Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Menyusun persamaan kuadrat adalah mencari persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui, atau akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lain. Disini akan dibahas juga persamaan kuadrat yang akar-akarnya simetris. Misalnya akar-akar suatu persamaan kuadrat diketahui $x_1$ dan $x_2$, kemudian ditanyakan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya misalnya $x_1 + 2$ dan $x_2 + 2$. Karena akar-akarnya $x_1 + 2$ dan $x_2 + 2$ dimana $x_1$ dan $x_2$ sama-sama ditambah dengan 2, maka akar-akarnya disebut simetris. Untuk lebih memahami persamaan kuadrat yang akar-akarnya simetris, simak contoh-contoh soal dan penjelasan-penjelasan di bawah.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ adalah:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
Jika akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ maka persamaannya adalah:
$x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
Apabila akar-akarnya simetris, kita bisa melakukan penggantian $x$ untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang baru, tergantung hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat yang baru dengan persamaan kuadrat yang lama. Misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah $\alpha$ dan $\beta$ dan akar persamaan kuadrat yang lama adalah $x_1$ dan $x_2$.

A. jika $\alpha = x_1 + n$ dan $\beta = x_2 + n$, ganti $x$ dengan $x - n$
B. jika $\alpha = x_1 - n$ dan $\beta = x_2 - n$, ganti $x$ dengan $x + n$
C. jika $\alpha = nx_1$ dan $\beta = nx_2$, ganti $x$ dengan $\dfrac{x}{n}$
D. jika $\alpha = \dfrac{x_1}{n}$ dan $\beta = \dfrac{x_2}{n}$, ganti $x$ dengan $nx$
E. jika $\alpha = \dfrac{1}{x_1}$ dan $\beta = \dfrac{1}{x_2}$, ganti $x$ dengan $\dfrac{1}{x}$
F. jika $\alpha = \dfrac{n}{x_1}$ dan $\beta = \dfrac{n}{x_2}$, ganti $x$ dengan $\dfrac{n}{x}$
G. jika $\alpha = x_1^{2}$ dan $\beta = x_2^{2}$, ganti $x$ dengan $\sqrt{x}$
H. jika $\alpha = -x_1$ dan $\beta = -x_2$, ganti $x$ dengan $-x$
Supaya lebih jelas, simak soal-soal berikut!

Contoh Soal 1:.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2\ dan\ 5$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} - 3x - 10 = 0$
  $B.\ x^{2} + 3x - 10 = 0$
  $C.\ x^{2} - 3x + 10 = 0$
  $D.\ x^{2} + 3x + 10 = 0$
  $E.\ 2x^{2} - 3x - 5 = 0$

Pembahasan:
$x_1 = -2$
$x_2 = 5$
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1.x_2 = 0$
$x^{2} - ( -2 + 5)x + (-2).5 = 0$
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 2:
Bila $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 3x + 2 = 0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\alpha + 1$ dan $\beta + 1$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} + 6x + 5 = 0$
  $B.\ x^{2} + 5x + 6 = 0$
  $C.\ x^{2} - 6x + 5 = 0$
  $D.\ x^{2} - 5x + 6 = 0$
  $E.\ x^{2} - 5x - 6 = 0$

Pembahasan:
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = 3$
$\alpha.\beta = \dfrac{c}{a} = 2$
misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $x_1$ dan $x_2$, dimana:
$x_1 = \alpha + 1$ dan $x_2 = \beta + 1$
sehingga:
$x_1 + x_2 = \alpha + 1 + \beta + 1$
$= \alpha + \beta + 2$
$= 3 + 2$
$= 5$
$x_1.x_2 = (\alpha + 1)(\beta + 1)$
$= \alpha\beta + \alpha + \beta + 1$
$= 2 + 3 + 1$
$= 6$

persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
jawab: D.

Cara Cepat:
Ganti $x$ dengan $(x - 1)$.
$x^{2} - 3x + 2 = 0$
menjadi:
$(x - 1)^{2} - 3(x - 1) + 2 = 0$
$x^{2} - 2x + 1 - 3x + 3 + 2 = 0$
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
jawab: D.


Contoh soal 3:
Persamaan kuadrat $3x^{2} + 2x - 6 = 0$ akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_1}$ dan $\dfrac{1}{x_2}$ adalah . . . .
  $A.\ 6x^{2} - 3x + 2 = 0$
  $B.\ 6x^{2} + 3x - 2 = 0$
  $C.\ 3x^{2} - 6x + 2 = 0$
  $D.\ 3x^{2} - 3x + 6 = 0$
  $E.\ 6x^{2} - 2x - 3 = 0$

Pembahasan:
Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya $a$ dan $b$, dimana:
$a = \dfrac{1}{x_1}$ dan $b = \dfrac{1}{x_2}$.
$\begin{align}
x_1 + x_2 &= -\dfrac23\\
x_1.x_2 &= -2\\
a + b &= \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\\
&= \dfrac{x_1 + x_2}{x_1.x_2}\\
&= \dfrac{-\dfrac23}{-2}\\
&= \dfrac13\\
\\
a.b &= \dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}\\
&= \dfrac{1}{x_1.x_2}\\
&= \dfrac{1}{-2}\\
&= -\dfrac12\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (a + b)x + a.b = 0$
$x^2 - \dfrac13x - \dfrac12 = 0$
$6x^2 - 2x - 3 = 0$
jawab: E.

Cara cepat:
Ganti $x$ dengan $\dfrac{1}{x}$
$3x^{2} + 2x - 6 = 0$
menjadi:
$3\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} + 2.\left(\dfrac{1}{x}\right) - 6 = 0$
$\dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{2}{x} - 6 = 0$
$3 + 2x - 6x^{2} = 0$ → semua dikal $x^{2}$
$6x^{2} - 2x - 3 = 0$
jawab: E.

Contoh soal 4:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya empat kali akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} - 3x - 2 = 0$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} - 6x - 16 = 0$
  $B.\ x^{2} - 6x + 16 = 0$
  $C.\ x^{2} + 6x - 16 = 0$
  $D.\ x^{2} + 6x + 16 = 0$
  $E.\ x^{2} - 16x + 6 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah $a$ dan $b$ dan persamaan kuadrat yang baru misalkan akar-akarnya adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = 4a$
$q = 4b$
$\begin{align}
a + b &= \dfrac32\\
a.b &= -1\\
\\
p + q &= 4a + 4b\\
&= 4(a + b)\\
&= 4.\dfrac32\\
&= 6\\
\\
p.q &= 4a.4b\\
&= 16ab\\
&= 16.(-1)\\
&= -16\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
jawab: A.

Cara cepat:
ganti $x$ dengan $\dfrac{x}{4}$
$2x^{2} - 3x - 2 = 0$
menjadi:
$2\left(\dfrac{x}{4}\right)^{2} - 3.\dfrac{x}{4} - 2 = 0$
$\dfrac{2x^{2}}{16} - \dfrac{3x}{4} - 2 = 0$
$x^{2} - 6x - 16 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 5:
$x_1\ dan\ x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 3x + 2 = 0$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1^{2}$ dan $x_2^{2}$ adalah . . . .
  $A.\ 9x^{2} - 3x + 4 = 0$
  $B.\ 9x^{2} + 3x + 4 = 0$
  $C.\ 4x^{2} - 3x - 9 = 0$
  $D.\ 9x^{2} + 3x 4 = 0$
  $E.\ 4x^{2} - 3x + 9 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = x_1^2$
$q = x_2^2$

$\begin{align}
x_1 + x_2 &= 1\\
x_1.x_2 &= \dfrac23\\
p + q &= x_1^2 + x_2^2\\
&= (x_1 + x^2)^2 - 2x_1x_2\\
&= (1)^2 - 2.\dfrac23\\
&= 1 - \dfrac43\\
&= -\dfrac13\\
\\
p.q &= x_1^2.x_2^2\\
&= (x_1.x_2)^2\\
&= \left(\dfrac23\right)^2\\
&= \dfrac49\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac13\right)x + \dfrac49 = 0$
$9x^2 + 3x + 4 = 0$
jawab: B.

Cara cepat:
ganti $x$ dengan $\sqrt{x}$
$3x^{2} - 3x + 2 = 0$.
menjadi:
$3(\sqrt{x})^{2} - 3\sqrt{x} + 2 = 0$.
$3x + 2 = 3\sqrt{x}$
$(3x + 2)^{2} = (3\sqrt{x})^{2}$
$9x^{2} + 12x + 4 = 9x$
$9x^{2} + 3x + 4 = 0$
jawab: B.

Contoh soal 6:
Akar-akar persamaan $x^2 + 6x - 12 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left(\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2}\right)$ dan $x_1x_2$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + 9x - 18 = 0$
$B.\ x^2 - 21x - 18 = 0$
$C.\ x^2 + 21x + 24 = 0$
$D.\ 2x^2 + 21x - 24 = 0$
$E.\ 2x^2 + 21x - 18 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$\begin{align}
p &= \left(\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2}\right)\\
&= \dfrac{3(x_1 + x_2)}{x_1x_2}\\
&= \dfrac{3.(-6)}{-12}\\
&= \dfrac32\\
\\
q &= x_1x_2\\
&= -12\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - \left(\dfrac32 - 12\right)x - 12 = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac{21}{2}\right)x - 12 = 0$
$x^2 + \dfrac{21}{2}x - 12 = 0$
$2x^2 + 21x - 24 = 0$
jawab: D.

Akar-akar persamaan kuadrat baru tidaklah simetris.


Contoh Soal 7:
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - 4x + 3 = 0$ adalah $x_1\ dan\ x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2x_1 + 5$ dan $2x_2 + 5$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 2x + 3 = 0$
$B.\ x^2 - 2x - 3 = 0$
$C.\ x^2 - 6x - 7 = 0$
$D.\ x^2 - 18x + 77 = 0$
$E.\ x^2 + 18x + 77 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = 2x_1 + 5$
$q = 2x_2 + 5$

$x_1 + x_2 = 4$
$x_1x_2 = 3$

$\begin{align}
p + q &= 2x_1 + 5 + 2x_2 + 5\\
&= 2(x_1 + x_2) + 10\\
&= 2.4 + 10\\
&= 18\\
\\
pq &= (2x_1 + 5)(2x_2 + 5)\\
&= 4x_1x_2 + 10(x_1 + x_2) + 25\\
&= 4.3 + 10.4 + 25\\
&= 12 + 40 + 25\\
&= 77\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 18x + 77 = 0$
jawab: D.

Cara cepat:
Mencari pengganti $x$, lakukan trik berikut:
Misalkan salah satu akar persamaan kuadrat adalah $x$, sehingga:
$2x_1 + 5 = x$
$2x_1 = x - 5$
$x_1 = \dfrac{x - 5}{2}$

kemudian ganti $x$ pada persamaan $x^2 - 4x + 3$ dengan $\dfrac{x - 5}{2}$ seperti berikut:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$\left(\dfrac{x - 5}{2}\right)^2 - 4\left(\dfrac{x - 5}{2}\right) + 3 = 0$
$\dfrac{x^2 - 10x + 25}{4} - 2x + 13 = 0$
$x^2 - 10x + 25 - 8x + 52 = 0$
$x^2 - 18x + 77 = 0$
jawab: D.

Contoh soal 8:
Jika $x_1\ dan\ x_2$ adalah akar-akar persamaan $x^2 - x + 2 = 0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2x_1 - 2$ dan $2x_2 - 2$ adalah . . . .
$A.\ 8x^2 + 2x + 1 = 0$
$B.\ x^2 + 8x + 2 = 0$
$C.\ x^2 + 2x + 8 = 0$
$D.\ x^2 - 8x - 2 = 0$
$E.\ x^2 - 2x + 8 = 0$

Pembahasan:
Berhubung akar-akarnya simetris, kita langsung ke cara cepatnya. Untuk mendapatkan $x$ pengganti, lakukan trik berikut:
Misalkan salah satu akar persamaan yang baru adalah $x$, sehingga:
$2x_1 - 2 = x$
$2x_1 = x + 2$
$x_1 = \dfrac{x + 2}{2}$
Kemudian ganti $x$ pada persamaan kuadrat $x^2 - x + 2 = 0$ dengan $\dfrac{x + 2}{2}$.

$x^2 - x + 2 = 0$
$\left(\dfrac{x + 2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{x + 2}{2}\right) + 2 = 0$
$\dfrac{x^2 + 4x + 4}{4} - \dfrac{x + 2}{2} + 2 = 0$
$x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 + 8 = 0$
$x^2 + 2x + 8 = 0$
jawab: C.

Contoh Soal 9:
Akar-akar persamaan $2x^2 + 3x - 2 = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\dfrac{\alpha}{\beta}$ dan $\dfrac{\beta}{\alpha}$ adalah . . . .
$A.\ 4x^2 + 17x + 4 = 0$
$B.\ 4x^2 - 17x + 4 = 0$
$C.\ 4x^2 + 17x - 4 = 0$
$D.\ 9x^2 + 22x - 9 = 0$
$E.\ 9x^2 - 22x - 9 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p\ dan\ q$, dimana:
$p = \dfrac{\alpha}{\beta}$
$q = \dfrac{\beta}{\alpha}$

$\begin{align}
p + q &= \dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}\\
&= \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\\
&= \dfrac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}\\
&= \dfrac{\left(\dfrac32\right)^2 - 2.(-1)}{-1}\\
&= \dfrac{\dfrac94 + 2}{-1}\\
&= -\dfrac{17}{4}
\\
pq &= \dfrac{\alpha}{\beta}.\dfrac{\beta}{\alpha}\\
&= 1\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q) + pq = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac{17}{4}\right)x + 1 = 0$
$x^2 + \dfrac{17}{4}x + 1 = 0$
$4x^2 + 17x + 4 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 10:
Akar-akar persamaan $x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah $a\ dan\ b$. Persamaan yang akar-akarnya adalah $a^2 + 1$ dan $b^2 + 1$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 15x + 18 = 0$
$B.\ x^2 - 18x + 15 = 0$
$C.\ x^2 + 15x + 18 = 0$
$D.\ x^2 + 15x - 18 = 0$
$E.\ 4x^2 - 15x + 18 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = a^2 + 1$
$q = b^2 + 1$

$a + b = 3$
$ab = -2$
$\begin{align}
p + q &= a^2 + 1 + b^2 + 1\\
&= a^2 + b^2 + 2\\
&= (a + b)^2 - 2ab + 2\\
&= 3^2 - 2.(-2) + 2\\
&= 9 + 4 + 2\\
&= 15\\
\\
pq &= (a^2 + 1)(b^2 + 1)\\
&= a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1\\
&= (ab)^2 + (a + b)^2 - 2ab + 1\\
&= (-2)^2 + 3^2 - 2.(-2) + 1\\
&= 4 + 9 + 4 + 1\\
&= 18\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 15x + 18 = 0$
jawab: A.

Demikianlah cara menyusun persamaan kuadrat baru serta contoh soal dan pembahasan, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com





Post a Comment for "Menyusun Persamaan Kuadrat Baru"