MARETONG: UNBK Matematika IPA 2018

Monday, August 12, 2019

UNBK Matematika IPA 2018

Mempelajari UNBK Matematika IPA 2018 merupakan sesuatu yang sangat penting, karena UNBK matematika IPA 2018 berbeda dari UN /UNBK tahun-tahun sebelumnya. Sejak tahun 2018, UNBK matematika IPA mulai disusupi soal-soal HOTS (higher Order Thinking Skills) sekaligus dimulainya soal-soal dalam bentuk essay test. Selain itu, sistem ujian yang berbasis komputer yang membuat sulit untuk memperoleh dan mendapatkan soal-soal ujian nasional, soal dan pembahasan UNBK matematika IPA 2018 ini menjadi hal yang spesial untuk dijadikan rujukan untuk menghadapi UNBK tahun 2020, Ketika soal UNBK 2019 sulit untuk diperoleh.

A. PILIHAN GANDA
$1$. Hasil dari $\dfrac{^3log\ 36.^6log\ 81 +\ ^4log\ 32}{^{1\over 9}log\ 27}$ adalah . . . .
$A.\ 11$
$B.\ 7$
$C.\ 4$
$D.\ -7$
$E.\ -11$

Pembahasan:

$\dfrac{^3log\ 36.^6log\ 81 +\ ^4log\ 32}{ ^{1\over 9}log\ 27}$
$= \dfrac{^3log\ 6^2.^6log\ 3^4 +\ ^{2^2}log\ 2^5}{^{3^{-2}}log\ 3^3}$
$= \dfrac{2.4.^3log\ 6.^6log\ 3 + \dfrac{5}{2}.^{2}log\ 2}{ \dfrac{3}{-2}.^{3}log\ 3}$
$= \dfrac{2.4.1 + \dfrac{5}{2}}{ \dfrac{-3}{2}}$
$= \dfrac{\dfrac{21}{2}}{\dfrac{-3}{2}}$
$= -7$ → D.

Ingat-ingat !
$⇒\ ^alog\ b.\ ^blog\ c =\ ^alog\ c$
$⇒\ ^{a^m}log\ b^n = \dfrac{n}{m}.^alog\ b$
$⇒\ ^alog\ a = 1$
Klik Sifat-sifat Logaritma untuk mempelajari logaritma.

$2$. Diketahui $f(x) = 2x - 3$ dan $(g o f)(x) = 4x - 9$. Nilai dari $\displaystyle g^{-1}(3)$ = . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 4$
$C.\ 5$
$D.\ 6$
$E.\ 7$

Pembahasan:

$(g o f)(x) = 4x - 9$
$g(2x - 3) = 4x - 9$
$g(2x - 3) = 2(2x - 3) - 3$
$Misalkan\ a = 2x - 3$
$g(a) = 2a - 3$
$Ganti\ a\ dengan\ x$
$g(x) = 2x - 3$
$x = \dfrac{g(x) + 3}{ 2}$
$g^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{2}$
$g^{-1}(3) = \dfrac{3 + 3}{2}$
$g^{-1}(3) = 3$ → A.

$3$. Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu (x) memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan kertas setengah jadi (m) dengan mengikuti fungsi $m = f(x) = x^2 - 3x - 2$. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi $g(m) = 4m + 2$, dengan x dan m dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 4 ton, banyak kertas yang dihasilkan adalah . . . .
A. 5 ton
B. 10 ton
C. 15 ton
D. 20 ton
E. 30 ton

Pembahasan:

Bahan baku setengah jadi:
$m = f(4) = 4^2 - 3.4 - 2$
$= 16 - 12 - 2$
$= 2\ ton$
Kertas yang dihasilkan:
$g(2) = 4.2 + 2$
$= 10\ ton$ → B.

$4$. Diketahui grafik fungsi kuadrat seperti pada gambar. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah . . . .


$A.\ (-1, 0)\ dan\ (-8,0)$
$B.\ (-1, 0)\ dan\ (8, 0)$
$C.\ (1, 0)\ dan\ (-8, 0)$
$D.\ (1, 0)\ dan\ (8, 0)$
$E.\ (2, 0)\ dan\ (5, 0)$

Pembahasan:

Persamaan parabola dengan puncak $(P, Q)$
$y = a(x - P)^2 + Q$
$y = a(x - \dfrac{9}{2})^2 - \dfrac{49}{4}$ . . . . (1)
Karena kurva melalui titik $(0, 8)$, maka:
$8 = a\left(0 - \dfrac{9}{2}\right)^2 - \dfrac{49}{4}$
$8 = \dfrac{81}{4}a - \dfrac{49}{4}$
$8 + \dfrac{49}{4} = \dfrac{81}{4}a$
$a = 1$
Substitusi $a = 1$ ke dalam persamaan (1)
$y = 1.\left(x - \dfrac{9}{2}\right)^2 - \dfrac{49}{4}$
$y = x^2 - 9x + \dfrac{81}{4} - \dfrac{49}{4}$
$y = x^2 - 9x + 8$
Titik potong grafik dengan sumbu $x → y = 0$.
$0 = x^2 - 9x + 8$
$(x - 1)(x - 8) = 0$
$x = 1\ atau\ x = 8$
Titik potong sumbu x:
$(1, 0)\ dan\ (8, 0)$ → D.
Klik Fungsi Kuadrat untuk mempelajarinya.

$5$. Batas nilai $m$ agar persamaan kuadrat $(m + 3)x^2 + mx + 1 = 0$ mempunyai akar-akar riil adalah . . . .
$A.\ 2 ≤ m ≤ 6$
$B.\ -2 ≤ m < 6$
$C.\ m ≤ -2\ atau\ m ≥ 6$
$D.\ m < -2\ atau\ m > 6$
$E.\ m ≤ -6\ atau\ m ≥ -2$

Pembahasan:

Mempunyai akar-akar riil, maka $D ≥ 0$.
$b^2 - 4ac ≥ 0$
$m^2 - 4(m + 3).1 ≥ 0$
$m^2 - 4m - 12 ≥ 0$
$(m + 2)(m - 6) ≥ 0$
$m ≤ -2\ atau\ m ≥ 6$ → C.
Klik Persamaan Kuadrat untuk Mempelajarinya

$6$. Lima tahun lalu umur Ani 4 kali umur Boni. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 3 kali umur Boni ditambah 1 tahun. Umur Ani sekarang adalah . . . .
A. 12 tahun
B. 13 tahun
C. 17 tahun
D. 21 tahun
E. 25 tahun

Pembahasan:

$A - 5 = 4(B - 5)$
$A = 4B - 15$ . . . . (1)

$2(A + 4) = 3(B + 4) + 1$ . . . . (2)
Substitusi persamaan (1) ke dalam persamaan (2)
$2(4B - 15 + 4) = 3(B + 4) + 1$
$8B - 22 = 3B + 13$
$5B = 35$
$B = 7$
$A = 4B - 15$
$= 4.7 - 15$
$= 28 - 15$
$= 13\ tahun$ → B.
Klik SPLDV Soal Cerita untuk mempelajarinya.

$7$. Lima tahun yang lalu umur Ali sama dengan 4 kali umur Yudi. Empat tahun yang akan datang, dua kali umur Ali sama dengan 3 kali umur Yudi ditambah 1 tahun. Jumlah umur Ali dan Yudi saat ini adalah . . . .
A. 13 tahun
B. 20 tahun
C. 27 tahun
D. 33 tahun
E. 60 tahun

Pembahasan:

$A - 5 = 4(Y - 5)$
$A = 4Y - 15$ . . . . (1)

$2(A + 4) = 3(Y + 4) + 1$ . . . . (2)
Substitusi persamaan (1) ke dalam persamaan (2)
$2(4Y - 15 + 4) = 3(Y + 4) + 1$
$8Y - 22 = 3Y + 13$
$5Y = 35$
$Y = 7$
$A = 4Y - 15$
$= 4.7 - 15$
$= 28 - 15$
$= 13$
$A + Y = 13 + 7$
$= 20\ tahun$ → B.

$8$. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah daerah himpunan penyelesaian semua (x, y) yang memenuhi sistem pertidaksamaan . . . .


A. x + y ≤ 4, 2x + 5y ≥ 10, y ≥ 0
B. x + y ≤ 4, 2x + 5y ≤ 10, y ≥ 0
C. x + y ≤ 4, 2x + 5y ≥ 10, x ≥ 0
D. x + y ≥ 4, 2x + 5y ≥ 10, x ≥ 0
A. x + y ≥ 4, 2x + 5y ≤ 10, x ≥ 0

Pembahasan:

Persamaan garis yang melalui titik (0, p) dan (q, 0)
$px + qy = pq$
Garis melalui titik (0, 4) dan (4, 0)
$4x + 4y = 16$
$x + y = 4$
Karena $a > 0$ dan arsiran ke arah kiri garis, maka:
$x + y ≤ 4$

Garis melalui titik (0, 2) dan (5, 0)
$2x + 5y = 10$
Karena $a > 0$ dan arsiran ke arah kanan garis, maka:
$2x + 5y \geq 10$
Karena himpunan penyelesaian berada di kuadran I,
maka:
$x ≥ 0$
$y ≥ 0$
Jawab: C.

$9$. Untuk membuat 1 liter minuman jenis A diperlukan 2 kaleng soda dan 1 kaleng susu, sedangkan untuk membuat 1 liter minuman jenis B diperlukan 2 kaleng soda dan 3 kaleng susu. Tersedia 40 kaleng soda dan 30 kaleng susu. Jika 1 liter minuman jenis A dijual seharga Rp30.000,00 dan 1 liter minuman jenis B dijual seharga Rp50.000,00, pendapatan maksimum dari hasil penjualan kedua jenis minuman tersebut adalah . . . .
A. Rp500.000,00
B. Rp540.000,00
C. Rp600.000,00
D. Rp700.000,00
E. Rp720.000,00

Pembahasan:

Misalkan banyaknya minuman jenis A = x liter dan banyaknya
minuman jenis B = y liter.
Tinjau Soda:
2x + 2y ≤ 40
x + y ≤ 20 . . . . (a)

Tinjau Susu:
x + 3y ≤ 30 . . . . (b)


Uji titik-titik pojok ke f(x, y) = 30.000x + 50.000y
(20, 0) → 600.000
(0, 10) → 500.000
(15, 5) → 700.000
Pendapatan maksimum = Rp700.000,00 → D.

$10$. Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ dan matriks $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Matriks $(AB)^{-1}$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 7 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$
$B.\ \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$
$C.\ \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$D.\ \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$E.\ \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -8 & -1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan:

$A.B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -1 & 7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ → C.

$11$. Jumlah umur kakak dan dua kali umur adik adalah 27 tahun. Selisih umur kakak dan umur adik adalah 3 tahun. Jika umur kakak x tahun dan umur adik y tahun, persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah . . . .
$A.\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$
$B.\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$
$C.\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$
$D.\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$
$E.\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan:

Dalam bentuk persamaan:
$x + 2y = 27$
$x - y = 3$
Dalam bentuk matriks:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{-1-2}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 27 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{-3}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 27 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 27 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$
Jawab: C.

$12$. Diketahui barisan aritmetika dengan $U_3 = 14$ dan $U_7 = 34$. Jumlah 23 suku pertama dari barisan tersebut adalah . . . .
A. 1334
B. 1357
C. 1932
D. 2123
E. 2714

Pembahasan:

$U_n = a + (n - 1)b$
$U_3 = 14 → a + 2b = 14$ . . . . *
$U_7 = 34 → a + 6b = 34$ . . . . **
Eliminasi persamaan * dan **
$a + 2b = 14$
$a + 6b = 34$
------------------------- -
$4b = 20$
$b = 5$
$a = 4$
$S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n - 1)b]$
$S_{23} = \dfrac{23}{2}[2.4 + 22.5]$
$= \dfrac{23}{2}.118$
$= 23.59$
$= 1357$ → B.

$13$. Suku $ke- 7$ dari deret geometri $-54 + 36 - 24 +\ .\ .\ .$ adalah . . . .
$A.\ -4\dfrac{18}{27}$
$B.\ -4\dfrac{20}{27}$
$C.\ -7\dfrac{1}{9}$
$D.\ 4\dfrac{20}{27}$
$E.\ 4\dfrac{18}{27}$

Pembahasan:

$a = -54$
$r = -\dfrac{2}{3}$
$U_n = ar^{n-1}$
$U_7 = -54.\left(\dfrac{2}{3}\right)^6$
$= -2.3^3.\dfrac{2^6}{3^6}$
$= -\dfrac{128}{27}$
$= -4\dfrac{20}{27}$ → B.

$14$. Setiap tahun harga jual tanah di sebuah komplek perumahan mengalami kenaikan 20% dari tahun sebelumnya, sedangkan harga jual bangunannya mengalami penurunan 5% dari tahun sebelumnya. Harga jual sebuah rumah (tanah dan bangunan) saat ini di komplek tersebut apabila 5 tahun yang lalu dibeli seharga 210 juta rupiah dan perbandingan harga jual tanah terhadap bangunan pada saat pertama kali membeli 4 : 3 adalah . . . .
$A.\ \begin{Bmatrix}120\left(\dfrac{6}{5}\right)^4 + 90\left(\dfrac{19}{10}\right)^4 \end{Bmatrix}\ juta\ rupiah$
$B.\ \begin{Bmatrix}90\left(\dfrac{6}{5}\right)^5 + 120\left(\dfrac{19}{10}\right)^5 \end{Bmatrix}\ juta\ rupiah$
$C.\ \begin{Bmatrix}90\left(\dfrac{1}{5}\right)^4 + 120\left(\dfrac{19}{20}\right)^4 \end{Bmatrix}\ juta\ rupiah$
$D.\ \begin{Bmatrix}120\left(\dfrac{1}{5}\right)^5 + 90\left(\dfrac{19}{20}\right)^5 \end{Bmatrix}\ juta\ rupiah$
$E.\ \begin{Bmatrix}120\left(\dfrac{6}{5}\right)^5 + 90\left(\dfrac{19}{20}\right)^5 \end{Bmatrix}\ juta\ rupiah$

Pembahasan:

Harga jual tanah 5 tahun lalu $ = \dfrac{4}{7}.210 = 120\ juta\ rupiah$
Harga jual bangunan 5 tahun lalu $ = \dfrac{3}{7}.210 = 90\ juta\ rupiah$
Karena harga tanah mengalami kenaikan 20 %
tiap tahun, maka harga tanah sekarang adalah:
$H_t = H_{ot}(1 + 0,2)^5$
$= 120\left(1 + \dfrac{1}{5}\right)^5$
$= 120\left(\dfrac{6}{5}\right)^5$
Karena harga bangunan mengalami penurunan 5%
tiap tahun, maka harga bangunan sekarang adalah:
$H_b = H_{ob}(1 - 0,05)^5$
$= 90\left(1 - \dfrac{5}{100}\right)^5$
$= 90\left(\dfrac{19}{20}\right)^5$
Sehingga harga jual tanah dan bangunan saat ini adalah:
$H = H_t + H_b$
$= \begin{Bmatrix}120\left(\dfrac{6}{5}\right)^5 + 90\left(\dfrac{19}{20}\right)^5 \end{Bmatrix}\ juta\ rupiah$
Jawab: E.

$15$. Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\ \sqrt{16x^2 + 10x - 3} - 4x + 1 =$ . . . .
$A.\ \displaystyle -\dfrac{9}{4}$
$B.\ \displaystyle -\dfrac{1}{4}$
$C.\ \displaystyle \dfrac{1}{4}$
$D.\ \displaystyle \dfrac{5}{4}$
$E.\ \displaystyle \dfrac{9}{4}$

Pembahasan:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\ \sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx + r}$
$= ∞$ → jika $a > p$
$= -∞$ → jika $a < p$
$= \displaystyle \dfrac{b - q}{2\sqrt{a}}$ → jika $a = p$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\ \sqrt{16x^2 + 10x - 3} - 4x + 1$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\ \sqrt{16x^2 + 10x - 3} - (4x - 1)$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\ \sqrt{16x^2 + 10x - 3} - \sqrt{16x^2 - 8x + 1}$
$= \displaystyle \dfrac{10 - (-8)}{2\sqrt{16}}$
$= \displaystyle \dfrac{18}{8}$
$= \displaystyle \dfrac{9}{4}$ → E.

$16$. Diketahui $f(x) = 5x - 3$ dan $g(x) = 4x^2 - 3x$. Jika $h(x) = f(x).g(x)$ dan $h'(x)$ merupakan turunan dari $h(x)$, maka $h'(x) =$ . . . .
$A.\ 40x - 5$
$B.\ -20x^2 + 24x - 9$
$C.\ 20x^3 - 27x^2 + 9x$
$D.\ 20x^2 + 25x - 15$
$E.\ 60x^2 - 54x + 9$

Pembahasan:

$f(x) = 5x - 3$ → $f'(x) = 5$
$g(x) = 4x^2 - 3x$ → $g'(x) = 8x - 3$
$h(x) = f(x).g(x)$
$h'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)$
$= 5(4x^2 - 3x) + (5x - 3)(8x - 3)$
$= 20x^2 - 15x + 40x^2 - 15x - 24x + 9$
$= 60x^2 - 54x + 9$ → E.

$17$. Fungsi $f(x) = \dfrac{7}{3}x^3 + 16x^2 -15x + 6$ naik pada interval . . . .
$A.\ \displaystyle -\dfrac{7}{3} < x < 5$
$B.\ \displaystyle -\dfrac{3}{7} < x < 5$
$C.\ \displaystyle -5 < x < \dfrac{3}{7}$
$D.\ \displaystyle x < -5 \ atau \ x > \dfrac{3}{7}$
$E.\ \displaystyle x < \dfrac{3}{7} \ atau \ x > 5$

Pembahasan:

Fungsi naik jika $f'(x) > 0$
$7x^2 + 32x - 15 > 0$
$(x + 5)(7x - 3) > 0$
$x < -5\ atau\ x > \dfrac{3}{7}$ → D.

$18$. Persamaan garis singgung grafik $y = x^2 - 4x -5$ yang sejajar dengan garis $2x - y - 6 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2x - y - 19 = 0$
$B.\ 2x - y - 14 = 0$
$C.\ 2x - y - 11 = 0$
$D.\ 2x - y + 2 = 0$
$E.\ 2x - y + 5 = 0$

Pembahasan:

Karena garis singgung $2x - y - 6 = 0$, maka gradien garis singgung sama dengan gradien garis $2x - y - 6 = 0$.
$m = 2$ . . . . *
Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah turunan pertama dari kurva.
$m = \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4$ . . . . **
dari persamaan * dan **
$2 = 2x - 4$
$6 = 2x$
$x = 3$
Substitusi $x = 3$ kedalam persamaan $y = x^2 - 4x - 5$.
didapat $y = -8$.
Berarti titik singgung kurva adalah $(3, -8)$.
Persamaan garis yang melelui titik $(3, -8)$ dengan gradien $2$
adalah:
$y - (-8) = 2(x - 3)$
$y + 8 = 2x - 6$
$-2x + y + 14 = 0$
$2x - y - 14 = 0$ → B.

$19$. Diketahui $a\ dan \ b$ bilangan-bilangan positif dengan $a + b = 300$. Nilai $a^2b$ akan mencapai maksimum untuk nilai $b =$ . . . .
A. 120
B. 150
C. 180
D. 200
E. 300

Pembahasan:

Dari persamaan $a + b = 300$, didapat $a = 300 - b$
sehingga:
$a^2b = (300 - b)^2b$
$= (90000 - 600b + b^2)b$
$= 90000b - 600b^2 + b^3$
Bisa kita tuliskan dalam bentuk:
$f(b) = b^3 - 600b^2 + 90000b$ dimana $f(b) = a^2b$
Karena yang ditanya nilai maksimum, maka:
$f'(b) = 0$
$3b^2 - 1200b + 90000 = 0$
$b^2 - 400b + 30000 = 0$
$(b - 100)(b - 300) = 0$
$b = 100$ atau $b = 300$
$f''(b) = 6b - 1200$
$f''(100) = 6.100 - 1200$
$= -600 < 0$ → maksimum di $b = 100$
$f''(300) = 6.300 - 1200$
$= 600 > 0$ → minimum di $b = 300$
Jawab: ---

$20$. Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx =$ . . . .
$A.\ -\sqrt{x^2-2x+10} + C$
$B.\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+10} + C$
$C.\ \dfrac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+10} + C$
$D.\ \sqrt{x^2-2x+10} + C$
$E.\ 2\sqrt{x^2-2x+10} + C$

Pembahasan:

Misalkan:
$u = x^2 - 2x + 10$
$\displaystyle \dfrac{du}{dx} = 2x -2$
$\displaystyle \dfrac{1}{2}du = (x - 1)dx$
$\displaystyle \int \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle \int \dfrac{du}{\sqrt{u}}$
$\displaystyle = {1\over 2}\int u^{-1\over 2}du$
$\displaystyle = {1\over 2}.2.u^{1\over 2} + C$
$\displaystyle = \sqrt{u} + C$
$\displaystyle = \sqrt{x^2 -2x + 10} + C$ → D.

$21$. Diketahui $\displaystyle \int_{0}^{3}\left(x^2 + px + 2 \right)dx = \left({3\over 2} \right )$. Nilai
$p$ yang memenuhi adalah . . . .
$A.\ -26$
$B.\ -13$
$C.\ -3$
$D.\ 3$
$E.\ 13$

Pembahasan:

$\displaystyle \int_{0}^{3}\left(x^2 + px + 2 \right)dx = \left(\dfrac{3}{2} \right )$
$\displaystyle \left[\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{p}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{3} = \dfrac{3}{2}$
$\displaystyle \dfrac{1}{3}.3^3 + \dfrac{p}{2}.3^2 + 2.3 - 0 = \dfrac{3}{2}$
$\displaystyle 9 + \dfrac{9}{2}p + 6 = \dfrac{3}{2}$
$\displaystyle 15 + \dfrac{9}{2}p = \dfrac{3}{2}$
$30 + 9p = 3$
$9p = -27$
$p = -3$ → C.

$22$. Pada sebuah segitiga siku-siku diketahui $sin\ \alpha = a$, maka nilai $tan\ \alpha =$ . . . .
$A.\ \displaystyle -\dfrac{a}{\sqrt{a^2 - 1}}$
$B.\ \displaystyle -\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - 1}}$
$C.\ \displaystyle -\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$
$D.\ \displaystyle \dfrac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$
$E.\ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Pembahasan:


$23$. Bagus berdiri dengan jarak $80 m$ dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi $30^o$. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah $150 cm$, tinggi menara tersebut adalah . . . .
$A.\ \displaystyle \left(\dfrac{80}{3}\sqrt{3} + 1,5 \right)\ m$
$B.\ \displaystyle \left(\dfrac{80}{3}\sqrt{3} - 1,5 \right)\ m$
$C.\ \displaystyle \left(80\sqrt{3} - 1,5 \right)\ m$
$D.\ \displaystyle \left(80\sqrt{3} + 1,5 \right)\ m$
$E.\ \displaystyle \left(\dfrac{81,5}{3}\sqrt{3} \right)\ m$

Pembahasan:


$\displaystyle tan\ 30^o = \dfrac{AC}{AB}$
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{AC}{80}$
$\displaystyle AC = \dfrac{80}{3}\sqrt{3}$
$\displaystyle CD = AC + AD$
$\displaystyle CD = \dfrac{80}{3}\sqrt{3} + 1,5\ m$ → A.

$24$. Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar $60^o$ dan sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah . . . .
$A.\ 72\ m^2$
$B.\ 72\sqrt{2}\ m^2$
$C.\ 72\sqrt{3}\ m^2$
$D.\ 144\ m^2$
$E.\ 144\sqrt{3}\ m^2$

Pembahasan:

Luas segitiga sembarang:
Luas = Sinus sudut yang diapit dikali sisi-sisi pengapit.

$\displaystyle L = \dfrac{1}{2}absinC$
$\displaystyle L = \dfrac{1}{2}acsinB$
$\displaystyle L = \dfrac{1}{2}bcsinA$

$\displaystyle L = \dfrac{1}{2}.18.16.sin60^o$
$= 72\sqrt{3}\ m^2$ → C.

$25$. Kamar Andi berbentuk balok dengan panjang 4 m, lebar 3 m, dan tinggi 3 m. Andi memasang lampu di tengah-tengah rusuk tegak salah satu pertemuan di dinding kamarnya. Jarak sinar lampu terjauh di kamar Andi adalah . . . .
$A.\ \displaystyle \dfrac{1}{2}\sqrt{109}\ m$
$B.\ \displaystyle \dfrac{1}{2}\sqrt{106}\ m$
$C.\ \displaystyle \dfrac{1}{2}\sqrt{91}\ m$
$D.\ \displaystyle \dfrac{1}{4}\sqrt{109}\ m$
$E.\ \displaystyle \dfrac{1}{4}\sqrt{106}\ m$

Pembahasan:


Jarak sinar lampu terjauh adalah AL.
$AB = 5\ m$
$AL^2 = AB^2 + BL^2$
$\displaystyle = 5^2 + \left(\dfrac{3}{2} \right)^2$
$\displaystyle = 25 + \left(\dfrac{9}{4} \right)$
$\displaystyle = \dfrac{109}{4}$
$\displaystyle AL = \sqrt{\dfrac{109}{4}}$
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\sqrt{109}\ m$ → A.

$26$. Diketahui kubus ABCD.EFGH besar sudut antara DG
dan AE adalah . . . .
$A.\ 0^o$
$B.\ 30^o$
$C.\ 45^o$
$D.\ 60^o$
$E.\ 90^o$

Pembahasan:


Sudut antara DG dan AE sama dengan sudut antara DG dan DH yaitu α
$\displaystyle tan\ \alpha = \dfrac{GH}{DH}$
$\displaystyle tan\ \alpha = \dfrac{a}{a}$
$\displaystyle tan\ \alpha = 1$
$\alpha = arc\ tan (1)$
$\alpha = 45^o$ → C.

$27$. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-2, 5)$ dan melalui titik $(3, -7)$ adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 + 4x - 10y - 140 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - 4x - 10y - 140 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 + 4x - 10y - 198 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 10x - 4y - 140 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 + 10x - 4y - 198 = 0$

Pembahasan:

Jari-jari lingkaran adalah jarak antara pusat lingkaran dengan titik yang dilalui oleh lingkaran.
$R^2 = (3 - (-2))^2 + (-7 - 5)^2$
$= 5^2 + (-12)^2$
$= 169$
$R = 13$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dengan jari-jari $R$.
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
$(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 13^2$
$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 13^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 169$
$x^2 + y^2 + 4x - 10y - 140 = 0$ → A.
Klik Persamaan Lingkaran untuk mempelajarinya

$28$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ yang tegak lurus garis $5x + 12y - 12 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 12x - 5y = 7\ atau\ 12x - 5y = 85$
$B.\ 12x + 5y = 7\ atau\ 12x + 5y = 85$
$C.\ 12x + 5y = 7\ atau\ 12x - 5y = 85$
$D.\ 12x - 5y = 7\ atau\ 12x + 5y = 85$
$E.\ 5x - 12y = 7\ atau\ 5x + 12y = 85$

Pembahasan:

Kita cari gradien garis singgung lingkaran, diketahui tegak lurus dengan garis $5x + 12y - 12 = 0$
$m_1 = -\dfrac{5}{12}$
Karena saling tegak lurus, maka:
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac{5}{12}.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{12}{5}$ ← Gradien garis singgung lingkaran.

Lingkaran : $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Pusat lingkaran:
$P = \left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)$
$P = \left(-\dfrac{1}{2}.(-6), -\dfrac{1}{2}.4\right)$
$P = (3, -2)$

Jari-jari lingkaran:
$R^2 = \dfrac{1}{4}A^2 + \dfrac{1}{4}B^2 - C$
$R^2 = \dfrac{1}{4}.(-6)^2 + \dfrac{1}{4}.4^2 - 4$
$R^2 = 9 + 4 - 4$
$R^2 = 9$
$R = 3$

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dengan gradien $m$:
$y - b = m(x - a) \pm R\sqrt{1 + m^2}$
$y - (-2) = \dfrac{12}{5}(x - 3) \pm 3\sqrt{1 + \left(\dfrac{12}{5}\right)^2}$
$y + 2 = \dfrac{12}{5}(x - 3) \pm 3\sqrt{\dfrac{169}{25}}$
$y + 2 = \dfrac{12}{5}(x - 3) \pm 3.\dfrac{13}{5}$
$5y + 10 = 12(x - 3) \pm 39$
$5y + 10 = 12x - 36 \pm 39$
Pertama:
$5y + 10 = 12x + 3$
$12x - 5y = 7$
Kedua:
$5y + 10 = 12x - 75$
$12x - 5y = 85$
Jawab: A.
Pelajari juga Persamaan Garis Lurus

$29$. Suatu segitiga KLM dengan titik $K(4, 3)$, $L(-1, 2)$ $M(3, 5)$ dirotasi sejauh $180^o$ dengan pusat rotasi $(2, 2)$. Bayangan ketiga titik tersebut berturut-turut adalah . . . .
$A.\ (-4, -3), (1, -2), (-3, -5)$
$B.\ (-3, -4), (-2, 1), (-5, -3)$
$C.\ (3, 4), (2, -1), (5, 3)$
$D.\ (0, 1), (5, 2), (1, -1)$
$E.\ (1, -1), (2, -5), (-1, 1)$

Pembahasan:

Rotasi sejauh $α$ dengan pusat $(a, b)$
$\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a\\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos 180^o & -sin 180^o \\ sin 180^o & cos 180^o \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - 2\\ y - 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - 2\\ y - 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - x \\ 4 - y \end{pmatrix}$

$K(4, 3) → K'(0, 1)$
$L(-1, 2) → L'(5, 2)$
$M(3, 5) → M'(1, -1)$ → D.

$30$. Data tinggi badan 50 siswa suatu kelas disajikan dalam histogram berikut,


Diagram ogive yang sesuai dengan data tersebut adalah . . . .


Pembahasan:

Soal ini adalah soal yang salah. Jika dilihat frekwensinya, angka 12 di atas angka 13.


Tidak ada kurva yang cocok dengan tabel.
Jawab: ---

$31$. Diketahui data sebagai berikut:


Kuartil bawah $(Q_1)$ dari data tersebut adalah . . . .
A. 75,83
B. 76,83
C. 76,33
D. 77,83
E. 78,33

Pembahasan:

Menentukan kelas $Q_1$:
$\dfrac{1}{4}n = \dfrac{1}{4}.80 = 20$
$Q_1$ terletak pada data ke 20 interval kelas $76 - 80$.

$L_1 = 76 - 0,5 = 75,5$ ← tepi bawah kelas $Q_1$
$fk1 = 8 + 10 = 18$ ← jumlah semua frekwensi di atas
frekwensi kelas $Q_1$.
$f1 = 12$ ← frekwensi kelas $Q_1$
$c = 80,5 - 75,5 = 5$ ← panjang kelas.

$\displaystyle Q_1 = L_1 + \left(\dfrac{\dfrac{1}{4}n - fk1}{f1}\right)c$
$\displaystyle Q_1 = 75,5 + \dfrac{20 - 18}{12}.5$
$\displaystyle Q_1 = 75,5 + \dfrac{2}{12}.5$
$Q_1 = 75,5 + 0,83$
$Q_1 = 76,33$ → C.

$32$. Perolehan nilai tes siswa suatu kelas disajikan pada histogram berikut.


Nilai tes siswa terbanyak adalah . . . .
A. 74,75
B. 75,50
C. 75,75
D. 76,50
E. 77,50

Pembahasan:

Karena yang ditanya adalah nilai tes siswa terbanyak, maka yang akan kita cari adalah modus. Dengan melihat grafik, kelas modus adalah $75 - 79$
$L_o = 74,5$ ← tepi bawah kelas modus.
$d1 = 15 - 9 = 6$ ← frekwensi kelas modus dikurangi frekwensi kelas sebelum kelas modus.
$d2 = 15 - 6 = 9$ ← frekwensi kelas modus dikurangi frekwensi kelas sesudah kelas modus.
$c = 79,5 - 74,5 = 5$ ← panjang kelas.

$\displaystyle Mo = L_o + \dfrac{d1}{d1 + d2}c$
$\displaystyle = 74,5 + \dfrac{6}{6 + 9}.5$
$\displaystyle = 74,5 + \dfrac{6}{15}.5$
$= 74,5 + 2$
$= 76,50$ → D.

$33$. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 8, 9 akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka berlainan. Banyak bilangan lebih besar dari 500 yang bisa dibuat adalah . . . .
A. 120
B. 80
C. 64
D. 60
E. 40

Pembahasan:

Banyak bilangan lebih besar dari 500 adalah:
4.5.4 = 80 → B.

$34$. Arkan akan membuat password untuk alamat emailnya yang terdiri dari 5 huruf kemudian diikuti oleh 2 angka yang berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari pembentuk kata pada namanya, maka banyaknya password yang dibuat adalah . . . .
A. 1800
B. 2160
C. 2700
D. 4860
E. 5400

Pembahasan:

Banyak kata 5 huruf yang bisa disusun dari kata Arkan adalah:
$\displaystyle \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{5.4.3.2!}{2!} = 60$ kata.
Banyak angka yang terdiri dari dua angka yang bisa disusun dari angka 0 sampai 9 adalah:
$\displaystyle _{2}^{10}\textrm{P} = \dfrac{10!}{(10 - 2)!}$
$\displaystyle = \dfrac{10.9.8!}{8!}$
$= 90$
Banyaknya password yang bisa dibentuk dari kata Arkan dan diikuti dua angka berbeda adalah:
$60.90 = 5400$ password. → E.

$35$. Dari 12 soal yang diberikan, siswa harus mengerjakan 10 soal dengan syarat soal nomor 1, 2, 3, 4, dan 5 harus dikerjakan. Banyak kemungkinan susunan soal yang dipilih siswa adalah . . . .
A. 12 cara
B. 21 cara
C. 42 cara
D. 66 cara
E. 84 cara

Pembahasan:

Karena soal nomor 1, 2, 3, 4, dan 5 wajib dikerjakan, sementara jumlah soal yang harus dikerjakan adalah 10 soal dari 12 soal, maka siswa boleh memilih 5 soal lagi dari soal nomor 6 sampai nomor 12. Dengan kata lain memilih 5 soal lagi dari 7 soal yang tersedia. Banyak susunan soal adalah:
$\displaystyle _{5}^{7}\textrm{C} = \dfrac{7!}{(7 - 5)!.5!}$
$\displaystyle = \dfrac{7!}{2!.5!}$
$\displaystyle = \dfrac{7.6.5!}{2.1.5!}$
$\displaystyle = 21$ cara. → B.

$36$. Perusahaan listrik suatu wilayah membuat jadwal pemadaman listrik pada 30 komplek perumahan yang ada pada wilayah cakupannya sebagai berikut:


Jika pemadaman tersebut berlaku secara acak pada semua komplek, peluang terjadi pemadaman listrik di sebuah komplek pada hari rabu atau minggu adalah . . . .
$A.\ \displaystyle \dfrac{1}{300}$
$B.\ \displaystyle \dfrac{1}{10}$
$C.\ \displaystyle \dfrac{1}{15}$
$D.\ \displaystyle \dfrac{13}{100}$
$E.\ \displaystyle \dfrac{7}{30}$

Pembahasan:

$n(S) = 4 + 5 + 3 + 5 + 4 + 5 + 4 = 30$
$n(A) = 3 + 4 = 7$
$\displaystyle P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$
$\displaystyle P(A) = \dfrac{7}{30}$ → E.

B. ISIAN
$37$. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 + 2x + 5 = 0$ adalah $x_1\ dan\ x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1 + 1 \ dan \ x_2 + 1$ adalah $ax^2 + bx + c = 0$. Nilai dari $2a + b + c$ adalah . . . .

Pembahasan:

Karena akar-akarnya simetris, maka kita bisa melakukan metode substitusi.
$x_1 + 1 = x$
$x_1 = x - 1$
Substitusi $x_1 = x - 1$ kedalam persamaan kuadrat.
$3(x - 1)^2 + 2(x - 1) + 5 = 0$
$3(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 + 5 = 0$
$3x^2 - 6x + 3 + 2x + 3 = 0$
$3x^2 - 4x + 6 = 0$
$a = 3, b = -4, c = 6$
$2a + b + c = 2.3 - 4 + 6$
$2a + b + c = 8$
$\boxed{8}$

$38$. Diketahui $f(x) = \begin{cases} ax & , x \leq 1 \\ x + 1 & , x > 1 \end{cases}$. Agar $\displaystyle \lim_{x \to 1}\ f(x)$ mempunyai nilai, maka $a =$ . . . .

Pembahasan:

limit kiri harus sama dengan limit kanan
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\ ax = \lim_{x \to 1}\ x + 1$
$a.1 = 1 + 1$
$a = 2$
$\boxed{2}$

$39$. Nilai $x$ yang memenuhi saat fungsi $f(x) = 2sin 3x - 1$ memotong sumbu X pada interval $270^o ≤ x ≤ 360^o$ adalah . . . .

Pembahasan:
Fungsi memotong sumbu X jika $f(x) = 0$
$2sin3x - 1 = 0$
$\displaystyle sin 3x = {1\over 2}$
$sin 3x = sin 30$ atau $sin 3x = sin 150$
$3x = 30^o \pm k.360^o$ atau $3x = 150^o \pm k.360^o$
$x = 10^o \pm k.120^o$ atau $x = 50 \pm k.120^o$
Jika $k = 0$, maka $x = 10^o$ atau $x = 50^o$
Jika $k = 1$, maka $x = 130^o$ atau $x = 170^o$
Jika $k = 2$, maka $x = 250^o$ atau $x = 290^o$
Maka $x = 290^o$
$\boxed{290}$

$40$. Banyak bilangan genap terdiri dari 3 angka berbeda yang disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 7, dan 9 adalah . . . .

Pembahasan:

Bilangan genap adalah bilangan yang angka terakhirnya adalah angka genap. Jadi banyak bilangan genap yang mungkin adalah:
5.4.2 = 40
$\boxed{40}$

SHARE THIS POST


www.maretong.com



No comments:

Post a Comment

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.