 + b^2$, maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip di C.

$7.\ a^2 > b^2 + c^2$, maka segitiga ABC merupakan segitiga tumpul di A.
$8.\ b^2 > a^2 + c^2$, maka segitiga ABC merupakan segitiga tumpul di B.
$9.\ c^2 > a^2 + b^2$, maka segitiga ABC merupakan segitiga tumpul di C.

Perbandingan Sisi Segitiga Istimewa

Perhatikan gambar!

pythagoras-pada-segitiga-istimewa

1. Pada segitiga siku-siku dengan sudut lainnya adalah $30^o$ dan $60^o$, maka panjang sisi-sisinya memiliki perbandingan $1 : \sqrt{3} : 2$
2. Pada segitiga siku-siku dengan sudut lainnya adalah $45^o$ dan $45^o$, maka panjang sisi-sisinya memiliki perbandingan $1 : 1 : \sqrt{2}$

Untuk memantapkan pengertian dan pemahaman tentang teorema Pythagoras, dalil atau rumus Pythagoras, maupun tripel Pythagoras, silahkan pelajari contoh soal dan pembahasan berikut.

Soal dan Pembahasan Teorema Pythagoras

Contoh Soal nomor 1:
Perhatikan gambar di bawah!

pembuktian-teorema-pythagoras

Diketahui bidang P, Q, dan R adalah persegi. Jika luas $P = 45\ cm^2$, luas $R = 24\ cm^2$, maka luas $Q$ adalah . . . .
$A.\ 17\ cm^2$
$B.\ 19\ cm^2$
$C.\ 21\ cm^2$
$D.\ 25\ cm^2$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Panjang sisi persegi P adalah $a$ sehingga luas persegi P $= a^2 = 45\ cm^2$, panjang sisi persegi Q $= b$ sehingga luas persegi Q $= b^2\ cm^2$, panjang sisi persegi R $= c$ sehingga luas persegi R = $c^2 = 24\ cm^2$. Berdasarkan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
$a^2 = b^2 + c^2$
$45 = b^2 + 24$
$45 - 24 = b^2$
$21 = b^2$
Karena luas persegi Q adalah $b^2$, maka luas persegi Q $= 21\ cm^2$.
jawab: C.

Contoh Soal nomor 2:
Diketahui segitiga PQR siku-siku di P, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah . . . .
$A.\ p^2 = q^2 + r^2$
$B.\ q^2 = p^2 + r^2$
$C.\ r^2 = p^2 + q^2$
$D.\ q^2 = r^2 - p^2$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Lihat gambar di bawah!

dalil-pythagoras

Sisi terpanjang atau sisi miring atau hipotenusa adalah $p$ dan sisi-sisi penyiku adalah $q$ dan $r$. Berdasarkan teorema Pythagoras: kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi penyiku. Dengan demikian:
$p^2 = q^2 + r^2$
jawab: A.

Contoh Soal nomor 3:
Berdasarkan gambar di bawah, pernyataan berikut yang tidak benar adalah . . . .

rumus-pythagoras

$A.\ l^2 = k^2 + m^2$
$B.\ k^2 = l^2 - m^2$
$C.\ m^2 = l^2 - k^2$
$D.\ k^2 = l^2 + m^2$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Segitiga siku-siku di L, sehingga:
$l^2 = k^2 + m^2$ atau
$k^2 = l^2 - m^2$ atau
$m^2 = l^2 - k^2$
Jadi pernyataan yang tidak benar adalah pernyataan D.
jawab: D.

Contoh Soal nomor 4:
Perhatikan gambar di bawah! Segitiga ABC siku-siku di A, panjang $AB = 4$ cm, $AC = 2\sqrt{2}$, maka panjang BC adalah . . . .

teorema-dan-rumus-pythagoras

$A.\ 2\sqrt{5}\ cm$
$B.\ 2\sqrt{6}\ cm$
$C.\ 3\ cm$
$D.\ 3\sqrt{2}\ cm$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Menurut teorema Pythagoras:
$\begin{align}
BC^2 &= AB^2 + AC^2\\
&= 4^2 + (2\sqrt{2})^2\\
&= 16 + 4.2\\
&= 16 + 8\\
&= 24\\
BC &= \sqrt{24}\\
&= \sqrt{4.6}\\
&= \sqrt{4}.\sqrt{6}\\
&= 2\sqrt{6}\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 5:
Perhatikan gambar di bawah, jika luas $\Delta PQR = 96\ cm^2$ maka panjang QR adalah . . . .

teorema-atau-dalil-pythagoras

A. 18 cm
B. 20 cm
C. 24 cm
D. 25 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
$\begin{align}
L &= \dfrac12.PQ.PR\\
96 &= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto6{12}.PR\\
96 &= 6.PR\\
PR &= 16\ cm\\
\\
QR^2 &= PQ^2 + PR^2\\
&= 12^2 + 16^2\\
&= 144 + 256\\
&= 400\\
QR &= \sqrt{400}\\
&= 20\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Cara cepat dengan tripel Pythagoras:
Diketahui PQ = 12 cm dan PR = 16 cm, dengan demikian QR = 20 cm. Ingat bahwa bilangan 12, 16, dan 20 merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 4 dari (3, 4, dan 5).

Contoh Soal nomor 6:
Perhatikan gambar di bawah! Panjang BC = . . . .

teorema-dan-tripel-pythagoras

A. 15 cm
B. 17 cm
C. 20 cm
D. 24 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Menurut teorema Pythagoras:
$\begin{align}
AC^2 &= AB^2 + BC^2\\
17^2 &= 8^2 + BC^2\\
BC^2 &= 17^2 - 8^2\\
&= 289 - 64\\
&= 225\\
BC &= \sqrt{225}\\
&= 15\ cm\\
\end{align}$
jawab: C.

Cara cepat dengan tripel Pythagoras:
Diketahui AB = 8 cm dan AC = 17 cm, maka BC = 15 cm. Ingat bahwa bilangan 8, 15, dan 17 merupakan tripel Pythagoras.

Contoh Soal nomor 7:
Diketahui segitiga KLM merupakan segitiga sama kaki dengan KL = LM = 20 cm dan KM = 24 cm. Garis LP tegak lurus KM di titik P, maka panjang LP = . . . .
A. 15 cm
B. 16 cm
C. 17 cm
D. 18 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-teorema-pythagoras

$\begin{align}
KL^2 &= KP^2 + LP^2\\
20^2 &= 12^2 + LP^2\\
400 &= 144 + LP^2\\
LP^2 &= 400 - 144\\
&= 256\\
LP &= \sqrt{256}\\
&= 16\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Cara cepat dengan tripel Pythagoras:
Diketahui KP = 12 cm dan KL = 20 cm, maka LP = 16 cm. Ingat bahwa bilangan 12, 16, dan 20 merupakan tripel Pythagoras, yaitu kelipatan 4 dari (3, 4, dan 5).

Contoh Soal nomor 8:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-tripel-pythagoras

Berdasarkan gambar di atas, nilai dari $a,\ b,\ c$ berturut-turut adalah . . . .
A. 15 cm, 10 cm, 16 cm
B. 15 cm, 12 cm, 16 cm
C. 15 cm, 24 cm, 20 cm
D. 17 cm, 15 cm, 21 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Dengan tripel Pythagoras:
$a = 15$, karena 9, 12, dan 15 merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 3 dari (3, 4, dan 5).
$b = 10$, karena 10, 24, dan 26 merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 2 dari (5, 12, dan 13).
$c = 16$, karena 16, 30, dan 34 merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 2 dari (8, 15, dan 17).
jawab: A.

Contoh Soal nomor 9:
Luas persegi panjang dengan panjang 21 cm dan panjang diagonal 29 cm adalah . . . .
$A.\ 360\ cm^2$
$B.\ 380\ cm^2$
$C.\ 400\ cm^2$
$D.\ 420\ cm^2$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Lihat gambar di bawah!

soal-dan-pembahasan-tripel-pythagoras

Dengan tripel Pytagoras:
Lihat segitiga ABC, AB = 21 cm, AC = 29 cm, maka BC = 20 cm karena 20, 21, dan 29 merupakan Tripel Pythagoras. Dengan demikian:
$\begin{align}
L &= AB.BC\\
&= 21.20\\
&= 420\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: D.

Cara biasa:
$\begin{align}
AC^2 &= AB^2 + BC^2\\
29^2 &= 21^2 + BC^2\\
841 &= 441 + BC^2\\
BC^2 &= 841 - 441\\
&= 400\\
BC &= \sqrt{400}\\
&= 20\ cm\\
\\
L &= AB.BC\\
&= 21.20\\
&= 420\ cm^2\\
\end{align}$

Contoh Soal nomor 10:
Luas sebuah segitiga siku-siku adalah $336\ cm^2$. Jika panjang salah satu sisi penyikunya adalah 14 cm, maka keliling segitiga itu adalah . . . .
A. 84 cm
B. 96 cm
C. 112 cm
D. 124 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-dan-pembahasan-teorema-pythagoras

$\begin{align}
L &= \dfrac12.PQ.PR\\
336 &= \dfrac12.14.PR\\
336 &= 7.PR\\
PR &= 48\\
\end{align}$
PQ = 14 cm dan PR = 48 cm, maka QR = 50 cm karena 14, 48, dan 50 merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 2 dari (7, 24, dan 25).
$\begin{align}
K &= PQ + QR + PR\\
&= 14 + 50 + 48\\
&= 112\ cm\\
\end{align}$


Contoh Soal nomor 11:
Gambar di bawah adalah sebuah layang-layang ABCD. Jika panjang BE = 15 cm, BC = 17 cm, dan AC = 28 cm maka panjang AB adalah . . . .

contoh-soal-dan-pembahasan-tripel-pythagoras

A. 20 cm
B. 24 cm
C. 25 cm
D. 26 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pytagoras]

Pembahasan:
Dengan tripel Pythagoras:
Lihat segitiga BCE !
BE = 15 cm dan BC = 17 cm, maka CE = 8 cm

$\begin{align}
AC &= AE + CE\\
28 &= AE + 8\\
AE &= 28 - 8\\
&= 20\ cm\\
\end{align}$

Lihat segitiga ABE !
BE = 15 cm dan AE = 20 cm, maka AB = 25 cm.
jawab: C.

Contoh Soal nomor 12:
Diketahui persegi panjang dengan perbandingan panjang : lebar = 4 : 3. Jika keliling persegi panjang tersebut adalah 56 cm, maka panjang diagonal dari persegi panjang tersebut adalah . . . .
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 20 cm
D. 25 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan segitiga ABC pada gambar di bawah!

pengertian-teorema-pythagoras

Misalkan panjangnya 4n dan lebarnya 3n, sehingga panjang diagonalnya menjadi 5n, karena kelipatan n dari (3, 4, dan 5) adalah tripel Pythagoras.
$K = 2 \times panjang + 2 \times lebar$
$56 = 2.4n + 2.3n$
$56 = 8n + 6n$
$56 = 14n$
$n = 4$

$\begin{align}
Panjang\ diagonal &= 5n\\
&= 5.4\\
&= 20\ cm\\
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 13:
Perhatikan gambar bangun di bawah!

pengertian-tripel-pythagoras

Keliling bangun diatas adalah . . . .
A. 52 cm
B. 58 cm
C. 64 cm
D. 72 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras:

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

pengertian-dalil-pythagoras

$AE = DC = 8\ cm$
$AB = AE + BE$
$20 = 8 + BE$
$BE = 20 - 8$
$BE = 12\ cm$

Lihat segitiga BCE !
BE = 12 cm dan BC = 20 cm, maka CE = 16 cm.
AD = CE = 16 cm

$\begin{align}
K &= AB + BC + CD + AD\\
&= 20 + 20 + 8 + 16\\
&= 64\ cm
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 14:
Perhatikan gambar di bawah!

teorema-dan-tripel-pythagoras

Luas trapesium ABCD pada gambar di atas adalah . . . .
$A.\ 280\ cm^2$
$B.\ 330\ cm^2$
$C.\ 420\ cm^2$
$D.\ 450\ cm^2$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Lihat segitiga ADE !
AE = 8 cm dan AD = 17 cm, maka DE = 15 cm.

Lihat segitiga BCF !
CF = DE = 15 cm dan BC = 25 cm, maka BF = 20 cm.

EF = CD = 8 cm
Luas Trapesium:
$\begin{align}
AB &= AE + EF + BF\\
&= 8 + 8 + 20\\
&= 36\ cm\\
L &= \dfrac12.(AB + CD).DE\\
&= \dfrac12.(36 + 8).15\\
&= \dfrac{1}{\cancel2}.\cancelto{22}{44}.15\\
&= 22.15\\
&= 330\ cm^2\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 15:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-tripel-pythagoras

Panjang CE sesuai gambar di atas adalah . . . .
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 12 cm
D. 15 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Dengan Tripel Pythagoras:
Perhatikan segitiga ABC !
AB = 15 cm dan AC = 25 cm, maka BC = 20 cm.

Perhatikan segitiga BDE !
BD = AB = 15 cm dan DE = 17 cm, maka BE = 8 cm.

BC = BE + CE
20 = 8 + CE
$CE = 20 - 8 = 12\ cm$.
jawab: C.

Contoh Soal nomor 16:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-teorema-pythagoras

Berdasarkan gambar di atas, nilai dari $a + b = . . . .$
A. 27 cm
B. 30 cm
C. 32 cm
D. 35 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Dengan tripel Pythagoras:
Lihat segitiga ABC !
AB = 9 cm dan BC = 15 cm, maka AC = 12 cm.
$p = AC = 12\ cm$

Lihat segitiga BCD !
BC = 15 cm dan CD = 25 cm, maka BD = 20 cm.
$q = BD = 20\ cm$

$p + q = 12 + 20 = 32\ cm$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 17:
Perhatikan gambar di bawah!

soal-dan-pembahasan-teorema-pythagoras

Keliling bangun ABCDE adalah . . . .
A. 56 cm
B. 59 cm
C. 74 cm
D. 86 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
BC = AB = 15 cm dan CD = 9cm, maka DE = 12 cm.
BC = AE = 10 cm.

$\begin{align}
K &= AB + BC + CD + DE + AE\\
&= 15 + 10 + 9 + 12 + 10\\
&= 56\ cm\\
\end{align}$

Contoh Soal nomor 18.
Fadil berada di atas sebuah mercusuar yang memiliki ketinggian 90 meter. Fadil melihat kapal A dan kapal B. Jarak Fadil ke kapal A 150 meter dan jarak Fadil ke kapal B 410 meter. Posisi alas mercusuar, kapal A, dan kapal B segaris. Jarak kapal A dan kapal B adalah . . . .
A. 240 meter
B. 250 meter
C. 280 meter
D. 300 meter
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar!

aplikasi-teorema-pythagoras

Perhatikan segitiga ACF !
$\begin{align}
AF^2 &= AC^2 + CF^2\\
150^2 &= AC^2 + 90^2\\
22500 &= AC^2 + 8100\\
AC^2 &= 22500 - 8100\\
&= 14400\\
AC &= \sqrt{14400}\\
AC &= 120\\
\end{align}$

Perhatikan segitiga BCF !
$\begin{align}
BF^2 &= BC^2 + CF^2\\
410^2 &= BC^2 + 90^2\\
168100 &= BC^2 + 8100\\
BC^2 &= 168100 - 8100\\
&= 160000\\
BC &= \sqrt{160000}\\
&= 400\\
\end{align}$

$BC = AC + AB$
$400 = 120 + AB$
$AB = 400 - 120 = 280\ meter$
jawab: C.

Dengan tripel Pythagoras:
Perhatikan segitiga ACF !
CF = 90 meter dan AF = 150 meter, maka AC = 120 meter. Ingat bahwa 90, 120, dan 150 merupakan kelompok bilangan yang merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 30 dari (3, 4, dan 5).

Perhatikan segitiga BCF !
CF = 90 meter dan BF = 410 meter, maka BC = 400 meter. Ingat bahwa 90, 400, dan 410 merupakan kelompok bilangan yang merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 10 dari (9, 40, dan 41).

BC = AC + AB
400 = 120 + AB
$AB = 400 - 120 = 280\ meter$

Contoh Soal nomor 19:
Sebuah tangga dengan panjang 5 meter disandarkan pada tembok. Jika jarak ujung bawah tangga ke tembok 1,4 meter, maka jarak terdekat ujung atas tangga jika diukur dari tanah adalah . . . .
A. 2,4 meter
B. 3,2 meter
C. 4,8 meter
D. 5,4 meter
[Teorema/Dalil/Rumus dan tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

aplikasi-tripel-pythagoras

Jarak terdekat ujung atas tangga dengan tanah adalah BC.
$\begin{align}
AC^2 &= AB^2 + BC^2\\
5^2 &= 1,4^2 + BC^2\\
25 &= 1,96 + BC^2\\
BC^2 &= 25 - 1,96\\
&= 23,04\\
BC &= \sqrt{23,04}\\
&= 4,8\ meter\\
\end{align}$
jawab: C.

Dengan tripel Pythagoras:
AB = 1,4 meter dan AC = 5 meter, maka BC = 4,8 meter karena 1,4 ; 4,8 ; 5 merupakan tripel Pythagoras yaitu kelipatan 0,2 kali (7, 24, dan 25).

Contoh Soal nomor 20:
Sebuah kapal bergerak dari pelabuhan A menuju pelabuhan B pada jurusan $045^o$ sejauh 120 km, kemudian memutar menuju pelabuhan C pada jurusan $135^o$ sejauh 160 km. Jarak antara pelabuhan A dan pelabuhan C adalah . . . .
A. 170 km
B. 200 km
C. 240 km
D. 250 km
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-teorema-pythagoras-tentang-kapal

Segitiga ABC siku-siku di B.
$\begin{align}
AC^2 &= AB^2 + BC^2\\
&= 120^2 + 160^2\\
&= 14400 + 25600\\
&= 40000\\
AC &= \sqrt{40000}\\
&= 200\ km\\
\end{align}$
jawab: B.

Dengan tripel Pythagoras:
AB = 120 km dan BC = 160 km, maka AC = 200 km karena 120, 160, dan 200 merupkan kelipatan 40 kali (3, 4, dan 5).

Contoh Soal nomor 21:
Sebuah pesawat berangkat dari kota A ke arah timur laut menuju kota B dengan kecepatan 240 km/jam selama 25 menit, setelah sampai di kota B kemudian langsung berbelok ke arah tenggara menuju kota C dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan sebelumnya selama 1 jam. Jarak antara kota A dan kota C adalah . . . .
A. 240 km
B. 260 km
C. 300 km
D. 320 km
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

contoh-soal-tripel-pytagoras-tentang-kapal

Perjalanan dari kota A ke kota B:
$\begin{align}
v &= 240\ km/jam\\
t &= 25\ menit\\
&= \dfrac{25}{60}\ jam\\
&= \dfrac{5}{12}\ jam\\
AB &= S_{AB}\\
&= v.t\\
&= \cancelto{20}{240}.\dfrac{5}{\cancel{12}}\\
&= 20.5\\
&= 100\ km\\
\end{align}$

Perjalanan dari kota B ke kota C:
$\begin{align}
v &= 240\ km/jam\\
t &= 1\ jam\\
BC &= S_{BC}\\
&= v.t\\
&= 240.1\\
&= 240\ km\\
\\
AC^2 &= AB^2 + BC^2\\
&= 100^2 + 240^2\\
&= 10000 + 57600\\
&= 67600\\
AC &= \sqrt{67600}\\
&= 260\ km\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 22:
Seorang pilot pesawat tempur berada pada ketinggian 8 km di atas tanah melihat ada 2 markas musuh pada jarak 10 km dibelakang pesawat dan pada jarak 17 km di depan pesawat. Jarak antara kedua markas musuh tersebut adalah . . . .
A. 15 km
B. 17 km
C. 21 km
D. 25 km
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

aplikasi-teorema-dan-tripel-pythagoras

Dengan tripel Pythagoras didapat panjang AD = 6 km dan panjang BD = 15 km, sehingga:
$\begin{align}
AB &= AD + BD\\
&= 6 + 15\\
&= 21\ km\\
\end{align}$
jawab: C.

Contoh Soal nomor 23:
Perhatikan gambar segitiga di bawah! Segitiga PQR siku-siku di P, $\angle Q = 60^o$. Jika panjang QR = 20 cm maka panjang PR adalah . . . . cm.

pythagoras-pada-segitiga-istimewa

$A.\ 10\sqrt{2}$
$B.\ 10\sqrt{3}$
$C.\ 20$
$D.\ 20\sqrt{3}$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar segitiga di bawah sera perbandingan sisinya!

perbandingan-sisi-segitiga-istimewa

$\begin{align}
\dfrac{PR}{QR} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\dfrac{PR}{20} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
PR &= \cancelto{10}{20}.\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel2}\\
&= 10\sqrt{3}\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 24:
Perhatikan gambar segitiga di bawah! Segitiga ABC siku-siku di A, $\angle B = 30^o$. Jika panjang AB = 15 cm, maka panjang AC adalah . . . . cm.

tripel-pythagoras-segitiga-istimewa

$A.\ 5\sqrt{2}$
$B.\ 5\sqrt{3}$
$C.\ 10$
$D.\ 10\sqrt{3}$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar segitiga di bawah dan perbandingan sisinya!

rumus-perbandingan-sisi-segitiga-istimewa

$\begin{align}
\dfrac{AC}{AB} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\\
\dfrac{AC}{15} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\\
AC &= 15.\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\
&= 15.\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
&= \dfrac{\cancelto5{15}}{\cancel3}\sqrt{3}\\
&= 5\sqrt{3}\\
\end{align}$
jawab: B.

Contoh Soal nomor 25:
Perhatikan gambar segitiga di bawah! Segitiga KLM siku-siku di K, $\angle L = 45^o$. Jika panjang KM = 8 cm, maka panjang LM adalah . . . . cm.

tripel-pythagoras-pada-segitiga-istimewa

$A.\ 8\sqrt{2}$
$B.\ 8\sqrt{3}$
$C.\ 16$
$D.\ 16\sqrt{3}$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar segitiga dibahah dan perbandingan sisinya.

perbandingan-sisi-segitiga-istimewa

$\begin{align}
\dfrac{LM}{KM} &= \dfrac{\sqrt{2}}{1}\\
\dfrac{LM}{8} &= \dfrac{\sqrt{2}}{1}\\
LM &= 8.\sqrt{2}\\
&= 8\sqrt{2}\\
\end{align}$
jawab: A.

Contoh Soal nomor 26:
Seorang bermain layang-layang di sebuah lapangan yang luas dan datar. Sebuah layang-layang diterbangkan dengan menggunakan seutas benang yang panjangnya 40 meter hingga seluruh tali terpakai. Jika sudut antara benang dan tanah adalah $60^o$, maka tinggi layang-layang diukur dari permukaan tanah adalah . . . . meter.
$A.\ 10\sqrt{2}$
$B.\ 10\sqrt{3}$
$C.\ 20$
$D.\ 20\sqrt{3}$
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!

teorema-pythagoras-segitiga-istimewa

Tinggi layang-layang diukur dari tanah adalah BC.
$\begin{align}
\dfrac{BC}{AC} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\dfrac{BC}{40} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
BC &= \cancelto{20}{40}.\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel2}\\
&= 20\sqrt{3}\\
\end{align}$
jawab: D.

Contoh Soal nomor 27:
Diantara kelompok sisi di bawah ini yang dapat dibuat segitiga siku-siku adalah . . . .
A. 5 cm, 11 cm, 13 cm
B. 6 cm, 8 cm, 9 cm
C. 8 cm, 15 cm, 17 cm
D. 9 cm, 12 cm, 13 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Teorema Pythagoras:
Sebuah segitiga disebut siku-siku jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Berarti harus dihitung kuadrat sisi terpanjangnya dan jumlah kuadrat sisi yang lainnya.
Periksa opsi (pilihan) A:
Sisi terpanjang adalah 13 cm dan panjang sisi-sisi lainnya adalah 5 cm dan 11 cm.
$13^2 = 169$
$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$
Kuadrat sisi terpanjang adalah 169 sedangkan jumlah kuadrat sisi lainnya adalah 146. Karena 169 > 146 maka segitiga pada opsi A adalah segitiga tumpul.

Periksa opsi B:
Sisi terpanjang adalah 9 cm dan panjang sisi-sisi lainnya adalah 6 cm dan 8 cm.
$9^2 = 81$
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
Kuadrat sisi terpanjang adalah 81 sedangkan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain adalah 100. Karena 81 < 100 maka segitiga pada opsi B adalah segitiga lancip.

Periksa opsi C:
Sisi terpanjang adalah 17 cm dan panjang sisi-sisi lainnya adalah 8 cm dan 15 cm.
$17^2 = 289$
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
Kuadrat sisi terpanjang adalah 289 sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya sehingga segitiga pada opsi C adalah segitiga siku-siku.

Periksa opsi D:
Sisi terpanjang adalah 13 cm dan panjang sisi-sisi lainnya adalah 9 cm dan 12 cm.
$13^2 = 169$
$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Kuadrat sisi terpanjang adalah 169 sedangkan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya adalah 225. Karena 169 < 225 maka segitiga pada opsi D adalah segitiga lancip.
jawab: C.

Contoh Soal nomor 28:
Kelompok bilangan berikut yang merupakan ukuran segitiga lancip adalah . . . .
A. 5 cm, 12 cm, 13 cm
B. 9 cm, 12 cm, 16 cm
C. 6 cm, 8 cm, 12 cm
D. 7 cm, 10 cm, 12 cm
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Ingat kembali kebalikan teorema Pythagoras!
Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain, maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip. Periksa opsi yang tersedia satu persatu!
Periksa opsi A:
Sisi terpanjang adalah 13 cm → $13^2 = 169$.
Panjang sisi-sisi yang lain adalah 5 cm dan 12 cm → $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya, sehingga segitiga pada opsi A adalah segitiga siku-siku.

Periksa opsi B:
Sisi terpanjang adalah 16 cm → $16^2 = 256$.
Panjang sisi-sisi yang lainnya adalah 9 cm dan 12 cm → $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
Kuadrat sisi terpanjang lebih besar dibanding jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya, sehingga segitiga pada opsi B adalah segitiga tumpul.

Periksa opsi C:
Sisi terpanjang adalah 12 cm → $12^2 = 144$.
Panjang sisi-sisi yang lainnya adalah 6 cm dan 8 cm → $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Kuadrat sisi terpanjang lebih besar dibanding jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya, sehingga segitiga pada opsi C adalah segitiga tumpul.

Periksa opsi D:
Sisi terpanjang adalah 12 cm → $12^2 = 144$.
Paanjang sisi-sisi yang lainnya adalah 7 cm dan 10 cm → $7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$.
Kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dibanding jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya, sehingga segitiga pada opsi D adalah segitiga lancip.
jawab: D.

Contoh Soal nomor 29:
Jika 9 dan $(x - 2)$ adalah dua sisi penyiku segitiga dengan $(x + 1)$ sebagai sisi hipotenusa, nilai $x$ yang mungkin adalah . . . .
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
Salah satu kelompok sisi yang merupakan tripel Pythagoras adalah 9, 12, dan 15.
$x - 2 = 12 → x = 14$
jawab: C.

Dengan teorema Pythagoras:
$(x + 1)^2 = (x - 2)^2 + 9^2$
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4x + 4 + 81$
$x^2 - x^2 + 2x + 4x = 4 + 81 - 1$
$6x = 84$
$x = 14$

Contoh Soal nomor 30:
Jika pada $\Delta PQR$ berlaku $PQ^2 = QR^2 - PR^2$ maka $\Delta PQR$ adalah segitiga . . . .
A. siku-siku di P
B. siku-siku di Q
C. siku-siku di R
D. tumpul di P
[Teorema/Dalil/Rumus dan Tripel Pythagoras]

Pembahasan:
$PQ^2 = QR^2 - PR^2$
$QR^2 = PQ^2 + PR^2$ → Sisi terpanjang adalah QR, berarti segitiga PQR siku-siku di P. Perhatikan gambar di bawah!

rumus-pythagoras

jawab: A.

Demikianlah ulasan tentang teorema/dalil/rumus dan tripel Pythagoras serta contoh soal dan pembahasan. Semoga bermanfaat dan dapat membantu.

BACA JUGA:
1. Bangun datar segitiga.
2. Bangun datar segiempat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com





Post a Comment for "Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras"