MARETONG: Garis Singgung Persekutuan SMA kelas 11

Saturday, January 25, 2020

Garis Singgung Persekutuan SMA kelas 11

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran SMA kelas 11. Dua buah lingkaran memiliki garis singgung persekutuan jika kedua lingkaran tersebut saling berjauhan, bersinggungan, atau berpotongan. Banyak garis singgung persekutuan dua buah lingkaran bergantung kepada posisi kedua lingkaran. Perhatikan gambar di bawah!


# Jika dua buah lingkaran saling berjauhan maka kedua lingkaran tersebut memiliki empat buah garis singgung persekutuan.
# Jika dua buah lingkaran saling bersinggungan maka kedua lingkaran memiliki tiga buah garis singgung persekutuan.
# Jika dua buah lingkaran saling berpotongan maka kedua lingkaran memiliki dua garis singgung persekutuan.
Garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik singgung, dengan demikian jarak antara pusat lingkaran dengan garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran. Konsep inilah yang kita gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran. Perhatikan contoh soal dan penyelesaian yang berikut.

Contoh soal nomor 1:
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dari lingkaran A: $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 + 6x - 12y + 29 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$\begin{align}
Pusat &= A(3, -2)\\
\\
R_A^2 &= \dfrac14.(-6)^2 + \dfrac14.4^2 - 4\\
&= 9 + 4 - 4\\
&= 9\\
R_A &= 3\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$\begin{align}
Pusat &= (-3, 6)\\
\\
R_B^2 &= \dfrac14.(6)^2 + \dfrac14.(-12)^2 - 29\\
&= 9 + 36 - 29\\
&= 16\\
R_B &= 4\\
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB^2 &= (-3 - 3)^2 + (6 - (-2))^2\\
&= (-6)^2 + 8^2\\
&= 100\\
AB &= 10\\
\end{align}$

$AB > R_A + R_B$ → Lingkaran A dan lingkaran B saling berjauhan, sehingga lingkaran A dan lingkaran B memliki 4 garis singgung persekutuan. Perhatikan gambar dibawah!


Misalkan persamaan garis singgung persekutuannya adalah $mx + y + c = 0$. Jarak titik pusat lingkaran A dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran A dan jarak titik pusat lingkaran B dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran B. Ingat rumus jarak antara titik dengan garis!

$R_A = \left|\dfrac{3m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$3 = \left|\dfrac{3m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{3m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 3$
$3m - 2 + c = \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (1)

$R_B = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 4$
$-3m + 6 + c = \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 3m - 6 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):
$2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1} = 3m - 6 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$8 - 6m = \pm 3\sqrt{m^2 + 1} \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
Persamaan menjadi:
$8 - 6m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (*)
$8 - 6m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (**)

Kerjakan persamaan (*) dan (**) satu persatu!
Persamaan (*):
$8 - 6m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$
$64 - 96m + 36m^2 = m^2 + 1$
$35m^2 - 96m + 63 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{12} &= \dfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4.35.63}}{2.35}\\
&= \dfrac{96 \pm \sqrt{396}}{70}\\
&= \dfrac{96 \pm 19,9}{70}\\
m_1 &= 1,66\\
m_2 &= 1,09\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_1 = 1,66$ → $c = 2 - 3.1,66 \pm 3\sqrt{1,66^2 + 1}$
$c = 2,83\ atau\ c = -8,79$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -8,79$. Dengan demikian:
$m_1 = 1,66 → c_1 = -8,79$
Persamaan garis persekutuan 1 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$1,66x + y - 8,79 = 0$

$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_2 = 1,09$ → $c = 2 - 3.1,09 \pm 3\sqrt{1,09^2 + 1}$
$c = 3,17\ atau\ c = -5,7$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 3,17$. Dengan demikian:
$m_2 = 1,09 → c_2 = 3,17$
Persamaan garis persekutuan 2 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$1,09x + y + 3,17 = 0$

Persamaan (**):
$8 - 6m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$
$64 - 96m + 36m^2 = 49(m^2 + 1)$
$64 - 96m + 36m^2 = 49m^2 + 49$
$13m^2 + 96m - 15 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{34} &= \dfrac{-96 \pm \sqrt{96^2 - 4.13.(-15)}}{2.13}\\
&= \dfrac{-96 \pm \sqrt{9996}}{26}\\
&= \dfrac{-96 \pm 99,98}{26}\\
m_3 &= 0,15\\
m_4 &= -7,54\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_3 = 0,15$ → $c = 2 - 3.0,15 \pm 3\sqrt{0,15^2 + 1}$
$c = 4,58\ atau\ c = -1,48$

Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -1,48$. Dengan demikian:
$m_3 = 0,15 → c_3 = -1,48$
Persamaan garis persekutuan 3 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$0,15x + y - 1,48 = 0$

$c = 2 - 3m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_4 = -7,54$ → $c = 2 - 3.(-7,54) \pm 3\sqrt{(-7,54)^2 + 1}$
$c = 47,43\ atau\ c = 1,8$

Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{-3m + 6 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 1,8$. Dengan demikian:
$m_4 = -7,54 → c_4 = 1,8$
Persamaan garis persekutuan 4 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$-7,54x + y + 1,8 = 0$

Dengan demikian persamaan-persamaan garis singgung persekutuannya adalah:
$a.\ 1,66x + y - 8,79 = 0$
$b.\ 1,09x + y + 3,17 = 0$
$c.\ 0,15x + y - 1,48 = 0$
$d.\ -7,54x + y + 1,8 = 0$

Contoh soal nomor 2:
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran A: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 - 10x - 2y + 17 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$
$Pusat = A(1, -2)$
$\begin{align}
R_A^2 &= \dfrac14.(-2)^2 + \dfrac14.4^2 - 1\\
&= 1 + 4 - 1\\
&= 4\\
R_A &= 2\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$x^2 + y^2 - 10x - 2y + 17 = 0$
$Pusat = B(5, 1)$
$\begin{align}
R_B^2 &= \dfrac14.(-10)^2 + \dfrac14.(-2)^2 - 17\\
&= 25 + 1 - 17\\
&= 9\\
R_B &= 3\\
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB &= (5 - 1)^2 + (1 - (-2))^2\\
&= 4^2 + 3^2\\
&= 25\\
AB &= 5\\
\end{align}$

$AB = R_A + R_B$ → Lingkaran A dengan lingkaran B saling bersinggungan, dengan demikian ada 3 garis singgung persekutuan. Perhatikan gambar!


Misalkan persamaan garis singgung persekutuannya adalah $mx + y + c = 0$. Jarak titik pusat lingkaran A dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran A dan jarak titik pusat lingkaran B dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran B. Ingat rumus jarak antara titik dengan garis!

$R_A = \left|\dfrac{m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$2 = \left|\dfrac{m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 2$
$m - 2 + c = \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (1)

$R_B = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 3$
$5m + 1 + c = \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$c = -5m - 1 \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):
$2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1} = -5m - 1 \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$4m + 3 = \pm 2\sqrt{m^2 + 1} \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
Persamaan menjadi:
$4m + 3 = \pm \sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (*)
$4m + 3 = \pm 5\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (**)

Kerjakan persamaan (*) dan (**) satu persatu!
Persamaan (*):
$4m + 3 = \pm \sqrt{m^2 + 1}$
$16m^2 + 24m + 9 = m^2 + 1$
$15m^2 + 24m + 8 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{12} &= \dfrac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4.15.8}}{2.15}\\
&= \dfrac{-24 \pm \sqrt{96}}{30}\\
&= \dfrac{-24 \pm 9,8}{30}\\
m_1 &= -0,47\\
m_2 &= -1,13\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$m_1 = -0,47$ → $c = 2 - (-0,47) \pm 2\sqrt{(-0,47)^2 + 1}$
$c = 4,68\ atau\ c = 0,26$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 4,68$. Dengan demikian:
$m_1 = -0,47 → c_1 = 4,68$
Persamaan garis persekutuan 1 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$-0,47x + y + 4,68 = 0$

$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$m_2 = -1,13$ → $c = 2 - (-1,13) \pm 2\sqrt{(-1,13)^2 + 1}$
$c = 6,15\ atau\ c = 0,11$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 0,11$. Dengan demikian:
$m_2 = -1,13 → c_2 = 0,11$
Persamaan garis persekutuan 2 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$-1,13x + y + 0,11 = 0$

Persamaan (**):
$4m + 3 = \pm 5\sqrt{m^2 + 1}$
$16m^2 + 24m + 9 = 25(m^2 + 1)$
$16m^2 + 24m + 9 = 25m^2 + 25$
$9m^2 - 24m + 16 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{34} &= \dfrac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4.9.(16)}}{2.9}\\
&= \dfrac{24 \pm \sqrt{0}}{18}\\
&= \dfrac{24}{18}\\
m_3 &= \dfrac43\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - m \pm 2\sqrt{m^2 + 1}$
$m_3 = \dfrac43$ → $c = 2 - \dfrac43 \pm 2\sqrt{\left(\dfrac43\right)^2 + 1}$
$c = 4\ atau\ c = -2,67$

Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $3 = \left|\dfrac{5m + 1 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -2,67$. Dengan demikian:
$m_3 = \dfrac43 → c_3 = -2,67$
Persamaan garis persekutuan 3 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$\dfrac43x + y - 2,67 = 0$

Dengan demikian persamaan-persamaan garis singgung persekutuannya adalah:
$a.\ -0,47x + y + 4,68 = 0$
$b.\ -1,13x + y + 0,11 = 0$
$c.\ \dfrac43x + y - 2,67 = 0$

Contoh Soal nomor 3:
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dari lingkaran A: $x^2 + y^2 -8x + 4y + 11 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$x^2 + y^2 - 8x + 4y + 11 = 0$
$Pusat = A(4, -2)$
$\begin{align}
R_A^2 &= \dfrac14.(-8)^2 + \dfrac14.4^2 - 11\\
&= 16 + 4 - 11\\
&= 9\\
R_A &= 3\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$
$Pusat = B(1, 2)$
$\begin{align}
R_B^2 &= \dfrac14.(-2)^2 + \dfrac14.(-4)^2 + 11\\
&= 1 + 4 + 11\\
&= 16\\
R_B &= 4\\
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB &= (1 - 4)^2 + (2 - (-2))^2\\
&= (-3)^2 + 4^2\\
&= 25\\
AB &= 5\\
\end{align}$

$AB < R_A + R_B$ → Lingkaran A dengan lingkaran B saling berpotongan di dua titik yang berbeda, dengan demikian ada 2 garis singgung persekutuan. Perhatikan gambar!

Misalkan persamaan garis singgung persekutuannya adalah $mx + y + c = 0$. Jarak titik pusat lingkaran A dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran A dan jarak titik pusat lingkaran B dengan garis singgung sama dengan panjang jari-jari lingkaran B. Ingat rumus jarak antara titik dengan garis!

$R_A = \left|\dfrac{4m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$3 = \left|\dfrac{4m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{4m - 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 3$
$4m - 2 + c = \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$c = 2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (1)

$R_B = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$
$\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}} = \pm 4$
$m + 2 + c = \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$c = -m - 2 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):
$2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1} = -m - 2 \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
$4 - 3m = \pm 3\sqrt{m^2 + 1} \pm 4\sqrt{m^2 + 1}$
Persamaan menjadi:
$4 - 3m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (*)
$4 - 3m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$ . . . . (**)

Kerjakan persamaan (*) dan (**) satu persatu!
Persamaan (*):
$4 - 3m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$
$16 - 24m + 9m^2 = m^2 + 1$
$8m^2 - 24m + 15 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{12} &= \dfrac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4.8.15}}{2.8}\\
&= \dfrac{24 \pm \sqrt{96}}{16}\\
&= \dfrac{24 \pm 9,8}{16}\\
m_1 &= 2,11\\
m_2 &= 0,89\\
\end{align}$

Untuk mendapatkan nilai dari $c$ masukkan nilai-nilai $m$ ke dalam persamaan (1) dan chek dengan persamaan $4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ apakah memenuhi atau tidak.
$c = 2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_1 = 2,11$ → $c = 2 - 4.2,11 \pm 3\sqrt{2,11^2 + 1}$
$c = 0,56\ atau\ c = -13,44$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = -13,44$. Dengan demikian:
$m_1 = 2,11 → c_1 = -13,44$
Persamaan garis persekutuan 1 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$2,11x + y - 13,44 = 0$

$c = 2 - 4m \pm 3\sqrt{m^2 + 1}$
$m_2 = 0,89$ → $c = 2 - 4.0,89 \pm 3\sqrt{0,89^2 + 1}$
$c = 2,46\ atau\ c = -5,58$
Dengan menguji nilai $c$ ke dalam persamaan $4 = \left|\dfrac{m + 2 + c}{\sqrt{m^2 + 1}}\right|$ didapat nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 2,46$. Dengan demikian:
$m_2 = 0,89 → c_2 = 2,46$
Persamaan garis persekutuan 2 menjadi:
$mx + y + c = 0$
$0,89x + y + 2,46 = 0$

Persamaan (**):
$4 - 3m = \pm 7\sqrt{m^2 + 1}$
$16 - 24m + 9m^2 = 49(m^2 + 1)$
$16 - 24m + 9m^2 = 49m^2 + 49$
$40m^2 + 24m + 33 = 0$
Dengan menggunakan rumus ABC:
$\begin{align}
m_{34} &= \dfrac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4.40.33}}{2.40}\\
&= \dfrac{-24 \pm \sqrt{-4704}}{80}\\
\end{align}$

Tidak ada nilai $m$ yang memenuhi, karena tidak ada akar negatif.

Dengan demikian persamaan-persamaan garis singgung persekutuannya adalah:
$a.\ 2,11x + y - 13,44 = 0$
$b.\ 0,89x + y + 2,46 = 0$

Contoh soal nomor 4:
Tentukanlah persamaan garis singgung persekutuan lingkaran A: $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$ dengan lingkaran B: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0$.

Penyelesaian:
Lingkaran A:
$Pusat = A(-2, 3)$
$\begin{align}
R_A^2 &= \dfrac14.(-4)^2 + \dfrac14.(-6)^2 - 4\\
&= 4 + 9 - 4\\
&= 9\\
R_A &= 3\\
\end{align}$

Lingkaran B:
$Pusat = B(-1, 4)$
$\begin{align}
R_B^2 &= \dfrac14.2^2 + \dfrac14.(-8)^2 + 8\\
&= 1 + 16 + 8\\
&= 25\\
R_B &= 5
\end{align}$

Jarak pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B:
$\begin{align}
AB^2 &= (-1 - (-2))^2 + (4 - 3)^2\\
&= 1^2 + 1^2\\
&= 2\\
AB &= \sqrt{2}\\
\end{align}$

$AB < |R_A - R_B|$, dengan $R_A < R_B$, maka lingkaran A ada di dalam lingkaran B, dengan demikian lingkaran A dan lingkaran B tidak memiliki garis singgung persekutuan. Demikianlah pembahasan tentang garis singgung persekutuan dua lingkaran SMA kelas 11, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.