MARETONG: Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Friday, January 24, 2020

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Menyusun persamaan kuadrat adalah mencari persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui, atau akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lain. Disini akan dibahas juga persamaan kuadrat yang akar-akarnya simetris. Misalnya akar-akar suatu persamaan kuadrat diketahui $x_1$ dan $x_2$, kemudian ditanyakan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya misalnya $x_1 + 2$ dan $x_2 + 2$. Karena akar-akarnya $x_1 + 2$ dan $x_2 + 2$ dimana $x_1$ dan $x_2$ sama-sama ditambah dengan 2, maka akar-akarnya disebut simetris. Untuk lebih memahami persamaan kuadrat yang akar-akarnya simetris, simak contoh-contoh soal dan penjelasan-penjelasan di bawah.
Ingat!
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ adalah:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
Jika akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ maka persamaannya adalah:
$x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
Apabila akar-akarnya simetris, kita bisa melakukan penggantian $x$ untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang baru, tergantung hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat yang baru dengan persamaan kuadrat yang lama. Misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah $\alpha$ dan $\beta$ dan akar persamaan kuadrat yang lama adalah $x_1$ dan $x_2$.

A. jika $\alpha = x_1 + n$ dan $\beta = x_2 + n$, ganti $x$ dengan $x - n$
B. jika $\alpha = x_1 - n$ dan $\beta = x_2 - n$, ganti $x$ dengan $x + n$
C. jika $\alpha = nx_1$ dan $\beta = nx_2$, ganti $x$ dengan $\dfrac{x}{n}$
D. jika $\alpha = \dfrac{x_1}{n}$ dan $\beta = \dfrac{x_2}{n}$, ganti $x$ dengan $nx$
E. jika $\alpha = \dfrac{1}{x_1}$ dan $\beta = \dfrac{1}{x_2}$, ganti $x$ dengan $\dfrac{1}{x}$
F. jika $\alpha = \dfrac{n}{x_1}$ dan $\beta = \dfrac{n}{x_2}$, ganti $x$ dengan $\dfrac{n}{x}$
G. jika $\alpha = x_1^{2}$ dan $\beta = x_2^{2}$, ganti $x$ dengan $\sqrt{x}$
H. jika $\alpha = -x_1$ dan $\beta = -x_2$, ganti $x$ dengan $-x$
Supaya lebih jelas, simak soal-soal berikut!

Contoh Soal 1:.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2\ dan\ 5$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} - 3x - 10 = 0$
  $B.\ x^{2} + 3x - 10 = 0$
  $C.\ x^{2} - 3x + 10 = 0$
  $D.\ x^{2} + 3x + 10 = 0$
  $E.\ 2x^{2} - 3x - 5 = 0$

Pembahasan:
$x_1 = -2$
$x_2 = 5$
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1.x_2 = 0$
$x^{2} - ( -2 + 5)x + (-2).5 = 0$
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 2:
Bila $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 3x + 2 = 0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\alpha + 1$ dan $\beta + 1$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} + 6x + 5 = 0$
  $B.\ x^{2} + 5x + 6 = 0$
  $C.\ x^{2} - 6x + 5 = 0$
  $D.\ x^{2} - 5x + 6 = 0$
  $E.\ x^{2} - 5x - 6 = 0$

Pembahasan:
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = 3$
$\alpha.\beta = \dfrac{c}{a} = 2$
misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $x_1$ dan $x_2$, dimana:
$x_1 = \alpha + 1$ dan $x_2 = \beta + 1$
sehingga:
$x_1 + x_2 = \alpha + 1 + \beta + 1$
$= \alpha + \beta + 2$
$= 3 + 2$
$= 5$
$x_1.x_2 = (\alpha + 1)(\beta + 1)$
$= \alpha\beta + \alpha + \beta + 1$
$= 2 + 3 + 1$
$= 6$

persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
jawab: D.

Cara Cepat:
Ganti $x$ dengan $(x - 1)$.
$x^{2} - 3x + 2 = 0$
menjadi:
$(x - 1)^{2} - 3(x - 1) + 2 = 0$
$x^{2} - 2x + 1 - 3x + 3 + 2 = 0$
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
jawab: D.

Contoh soal 3:
Persamaan kuadrat $3x^{2} + 2x - 6 = 0$ akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_1}$ dan $\dfrac{1}{x_2}$ adalah . . . .
  $A.\ 6x^{2} - 3x + 2 = 0$
  $B.\ 6x^{2} + 3x - 2 = 0$
  $C.\ 3x^{2} - 6x + 2 = 0$
  $D.\ 3x^{2} - 3x + 6 = 0$
  $E.\ 6x^{2} - 2x - 3 = 0$

Pembahasan:
Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya $a$ dan $b$, dimana:
$a = \dfrac{1}{x_1}$ dan $b = \dfrac{1}{x_2}$.
$\begin{align}
x_1 + x_2 &= -\dfrac23\\
x_1.x_2 &= -2\\
a + b &= \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\\
&= \dfrac{x_1 + x_2}{x_1.x_2}\\
&= \dfrac{-\dfrac23}{-2}\\
&= \dfrac13\\
\\
a.b &= \dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}\\
&= \dfrac{1}{x_1.x_2}\\
&= \dfrac{1}{-2}\\
&= -\dfrac12\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (a + b)x + a.b = 0$
$x^2 - \dfrac13x - \dfrac12 = 0$
$6x^2 - 2x - 3 = 0$
jawab: E.

Cara cepat:
Ganti $x$ dengan $\dfrac{1}{x}$
$3x^{2} + 2x - 6 = 0$
menjadi:
$3\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} + 2.\left(\dfrac{1}{x}\right) - 6 = 0$
$\dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{2}{x} - 6 = 0$
$3 + 2x - 6x^{2} = 0$ → semua dikal $x^{2}$
$6x^{2} - 2x - 3 = 0$
jawab: E.

Contoh soal 4:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya empat kali akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} - 3x - 2 = 0$ adalah . . . .
  $A.\ x^{2} - 6x - 16 = 0$
  $B.\ x^{2} - 6x + 16 = 0$
  $C.\ x^{2} + 6x - 16 = 0$
  $D.\ x^{2} + 6x + 16 = 0$
  $E.\ x^{2} - 16x + 6 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah $a$ dan $b$ dan persamaan kuadrat yang baru misalkan akar-akarnya adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = 4a$
$q = 4b$
$\begin{align}
a + b &= \dfrac32\\
a.b &= -1\\
\\
p + q &= 4a + 4b\\
&= 4(a + b)\\
&= 4.\dfrac32\\
&= 6\\
\\
p.q &= 4a.4b\\
&= 16ab\\
&= 16.(-1)\\
&= -16\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
jawab: A.

Cara cepat:
ganti $x$ dengan $\dfrac{x}{4}$
$2x^{2} - 3x - 2 = 0$
menjadi:
$2\left(\dfrac{x}{4}\right)^{2} - 3.\dfrac{x}{4} - 2 = 0$
$\dfrac{2x^{2}}{16} - \dfrac{3x}{4} - 2 = 0$
$x^{2} - 6x - 16 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 5:
$x_1\ dan\ x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 3x + 2 = 0$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1^{2}$ dan $x_2^{2}$ adalah . . . .
  $A.\ 9x^{2} - 3x + 4 = 0$
  $B.\ 9x^{2} + 3x + 4 = 0$
  $C.\ 4x^{2} - 3x - 9 = 0$
  $D.\ 9x^{2} + 3x 4 = 0$
  $E.\ 4x^{2} - 3x + 9 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = x_1^2$
$q = x_2^2$

$\begin{align}
x_1 + x_2 &= 1\\
x_1.x_2 &= \dfrac23\\
p + q &= x_1^2 + x_2^2\\
&= (x_1 + x^2)^2 - 2x_1x_2\\
&= (1)^2 - 2.\dfrac23\\
&= 1 - \dfrac43\\
&= -\dfrac13\\
\\
p.q &= x_1^2.x_2^2\\
&= (x_1.x_2)^2\\
&= \left(\dfrac23\right)^2\\
&= \dfrac49\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac13\right)x + \dfrac49 = 0$
$9x^2 + 3x + 4 = 0$
jawab: B.

Cara cepat:
ganti $x$ dengan $\sqrt{x}$
$3x^{2} - 3x + 2 = 0$.
menjadi:
$3(\sqrt{x})^{2} - 3\sqrt{x} + 2 = 0$.
$3x + 2 = 3\sqrt{x}$
$(3x + 2)^{2} = (3\sqrt{x})^{2}$
$9x^{2} + 12x + 4 = 9x$
$9x^{2} + 3x + 4 = 0$
jawab: B.

Contoh soal 6:
Akar-akar persamaan $x^2 + 6x - 12 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left(\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2}\right)$ dan $x_1x_2$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + 9x - 18 = 0$
$B.\ x^2 - 21x - 18 = 0$
$C.\ x^2 + 21x + 24 = 0$
$D.\ 2x^2 + 21x - 24 = 0$
$E.\ 2x^2 + 21x - 18 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$\begin{align}
p &= \left(\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2}\right)\\
&= \dfrac{3(x_1 + x_2)}{x_1x_2}\\
&= \dfrac{3.(-6)}{-12}\\
&= \dfrac32\\
\\
q &= x_1x_2\\
&= -12\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - \left(\dfrac32 - 12\right)x - 12 = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac{21}{2}\right)x - 12 = 0$
$x^2 + \dfrac{21}{2}x - 12 = 0$
$2x^2 + 21x - 24 = 0$
jawab: D.

Akar-akar persamaan kuadrat baru tidaklah simetris.

Contoh Soal 7:
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - 4x + 3 = 0$ adalah $x_1\ dan\ x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2x_1 + 5$ dan $2x_2 + 5$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 2x + 3 = 0$
$B.\ x^2 - 2x - 3 = 0$
$C.\ x^2 - 6x - 7 = 0$
$D.\ x^2 - 18x + 77 = 0$
$E.\ x^2 + 18x + 77 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = 2x_1 + 5$
$q = 2x_2 + 5$

$x_1 + x_2 = 4$
$x_1x_2 = 3$

$\begin{align}
p + q &= 2x_1 + 5 + 2x_2 + 5\\
&= 2(x_1 + x_2) + 10\\
&= 2.4 + 10\\
&= 18\\
\\
pq &= (2x_1 + 5)(2x_2 + 5)\\
&= 4x_1x_2 + 10(x_1 + x_2) + 25\\
&= 4.3 + 10.4 + 25\\
&= 12 + 40 + 25\\
&= 77\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 18x + 77 = 0$
jawab: D.

Cara cepat:
Mencari pengganti $x$, lakukan trik berikut:
Misalkan salah satu akar persamaan kuadrat adalah $x$, sehingga:
$2x_1 + 5 = x$
$2x_1 = x - 5$
$x_1 = \dfrac{x - 5}{2}$

kemudian ganti $x$ pada persamaan $x^2 - 4x + 3$ dengan $\dfrac{x - 5}{2}$ seperti berikut:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$\left(\dfrac{x - 5}{2}\right)^2 - 4\left(\dfrac{x - 5}{2}\right) + 3 = 0$
$\dfrac{x^2 - 10x + 25}{4} - 2x + 13 = 0$
$x^2 - 10x + 25 - 8x + 52 = 0$
$x^2 - 18x + 77 = 0$
jawab: D.

Contoh soal 8:
Jika $x_1\ dan\ x_2$ adalah akar-akar persamaan $x^2 - x + 2 = 0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2x_1 - 2$ dan $2x_2 - 2$ adalah . . . .
$A.\ 8x^2 + 2x + 1 = 0$
$B.\ x^2 + 8x + 2 = 0$
$C.\ x^2 + 2x + 8 = 0$
$D.\ x^2 - 8x - 2 = 0$
$E.\ x^2 - 2x + 8 = 0$

Pembahasan:
Berhubung akar-akarnya simetris, kita langsung ke cara cepatnya. Untuk mendapatkan $x$ pengganti, lakukan trik berikut:
Misalkan salah satu akar persamaan yang baru adalah $x$, sehingga:
$2x_1 - 2 = x$
$2x_1 = x + 2$
$x_1 = \dfrac{x + 2}{2}$
Kemudian ganti $x$ pada persamaan kuadrat $x^2 - x + 2 = 0$ dengan $\dfrac{x + 2}{2}$.

$x^2 - x + 2 = 0$
$\left(\dfrac{x + 2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{x + 2}{2}\right) + 2 = 0$
$\dfrac{x^2 + 4x + 4}{4} - \dfrac{x + 2}{2} + 2 = 0$
$x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 + 8 = 0$
$x^2 + 2x + 8 = 0$
jawab: C.

Contoh Soal 9:
Akar-akar persamaan $2x^2 + 3x - 2 = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\dfrac{\alpha}{\beta}$ dan $\dfrac{\beta}{\alpha}$ adalah . . . .
$A.\ 4x^2 + 17x + 4 = 0$
$B.\ 4x^2 - 17x + 4 = 0$
$C.\ 4x^2 + 17x - 4 = 0$
$D.\ 9x^2 + 22x - 9 = 0$
$E.\ 9x^2 - 22x - 9 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p\ dan\ q$, dimana:
$p = \dfrac{\alpha}{\beta}$
$q = \dfrac{\beta}{\alpha}$

$\begin{align}
p + q &= \dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}\\
&= \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\\
&= \dfrac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}\\
&= \dfrac{\left(\dfrac32\right)^2 - 2.(-1)}{-1}\\
&= \dfrac{\dfrac94 + 2}{-1}\\
&= -\dfrac{17}{4}
\\
pq &= \dfrac{\alpha}{\beta}.\dfrac{\beta}{\alpha}\\
&= 1\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat baru menjadi:
$x^2 - (p + q) + pq = 0$
$x^2 - \left(-\dfrac{17}{4}\right)x + 1 = 0$
$x^2 + \dfrac{17}{4}x + 1 = 0$
$4x^2 + 17x + 4 = 0$
jawab: A.

Contoh soal 10:
Akar-akar persamaan $x^2 - 3x - 2 = 0$ adalah $a\ dan\ b$. Persamaan yang akar-akarnya adalah $a^2 + 1$ dan $b^2 + 1$ adalah . . . .
$A.\ x^2 - 15x + 18 = 0$
$B.\ x^2 - 18x + 15 = 0$
$C.\ x^2 + 15x + 18 = 0$
$D.\ x^2 + 15x - 18 = 0$
$E.\ 4x^2 - 15x + 18 = 0$

Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dimana:
$p = a^2 + 1$
$q = b^2 + 1$

$a + b = 3$
$ab = -2$
$\begin{align}
p + q &= a^2 + 1 + b^2 + 1\\
&= a^2 + b^2 + 2\\
&= (a + b)^2 - 2ab + 2\\
&= 3^2 - 2.(-2) + 2\\
&= 9 + 4 + 2\\
&= 15\\
\\
pq &= (a^2 + 1)(b^2 + 1)\\
&= a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1\\
&= (ab)^2 + (a + b)^2 - 2ab + 1\\
&= (-2)^2 + 3^2 - 2.(-2) + 1\\
&= 4 + 9 + 4 + 1\\
&= 18\\
\end{align}$

Persamaan kuadrat yang baru menjadi:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - 15x + 18 = 0$
jawab: A.

Demikianlah cara menyusun persamaan kuadrat baru serta contoh soal dan pembahasan, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST


www.maretong.com





No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.