Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak


Pengertian Nilai Mutlak

Sebelum masuk ke soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, sebaiknya kita pelajari dulu pengertian dari nilai mutlak. Nilai mutlak dari sesuatu artinya adalah nilai positif dari sesuatu tersebut. Sesuatu yang dimaksud bisa berupa konstanta, variabel, dan fungsi yang tidak konstan.

Contoh:
$a.\ |5| = 5$. Karena 5 adalah bilangan positif, maka nilai atau harga mutlak dari 5 adalah 5.
$b.\ |-5| = 5$. Karena $-5$ adalah bilangan negatif, maka nilai atau harga mutlak dari $-5$ adalah $-(-5)$.
$c.\ |7| = 7$. Karena 7 adalah bilangan positif, maka nilai atau harga mutlak dari 7 adalah 7.
$d.\ |-7| = 7$. Karena $-7$ adalah bilangan negatif, maka nilai atau harga mutlak dari $-7$ adalah $-(-7)$. Bagaimana dengan nilai mutlak dari suatu variabel? Karena variabel merupakan suatu nilai yang tidak diketahui bernilai positif atau bernilai negatif, maka nilai mutlak dari suatu variabel ada dua kemungkinan.
Contoh:
Tentukanlah nilai dari $|x|$ dari:
$a.\ x = 3$
$b.\ x = -3$
$c.\ x = -7$
$d.\ x = 7$
Jawab:
Karena $x$ adalah suatu variabel, maka nilai mutlak dari $x$ bisa diuraikan ke dalam dua bentuk, yaitu:
Bentuk pertama:
Jika $x$ bernilai positif atau sama dengan nol atau dengan kata lain jika $x$ lebih besar atau sama dengan nol $(x ≥ 0)$, maka nilai mutlak dari $x$ adalah $x$.
$\boxed{|x| = x,\ untuk\ x ≥ 0}$.
Bentuk kedua:
Jika $x$ bernilai negatif atau dengan kata lain jika $x$ lebih kecil dari nol $(x < 0)$, maka nilai mutlak dari $x$ adalah $-x$.
$\boxed{|x| = -x\ untuk\ x < 0}.$
Kita dapat menuliskannya kedalam bentuk berikut:
$|x| = \begin{cases}
x & \text{ jika } x \geq 0 \\
-x & \text{ jika } x < 0 \end{cases}$.
Berarti:
$a.\ |3| = 3$
$b.\ |-3| = -(-3) = 3$
$c.\ |-7| = -(-7) = 7$
$d.\ |7| = 7$

Sifat-sifat Persamaan Nilai Mutlak

$1.\ |p| ≥ 0$
$2.\ |-p| = |p|$
$3.\ |p + q| = |q + p|$
$4.\ |p - q| = |q - p|$
$5.\ |ab| = |a||b|$
$6.\ \left|\dfrac{p}{q} \right| = \dfrac{|p|}{|q|},\ |q| ≠ 0.$

Sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Ada beberapa sifat-sifat pertidaksamaan niali mutlak yang wajib adik-adik ingat dan kuasai. Sifat-sifat Pertidaksamaan nilai mutlak inilah yang menjadi kunci penyelesaian. Jadi, simak dan perhatikan!

Untuk a > 0
Jika $|f(x)| < a → -a < f(x) < a$
Jika $|f(x)| ≤ a → -a ≤ f(x) ≤ a$
Jika $|f(x)| > a → f(x) < -a\ atau\ f(x) > a$
Jika $|f(x)| ≥ a → f(x) ≤ -a\ atau\ f(x) ≥ a$

Jika $a < |f(x)| < b → a < f(x) < b$ atau $-b < f(x) < -a$

Jika $\dfrac{|f(x)|}{|g(x)|} < c$ maka $|f(x)| < |c.g(x)|$
⇔ $[f(x) + c.g(x)][f(x) - c.g(x)] < 0$
Hal ini berlaku juga jika tandanya adalah ≤, >, dan ≥.

Sebagai pendukung, untuk mempermudah perhitungan pelajari juga operasi aljabar berikut:
Jika |f(x)| < |g(x)| → [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] < 0
Jika |f(x)| ≤ |g(x)| → [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] ≤ 0
Jika |f(x)| > |g(x)| → [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] > 0
Jika |f(x)| ≥ |g(x)| → [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] ≥ 0

Setelah adik-adik mengerti tentang sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dan aljabar pendukung, sekarang adik-adik boleh mempelajari soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak di bawah.


Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak

$1.$ Jika $|x| = 2$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ 1\ atau\ 2$
  $B.\ -1\ atau\ 2$
  $C.\ -2\ atau\ 2$
  $D.\ -2\ saja$
  $E.\ 2\ saja$
Cara 1:
$|x| = 2$
Solusi I:
Jika $x ≥ 0$ . . . . (*),
persamaan harga mutlak menjadi:
$x = 2$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 2$.

Solusi II:
Jika $x < 0$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-x = 2$
$x = -2$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = -2$.

Himpunan penyelesaian dari persamaan harga mutlak adalah Solusi I gabung solusi II.
Jadi $x = -2$ atau $x = 2$

Cara 2:
$|x| = 2$
$\sqrt{x^2} = 2$
$x^2 = 2^2$
$x^2 - 2^2 = 0$
$(x + 2)(x - 2) = 0$
$x = -2\ atau\ x = 2$
jawab: C.

$2.$ Himpunan penyelesaian dari $|2x + 3| = 9$ adalah . . . .
  $A.\ {-6, 3}$
  $B.\ {-3, 3}$
  $C.\ {-3, 6}$
  $D.\ {2, 3}$
  $E.\ {-3, 2}$
Cara 1:
$|2x + 3| = 9$
Solusi I:
Jika $2x + 3 ≥ 0 → x ≥ -\dfrac{3}{2}$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$2x + 3 = 9$
$2x = 6$
$x = 3$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 3$.

Solusi II:
Jika $2x + 3 < 0 → x < -\dfrac{3}{2}$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-(2x + 3) = 9$
$-2x - 3 = 9$
$-2x = 12$
$x = -6$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = -6$.

Himpunan penyelesaian dari persamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II.
$HP = \{-6,\ 3\}$

Cara 2:
$|2x + 3| = 9$
$\sqrt{(2x + 3)^2} = 9$
$(2x + 3)^2 = 9^2$
$(2x + 3)^2 - 9^2 = 0$
Ingat:
$p^2 - q^2 = (p + q)(p - q)$
$[(2x + 3) + 9][(2x + 3) - 9] = 0$
$(2x + 12)(2x - 6) = 0$
$(x + 6)(x - 3) = 0$
$x = -6\ atau\ x = 3$
$HP = \{-6,\ 3\}$
jawab: A.

$3.$ Jika $|2x - 3| + x = 3$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ 0\ atau\ 1$
  $B.\ 0\ atau\ 2$
  $C.\ 1\ atau\ 2$
  $D.\ -1\ atau\ 2$
  $E.\ 2\ atau\ 3$
$|2x - 3| + x = 3$
Solusi I:
Jika $2x - 3 ≥ 0 → x ≥ \dfrac{3}{2}$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$2x - 3 + x = 3$
$3x = 6$
$x = 2$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 2$

Solusi II:
Jika $2x - 3 < 0 → x < \dfrac{3}{2}$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-(2x - 3) + x = 3$
$-2x + 3 + x = 3$
$-x = 0$
$x = 0$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 0$.
Himpunan penyelesaian persamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II.
Jadi $x$ yang memenuhi adalah $x = 0$ atau $x = 2$
jawab: B.

$4.$ Himpunan penyelesaian dari $|x| + x^{2} = 3x $ adalah . . . .
  $A.\ \{0, 2, 4\}$
  $B.\ \{2, 4\}$
  $C.\ \{0, 4\}$
  $D.\ \{0, 2\}$
  $E.\ \{4\}$
$|x| + x^{2} = 3x$
Solusi I:
Jika $x ≥ 0$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$x + x^{2} = 3x$
$x^{2} - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
$x = 0\ atau\ x = 2$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 0\ atau\ x = 2$

Solusi II:
Jika $x < 0$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-x + x^{2} = 3x$
$x^{2} - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
$x = 0\ atau\ x = 4$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → ∅$ (himpunan kosong).
Himpunan penyelesaian persamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II.
$HP = \{0, 2\}$
jawab: D.

$5.$ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x - 6| = -2$ adalah . . . .
  $A.\ 2$
  $B.\ 2\ atau\ 4$
  $C.\ -2\ atau\ 4$
  $D.\ 4$
  $E.\ tidak\ ada\ yang\ memenuhi.$
$|2x - 6| = -2$.
Ingat definisi dari haarga mutlak. Harga mutlak dari sesuatu adalah nilai positif dari sesuatu tersebut. Tidak mungkin $|f(x)|$ bernilai negatif.
jawab: E.

$6.$ Himpunan penyelesaian dari $|2x + 2| = 4x - 8$ adalah . . . .
  $A.\ \{1, 5\}$
  $B.\ \{1\}$
  $C.\ \{5\}$
  $D.\ \{-1, 5\}$
  $E.\ \{-1, -5\}$
$|2x + 2| = 4x - 8$
Solusi I:
Jika $2x + 2 ≥ 0 → x ≥ -1$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$2x + 2 = 4x - 8$
$2x = 10$
$x = 5$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 5$

Solusi II:
Jika $2x + 2 < 0 → x < -1$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-(2x + 2) = 4x - 8$
$-2x - 2 = 4x - 8$
$6x = 6$
$x = 1$ . . . . (**)
Solusi II adalah $(*)∩(**) → ∅$ (himpunan kosong).
Himpunan penyelesaian persamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II.
$HP = \{5\}$
jawab: C.

$7.$ Himpunan penyelesaian dari $|2x + 1| = 3$ adalah . . . .
  $A.\ \{-2, 0\}$
  $B.\ \{-2, 1\}$
  $C.\ \{0, 2\}$
  $D.\ \{1, 2\}$
  $E.\ \{1\}$
$|2x + 1| = 3$
Solusi I:
Jika $2x + 1 ≥ 0 → x ≥ -\dfrac{1}{2}$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$2x + 1 = 3$
$2x = 2$
$x = 1$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 1$

Solusi II:
Jika $2x + 1 < 0 → x < -\dfrac{1}{2}$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-(2x + 1) = 3$
$-2x - 1 = 3$
$-2x = 4$
$x = -2$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = -2$.
Himpunan penyelesaian persamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II.
$HP = \{-2, 1\}$
jawab: B.

$8.$ Jika $|2x + 1| = |x - 2|$, maka nilai x yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ 1\ atau\ 3$
  $B.\ \dfrac{1}{3}\ atau\ -3$
  $C.\ -\dfrac{1}{3}\ atau\ -3$
  $D.\ 2\ atau\ 3$
  $E.\ -2\ atau\ -3$
$|2x + 1| = |x - 2|$
Ingat!!!!
$|x| = \sqrt{x^2}$
Persamaan harga mutlak menjadi:
$\sqrt{(2x + 1)^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2}}$
$(2x + 1)^{2} = (x - 2)^{2} $
$(2x + 1)^{2} - (x - 2)^{2} = 0 $

Ingat !
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$

$[(2x + 1) + (x - 2)][(2x + 1) - (x - 2)] = 0$
$(3x - 1)(x + 3) = 0$
$x = \dfrac{1}{3}\ atau\ x = -3$
jawab: B.

$9.$ Nilai x yang memenuhi $|3x - 6| - |x + 2| = 0$
  adalah . . . .
  $A.\ 2\ atau\ 3$
  $B.\ 1\ atau\ 4$
  $C.\ 2\ atau\ 4$
  $D.\ 1\ atau\ 3$
  $E.\ 1\ atau\ 2$
$|3x - 6| - |x + 2| = 0$
$|3x - 6| = |x + 2|$

Persamaan harga mutlak menjadi:
$\sqrt{(3x - 6)^{2}} = \sqrt{(x + 2)^{2}}$
$(3x - 6)^{2} = (x + 2)^{2} $
$(3x - 6)^{2} - (x + 2)^{2} = 0 $
$[(3x - 6) + (x + 2)][(3x - 6) - (x + 2)] = 0$
$[(4x - 4)(2x - 8) = 0]$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
$x = 1\ atau\ x = 4$
jawab: B.

$10.$ Himpunan penyelesaian dari $\left|\dfrac{x + 7}{2x - 1}\right| = 2$
  adalah . . . .
  $A.\ \{-1, 0\}$
  $B.\ \{-1, 3\}$
  $C.\ \{1, 3\}$
  $D.\ \{2, 3\}$
  $E.\ \{-1, -3\}$
$\left|\dfrac{x + 7}{2x - 1}\right| = 2$
$|x + 7| = 2.|2x - 1|$
$|x + 7| = |4x - 2|$

persamaan harga mutlak menjadi:
$\sqrt{(x + 7)^{2}} = \sqrt{(4x - 2)^{2}}$
$(x + 7)^{2} = (4x - 2)^{2} $
$(x + 7)^{2} - (4x - 2)^{2} = 0 $
$[(x + 7) + (4x - 2)][(x + 7) - (4x - 2)] = 0$
$(5x + 5)(9 - 3x) = 0$
$(x + 1)(3 - x) = 0$
$x = -1\ atau\ x = 3$
jawab: B.

11. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x + 1| + |x - 3| = 8$
  adalah . . . .
  $A.\ -3\ atau\ 0$
  $B.\ 2\ atau\ 5$
  $C.\ -3\ atau\ 5$
  $D.\ 3\ atau\ 5$
  $E.\ tidak\ ada\ yang\ memenuhi.$
$|x + 1| + |x - 3| = 8$

Untuk mempermudah perhitungan, sebaiknya kita tinjau beberapa segmen, yaitu:
Jika $x < -1$ → $|x + 1| = -x - 1$ dan $|x - 3| = -x + 3$
Jika $-1 ≤ x < 3$ → $|x + 1| = x + 1$ dan $|x - 3| = -x + 3$
Jika $x ≥ 3$ → $|x + 1| = x + 1$ dan $|x - 3| = x - 3$

Solusi I:
untuk $x < -1$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$-x - 1 - x + 3 = 8$
$-2x = 6$
$x = -3$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = -3$

Solusi II:
untuk $-1 \le x < 3$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$x + 1 - x + 3 = 8$
$4 = 8$ ← tidak memenuhi syarat (tms)
Jadi solusi II adalah ∅

Solusi III:
untuk $x ≥ 3$ . . . . (*)
persamaan harga mutlak menjadi:
$x + 1 + x - 3 = 8$
$2x = 10$
$x = 5$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x = 5$
Himpunan penyelesaian persamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II gabung solusi III.
Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -3\ atau\ x = 5$
jawab: C.

$12$. Persamaan $\left|\dfrac{3}{x - 2} \right| = \dfrac{1}{2}$ dipenuhi untuk $x =$ . . . .
  $A.\ -4\ atau\ 8$
  $B.\ 4\ atau\ 8$
  $C.\ 2\ atau\ 4$
  $D.\ 4\ atau\ 6$
  $E.\ 6\ atau\ 8$
$\left|\dfrac{3}{x - 2} \right| = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{3}{|x - 2|} = \dfrac12$
$|x - 2| = 6$ ← hasil kali silang!
$\sqrt{(x - 2)^{2}} = \sqrt{6^{2}}$
$(x - 2)^{2} = 6^{2}$
$(x - 2)^{2} - 6^{2} = 0$
$[(x - 2) + 6][(x - 2) - 6] = 0$
$(x + 4)(x - 8) = 0$
$x = -4\ atau\ x = 8$
jawab: A.


Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

$1.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x - 2| < 3$ adalah . . . .
  $A.\ x < -1$
  $B.\ x > 5$
  $C.\ -1 < x < 0$
  $D.\ -1 < x < 5$
  $E.\ 0 < x < 5$
Sifat pertidaksamaan harga mutlak adalah:
$|f(x)| < a → -a < f(x) < a$
$|x - 2| < 3$
sehingga:
$-3 < x - 2 < 3$
$-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$
$-1 < x < 5$
jawab: D.

$2.$ Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3 - x| > 2$ adalah . . . .
  $A.\ x > 1$
  $B.\ x < 5$
  $C.\ 1 < x < 5$
  $D.\ x < 1\ atau\ x > 5$
  $E.\ -1 < x < 5$
sifat pertidaksamaan harga mutlak adalah:
$|f(x)| > a$ → $f(x) < -a\ atau\ f(x) > a$
$|3 - x| > 2$
sehingga:
$3 - x < -2\ atau\ 3 - x > 2$

Kata atau di sini berarti gabungan. Adik-adik harus selalu ingat, bahwa "atau" artinya adalah gabungan.
Solusi I:
$3 - x < -2$
$5 < x$
$x > 5$ . . . . (*)

Solusi II:
$3 - x > 2$
$1 > x$
$x < 1$ . . . . (**)

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak adalah gabungan dari solusi I dan solusi II.
$(*)∪(**) → x < 1\ atau\ x > 5$
jawab: D.

$3.$ Himpunan penyelesaian dari pertidaksaman $|4x - 3| ≤ 1$ adalah . . . .
  $A.\ x ≥ \dfrac{1}{2}$
  $B.\ x ≤ 1 $
  $C.\ \dfrac{1}{2} ≤ x ≤ 1$
  $D.\ x ≥ 1$
  $E.\ x ≤ \dfrac{1}{2}\ atau\ x ≥ 1$
Sifat pertidaksamaan harga mutlak adalah:
$|f(x)| ≤ a → -a ≤ f(x) ≤ a$
$|4x - 3| ≤ 1$
sehingga:
$-1 ≤ 4x - 3 ≤ 1$
$-1 + 3 ≤ 4x - 3 + 3 ≤ 1 + 3$
$2 ≤ 4x ≤ 4$
$\dfrac{1}{2} ≤ x ≤ 1$
jawab: C.

$4.$ Penyelesaian dari pertidaksamaan $|x^{2} - 3x + 1| < 1$
  adalah . . . .
  $A.\ 0 < x < 2$
  $B.\ 1 < x < 3$
  $C.\ 0 < x < 2\ atau\ x > 3$
  $D.\ 0 < x < 1\ atau\ 2 < x < 3$
  $E.\ x > 2$
Sifat pertidaksamaan harga mutlak adalah:
$|f(x)| < a → -a < f(x) < a$
$|x^{2} - 3x + 1| < 1$,
sehingga:
$-1 < x^{2} - 3x + 1 < 1$
Kita bagi pertidaksamaan harga mutlak menjadi dua bagian, supaya mudah dikerjakan.
Pertidaksamaan harga mutlak menjadi:
$-1 < x^{2} - 3x + 1$ dan $x^{2} - 3x + 1 < 1$
Kata "dan" adalah nama lain dari kata "irisan". Adik-adik harus selalu ingat bahwa kata "dan" artinya adalah "irisan".

Solusi I:
$-1 < x^{2} - 3x + 1$
$x^{2} - 3x + 1 > -1$
$x^{2} - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)(x - 2) > 0$
$x < 1\ atau\ x > 2$ . . . . (*)

Solusi II:
$x^{2} - 3x + 1 < 1$
$x^{2} - 3x < 0$
$x( x - 3) < 0$
$0 < x < 3$ . . . . (**)

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak adalah irisan dari solusi I dan solusi II.
$(*)∩(**) → 0 < x < 1$ atau $2 < x < 3$
jawab: D.

$5.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan:
  $|x^{2} - 5x + 2| > 2$ adalah . . . .
  $A.\ 0 < x < 4\ atau\ x > 5$
  $B.\ 1 < x < 5$
  $C.\ 4 < x < 5$
  $D.\ x < 0\ atau\ 1 < x < 4\ atau\ x > 5$
  $E.\ 0 < x < 5\ atau\ x > 6$
Sifat pertidaksamaan harga mutlak adalah:
$|f(x)| > a$ → $f(x) < -a\ atau\ f(x) > a$
$|x^{2} - 5x + 2| > 2$
$x^{2} - 5x + 2 < -2$ atau $x^{2} - 5x + 2 > 2$

Solusi I:
$x^{2} - 5x + 2 < -2$
$x^{2} - 5x + 4 < 0$
$(x - 1)(x - 4) < 0$
$1 < x < 4$ . . . . (*)

Solusi II:
$x^{2} - 5x + 2 > 2$
$x^{2} - 5x > 0$
$x(x - 5) > 0$
$x < 0\ atau\ x > 5$ . . . . (**)

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak adalah gabungan dari solusi I dengan solusi II.
$(*)∪(**) → x < 0$ atau $1 < x < 4$ atau $x > 5$
jawab: D.

$6.$ Penyelesaian dari pertidaksamaan $|2x -1| < x + 4$ adalah . . . .
  $A.\ x > -1$
  $B.\ x < 1$
  $C.\ x < 4$
  $D.\ -1 < x < 4$
  $E.\ 1 < x < 4$
$|2x -1| < x + 4$

Cara Pertama:
Cara pertama yang kita gunakan adalah cara yang berdasarkan pengertian harga mutlak itu sendiri.

Solusi I:
Jika $2x - 1 ≥ 0 → x ≥ \dfrac{1}{2}$ . . . . (*)
Pertidaksamaan harga mutlak menjadi:
$2x - 1 < x + 4$
$x < 5$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → \dfrac{1}{2} ≤ x < 5$

Solusi II:
Jika $2x - 1 < 0 → x < \dfrac{1}{2}$ . . . . (*)
Pertidaksamaan harga mutlak menjadi:
$-(2x - 1) < x + 4$
$-2x + 1 < x + 4$
$-3 < 3x$
$3x > -3$
$x > -1$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → -1 < x < \dfrac{1}{2}$

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak adalah gabungan dari solusi I dan solusi II.
$\left(\dfrac{1}{2} ≤ x < 5\right)$ $\cup$ $\left(-1 < x < \dfrac{1}{2}\right)$ = $\left(-1 < x < 5\right)$
jawab: C.

Cara Kedua:
Cara kedua adalah berdasarkan sifat-sifat dari pertidaksamaan harga mutlak itu sendiri.
$|2x -1| < x + 4$
$-(x + 4) < 2x - 1 < x + 4$
$-(x + 4) < 2x - 1\ dan\ 2x - 1 < x + 4$
Kita bagi pertidaksamaan harga mutlak menjadi dua bagian, untuk mempermudah perhitungan.

Solusi I:
$-x - 4 < 2x - 1$
$-3 < 3x$
$3x > -3$
$x > -1$ . . . . (*)

Solusi II:
$2x - 1 < x + 4$
$x < 5$ . . . . (**)
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak adalah irisan dari solusi I dengan solusi II.
$(*)∩(**) → -1 < x < 5$
jawab: C.

$7.$ Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
  $|3x + 1| > 2x + 4$ adalah . . . .
  $A.\ x > 1$
  $B.\ x < 3$
  $C.\ -1 < x < 3$
  $D.\ x < -1\ atau\ x > 3$
  $E.\ x > 3$
$|3x + 1| > 2x + 4$
$3x + 1 < -(2x + 4)$ atau $3x + 1 > 2x + 4$

Solusi I:
$3x + 1 < -2x - 4$
$5x < -5$
$x < -1$ . . . . (*)

Solusi II:
$3x + 1 > 2x + 4$
$x > 3$ . . . . (**)

Solusi dari pertidaksamaan harga mutlak adalah solusi I digabung solusi II.
$(*)∪(**)→ x < -1$ atau $x > 3$
jawab: D.

$8.$ Penyelesaian dari pertidaksamaan $x^{2} + 2|x| - 15 ≥ 0$
  adalah . . . .
  $A.\ x ≤ -3\ atau\ x ≥ 3$
  $B.\ -3 ≤ x ≤ 3$
  $C.\ x ≤ 3$
  $D.\ x ≥ 3$
  $E.\ x > 3$
$x^{2} + 2|x| - 15 ≥ 0$

Solusi I:
Jika $x ≥ 0$ . . . . (*)
Pertidaksamaan harga mutlak menjadi:
$x^{2} + 2x - 15 ≥ 0$
$(x + 5)(x - 3) ≥ 0$
$x ≤ -5\ atau\ x ≥ 3$ .... (**)
$(*)∩(**) → x ≥ 3$

Solusi II:
Jika $x < 0$ . . . . (*)
Pertidaksamaan harga mutlak menjadi:
$x^{2} - 2x - 15 ≥ 0$
$(x + 3)(x - 5) ≥ 0$
$x ≤ -3\ atau\ x ≥ 5$ . . . . (**)
$(*)∩(**) → x ≤ -3$

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak adalah solusi I gabung solusi II.
$x ≥ 3\ \cup\ x \leq -3$ → $x ≤ -3\ atau\ x ≥ 3$
jawab: A.

$9.$ Penyelesaian dari pertidaksamaan $|2x + 3| < |x + 6|$ adalah . . . .
  $A.\ x > -3$
  $B.\ x > 3$
  $C.\ x < -3\ atau\ x > 3$
  $D.\ -3 < x < 3$
  $E.\ 0 < x < 3$
$|2x + 3| < |x + 6|$
$(2x + 3)^{2} < (x + 6)^{2}$
$(2x + 3)^{2} - (x + 6)^{2} < 0$

Ingat kembali bahwa:
$p^2 - q^2 = (p + q)(p - q)$
misalkan:
$p = 2x + 3$
$q = x + 6$
Pertidaksamaan harga mutlak menjadi:
$[(2x + 3) + (x + 6)][(2x + 3) - (x + 6)] < 0$
$(3x + 9)(x - 3) < 0$
$(x + 3)(x - 3) < 0$
$-3 < x < 3$
jawab: D.

$10.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left|\dfrac{3x - 1}{x + 3} \right| > 2$
  adalah . . . .
  $A.\ x > 1$
  $B.\ x < 7$
  $C.\ -1 < x < 7$
  $D.\ x < -1\ atau\ x > 7$
  $E.\ 0 < x < 7$
$\left|\dfrac{3x - 1}{x + 3} \right| > 2$
$\dfrac{|3x - 1|}{|x + 3|} > 2$
$|3x - 1| > 2.|x + 3|$
$|3x - 1| > |2x + 6|$
$(3x - 1)^{2} > (2x + 6)^{2}$
$[(3x - 1) + (2x + 6)][(3x - 1) - (2x + 6)] > 0$
$(5x + 5)(x - 7) > 0$
$(x + 1)(x - 7) > 0$
$x < -1\ atau\ x > 7$
jawab: D.

$11.$ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\Bigr||x| + x\Bigr| \leq 2$ adalah . . . .
$A.\ \{x\ |\ 0 \leq x \leq 1,\ x \in R\}$
$B.\ \{x\ |\ x \leq 1,\ x \in R\}$
$C.\ \{x\ |\ x \leq 2,\ x \in R\}$
$D.\ \{x\ |\ x \leq 0,\ x \in R\}$
$E.\ \{x\ |\ x \geq 0,\ x \in R\}$
$\bullet$ Jika $|f(x)| \leq a → -a \leq f(x) \leq a$
$\bullet$ $|x| = \begin{cases} x ,\ jika\ x \geq 0\\ -x,\ jika\ x < 0 \end{cases}$

$\Bigr||x| + x\Bigr| \leq 2$
$-2 \leq |x| + x \leq 2$
$-2 \leq |x| + x$ dan $|x| + x \leq 2$

Pertama:
$-2 \leq |x| + x$
$\bullet$ Untuk $x < 0$ . . . . (*)
$-2 \leq -x + x$
$-2 \leq 0$ . . . . (**)
dari (*) dan (**) tidak ada solusi.

$\bullet$ Untuk $x \geq 0$ . . . . (*)
$-2 \leq x + x$
$-2 \leq 2x$
$-1 \leq x$
$x \geq -1$ . . . . (**)
$(*) \cap (**) → x \geq 0$ . . . . (1)

Kedua:
$|x| + x \leq 2$
$\bullet$ Untuk $x < 0$ . . . . (*)
$-x + x \leq 2$
$0 \leq 2$ . . . . (**)
dari (*) dan (**) tidak ada solusi.

$\bullet$ Untuk $x \geq 0$ . . . . (*)
$x + x \leq 2$
$2x \leq 2$
$x \leq 1$ . . . . (**)

$(*) \cap (**) → 0 \leq x \leq 1$ . . . . (2)

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan adalah:
$(1) \cap (2) → 0 \leq x \leq 1,\ x \in R$
jawab: A.

$12.$ Himpunan penyelesaian dari $\Bigr|x - 1\Bigr| < \dfrac 6x$ adalah interval $(a,\ b)$. Nilai $3a + 2b$ adalah . . . .
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 12
Untuk $x < 1$ . . . . (*)
$-(x - 1) < \dfrac 6x$
$-x + 1 - \dfrac 6x < 0$
$\dfrac{-x^2 + x - 6}{x} < 0 → x \ne 0$
$\dfrac{x^2 - x + 6}{x} > 0$
$x(x^2 - x + 6) > 0$
$x^2 - x + 6 →$ definit positif, bisa diabaikan.
$x > 0$ . . . . (**)
$(*) \cap (**) → 0 < x < 1$ . . . . (1)

Untuk $x \geq 1$ . . . . (*)
$x - 1 < \dfrac 6x$
$x - 1 - \dfrac 6x < 0$
$\dfrac{x^2 - x - 6}{x} < 0 → x \ne 0$
$x(x + 2)(x - 3) < 0$
$x < -2\ atau\ 0 < x < 3$ . . . . (**)
$(*) \cap (**) → 1 \leq x < 3$ . . . . (2)

Himpunan penyelesaian Pertidaksamaan adalah:
$(1) \cup (2) → 0 < x < 3 → (0,\ 3)$
$a = 0,\ b = 3$
$3a + 2b = 3.0 + 2.3 = 6$
jawab: D.

$13.$ Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\Bigr|3 - |x + 1|\Bigr| < 2$ adalah . . . .
$A.\ -5 < x < -2$ atau $-1 < x < 4$
$B.\ -6 < x < -2$ atau $-1 < x < 4$
$C.\ -5 < x < -2$ atau $0 < x < 5$
$D.\ -6 < x < -2$ atau $0 < x < 4$
$E.\ -5 < x < -2$ atau $-1 < x < 5$
$\Bigr|3 - |x + 1|\Bigr| < 2$
$-2 < 3 - |x + 1| < 2$
$-2 < 3 - |x + 1|$ dan $3 - |x + 1| < 2$

Pertama:
$-2 < 3 - |x + 1|$
$|x + 1| < 5$
$-5 < x + 1 < 5$
$-6 < x < 4$ . . . . (1)

Kedua:
$3 - |x + 1| < 2$
$3 - 2 < |x + 1|$
$1 < |x + 1|$
$|x + 1| > 1$
$x + 1 < -1$ atau $x + 1 > 1$
$x < -2$ atau $x > 0$ . . . . (2)

Himpunan Penyelesaian adalah $(1) \cap (2)$
$-6 < x < -2$ atau $0 < x < 4$
jawab: D.

$14.$ Himpunan penyelesaian dari $|x - 1| < 3 - |x|$ adalah interval $(a,\ b)$. Niali $2a + b$ adalah . . . .
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
$|x - 1| = \begin{cases} x - 1,\ jika x \geq 1 \\ -x + 1,\ jika x < 1 \end{cases}$
$|x| = \begin{cases} x,\ jika x \geq 0 \\ -x,\ jika x < 0 \end{cases}$
Berdasarkan kondisi di atas, ada tiga interval yang harus kita tinjau, yaitu: $x < 0$, $0 \leq x < 1$, dan $x \geq 1$.

Pertama untuk $x < 0$, pertidaksamaan menjadi:
$-(x - 1) < 3 - (-x)$
$-x + 1 < 3 + x$
$-2 < 2x$
$-1 < x$
$x > -1$ . . . . (1)

Kedua untuk $0 \leq x < 1$, pertidaksamaan menjadi:
$-(x - 1) < 3 - x$
$-x + 1 < 3 - x$
$0 < 2$ → tidak ada solusi

Ketiga untuk $x \geq 1$, pertidaksamaan menjadi:
$x - 1 < 3 - x$
$2x < 4$
$x < 2$ . . . . (2)
Himpunan penyelesaian adalah:
$(1) \cup (2) → -1 < x < 2 → (-1,\ 2)$
$a = -1$
$b = 2$
$2a + b = 2.(-1) + 2 = 0$
jawab: C.

Ingat!
kita sering menggunakan kata "dan" juga kata "atau". Kata "dan = irisan = ∩" sedangkan "atau = gabungan = ∪". Kita juga akan menggunakan cara cepat untuk mendapatkan Himpunan Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan tanpa harus menguji. Pelajari Pertidaksamaan !
Untuk a < b < c < d < e . . . .
Jika x - a < 0, maka x < a.
Jika (x - a)(x - b) < 0, maka a < x < b.
Jika (x - a)(x - b)(x - c) < 0, maka x < a atau b < x < c
dan seterusnya . . . .
Tanda < bisa diganti dengan tanda ≤
Jika x - a > 0, maka x > a.
Jika (x - a)(x - b) > 0, maka x < a atau x > b.
Jika (x - a)(x - b)(x - c) > 0, maka x > c atau a < x < b
dan seterusnya . . . .
Tanda > bisa diganti dengan tanda ≥


Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

$1.$ Jika $|2x - 3| < 1$ dan $2x < 3$, maka . . . .
  $A.\ x < \dfrac{3}{2}$
  $B.\ 1 < x < 2$
  $C.\ \dfrac{3}{2} < x < 2$
  $D.\ 1 < x < \dfrac{3}{2}$
  $E.\ \dfrac{3}{2} < x < \dfrac{5}{2}$
[Soal UMPTN]
$2.$ Nilai-nilai $x$ yang memenuhi ketidaksamaan
  $|x - 2|^{2} < 4|x - 2| + 12$ adalah . . . .
  $A.\ x > 8\ atau\ x < -4$
  $B.\ -4 < x < 8$
  $C.\ -8 < x < 4$
  $D.\ x < -8\ atau\ x > 0$
  $E.\ x > 4$
[Soal UMPTN]
$3.$ Nilai $x$ yang memenuhi $|-x^{2} + 2x -2| < 2$
  adalah . . . .
  $A.\ x < 2$
  $B.\ x > 0$
  $C.\ -2 < x < 0$
  $D.\ 0 < x < 2$
  $E.\ -2 < x < 2$
[Soal UMPTN]
$4.$ Himpunan semua $x$ yang memenuhi pertidaksamaan
  $|2x + 1| < |2x - 3|$ adalah . . . .
  $A.\ \{x| x < -\dfrac{1}{2}\}$
  $B.\ \{x| x < \dfrac{1}{2}\}$
  $C.\ \{x| x < \dfrac{3}{2}\}$
  $D.\ \{x| x > \dfrac{1}{2}\}$
  $E.\ \{x| x > \dfrac{3}{2}\}$
[Soal UMPTN]
$5.$ Jika $x ≥ 1$ dan $x|x - 1| + |x|(x - 1) ≤ 2x$.
  Maka $x$ harus memenuhi . . . .
  $A.\ x ≥ 2$
  $B.\ x ≥ 3$
  $C.\ 0 ≤ x ≤ 2$
  $D.\ 1 ≤ x ≤ 2$
  $E.\ 1 ≤ x ≤ 4$
[Soal UMPTN]
$6.$ Pertidaksamaan $\left|\dfrac{3}{2x - 1} \right| > 1$ mempunyai
  penyelesaian . . . .
  $A.\ x > 2$
  $B.\ x < 2\ dan\ x ≠ \dfrac{1}{2}$
  $C.\ x < -1\ dan\ x ≠ \dfrac{1}{2}$
  $D.\ -1 < x < 2\ dan\ x ≠ \dfrac{1}{2}$
  $E.\ x < -1$
[Soal UMPTN]
$7.$ Semua nilai $x$ yang memenuhi $0 < |x - 3| ≤ 3$
  adalah . . . .
  $A.\ 0 < x < 3\ atau\ 3 < x ≤ 6$
  $B.\ 0 ≤ x < 3\ atau\ 3 < x ≤ 6$
  $C.\ 0 < x ≤ 3\ atau\ 3 < x ≤ 6$
  $D.\ 0 ≤ x ≤ 3\ atau\ 3 < x < 6$
  $E.\ 0 < x < 3\ atau\ 3 < x < 6$
[Soal UMPTN]
$8.$ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $||x| + x| ≤ 2$
  adalah . . . .
$A.\ \{x| 0 ≤ x ≤ 1\}$
$B.\ \{x| x ≤ 1\}$
$C.\ \{x| x ≤ 2\}$
$D.\ \{x| x ≤ 0\}$
$E.\ \{x| x ≥ 0\}$
[Soal UMPTN]
$9.$ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
  $|x| ≥ \dfrac{2}{x + 1}$ adalah . . . .
  $A.\ \{x| x ≤ -2\ atau\ x ≥ 1\}$
  $B.\ \{x| x ≤ -2\ atau\ 0 ≤ x ≤ 1\}$
  $C.\ \{x| x > -1\}$
  $D.\ \{x| x < -1\ atau\ x ≥ 1\}$
  $E.\ \{x| -1 < x ≤ 1\}$
$10.$ Semua bilangan real $x$ yang memenuhi:
  $\dfrac{1}{|x - 1|} < \dfrac{1}{2 - x}$ adalah . . . .
  $A.\ x < \dfrac{3}{2}$
  $B.\ x > \dfrac{3}{2}$
  $C.\ x < 1\ atau\ 1 < x < \dfrac{3}{2}$
  $D.\ \dfrac{3}{2} < x < 2$
  $E.\ \dfrac{3}{2} < x < 2\ atau\ x > 2$

Demikianlah soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Selamat belajar !

SHARE THIS POST


www.maretong.com



4 comments for "Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak"

  1. soal-soal nya keren banget. Thank you kak

    ReplyDelete
  2. Itu no 11 bukannya x ≤ 1 ya?
    Kan kalau x nya negatif, misal x = -6
    ||-6| + (-6)| ≤ 2
    |6 - 6| ≤ 2
    0 ≤ 2 (Benar)

    Begitu juga untuk bilangan negatif lainnya

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalau x = -6, maka

      ||-6| -6| ≤ 2
      -2 ≤ |-6| -6 ≤ 2
      4 ≤ |-6| ≤ 8

      I. untuk |-6| ≥ 4, maka

      -6 ≤ -4 atau -6 ≥ 4 (salah)

      karena sudah ada pernyataan yang salah, maka sisanya tidak perlu dijabarkan kembali.

      Note: Tidak menutup kemungkinan pemikiran saya untuk permasalahan ini ternyata salah. Oleh karena itu, apabila ada kesalahan, mohon untuk dikoreksi, terima kasih.

      Delete

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.