MARETONG: Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Tuesday, August 06, 2019

Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma


Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma adalah dua hal yang berbeda walaupun sama-sama berbicara tentang logaritma. Untuk memahami perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan logaritma, langsung saja simak ulasan-ulasan berikut.

Pengertian Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu bentuk persamaan yang mengandung unsur/materi logaritma. Dibutuhkan kreatifitas yang tinggi untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Tentu, sebelum berhadapan dengan persamaan logaritma, adik-adik sudah harus fasih dasar-dasar logaritma. Untuk memahami persamaan logaritma, langsung saja simak dan pelajari soal-soal berikut.

Soal dan Pembahasan Persamaan Logaritma

$1.$ Jika $^{4}log^{4}log x -\ ^{4}log^{4}log^{4}log 16 = 2$, maka . . . .
  $A.\ ^{2}log x = 8$
  $B.\ ^{2}log x = 4$
  $C.\ ^{4}log x = 8$
  $D.\ ^{4}log x = 16$
  $E.\ ^{16}log x = 8$
[Persamaan Logaritma]
$^{4}log^{4}log x -\ ^{4}log^{4}log^{4}log 16 = 2$

Kita selesaikan dulu bagian $^{4}log^{4}log^{4}log 16$ !

Ingat!!!!!!

$^{a^n}log\ b^m = \dfrac mn.^alog\ b$
$^alog\ a = 1$

$^4log\ 16 =\ ^4log\ 4^2$
$= 2.^4log\ 4$
$= 2.1$
$= 2$

$^4log 2 =\ ^{2^2}log\ 2$
$= \dfrac12.^2log\ 2$
$= \dfrac12.1$
$= \dfrac12$

$^4log {1\over 2} =\ ^{2^{2}}log\ 2^{-1}$
$= \dfrac{-1}{2}.^2log\ 2$
$= \dfrac{-1}{2}.1$
$= -\dfrac12$

Sehingga:
$^{4}log^{4}log^{4}log 16$ = $^{4}log^{4}log 2$ = $^{4}log\dfrac{1}2{}$ = $-\dfrac{1}{2}$

Persamaan logaritma menjadi:

$^{4}log^{4}log\ x - (-\dfrac{1}{2}) = 2$
$^{4}log^{4}log\ x + \dfrac{1}{2} = 2$
$^{4}log^{4}log\ x = \dfrac{3}{2}$

Ingat sifat-sifat logaaritma:
Jika $^alog\ b = c$ maka $b = a^c$

sehingga:
$^{4}log\ x = 4^{\frac{3}{2}}$
$^{4}log\ x = \left( 2^2\right)^{\frac{3}{2}}$
$^{4}log\ x = \left( 2\right)^{2.\frac{3}{2}}$
$^{4}log\ x = \left( 2\right)^3$
$^4log\ x = 8$
$Jawab:\ C.$

$2.$ Jika $log\ (9^{x + 4})^{\frac{1}{2}} - log\ 81^{x - 5} = 0$, maka
  nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah . . . .
  $A.\ 14$
  $B.\ 10$
  $C.\ 8$
  $D.\ 4$
  $E.\ 2$
[Persamaan Logaritma]
$log\ (9^{x + 4})^{\frac{1}{2}} - log\ 81^{x - 5} = 0$

Modifikasi persamaan logaritma menjadi:

$log\ (9^{x + 4})^{\frac{1}{2}} = log\ 81^{x - 5}$
$(9^{x + 4})^{\frac{1}{2}} = 81^{x - 5}$
$\left(3^{2}\right)^{\frac{x + 4}{2}} = \left(3^4\right)^{x - 5}$
$\left(3\right)^{2.\frac{x + 4}{2}} = \left(3\right)^{4(x - 5)}$
$3^{x + 4} = 3^{4x - 20}$
$x + 4 = 4x - 20$
$3x = 24$
$x = 8$
$Jawab:\ C.$

$3.$ Jika $x^{log x} = 10.000$, maka $^{100}log x$ = . . . .
  $A.\ -4\ atau\ 3$
  $B.\ -3\ atau\ 3$
  $C.\ -2\ atau\ 2$
  $D.\ -1\ atau\ 1$
  $E.\ -\dfrac{1}{2}\ atau\ \dfrac{1}{2}$
[Persamaan Logaritma]
$x^{log x} = 10.000$

Logaritmakan ruas kiri daan ruas kanan !
$log x^{log x} = log 10.000$

Ingat!
$log\ 10.000 =\ ^{10}log\ 10^4$
$=\ 4.\ ^{10}log\ 10$
$= 4.1$
$= 4$

Persamaan menjadi:
$log\ x.log\ x = 4$

Misalkan $log\ x = p$

$p^{2} = 4$
$p^{2} - 4 = 0$
$(p + 2)(p - 2) = 0$
$p = -2$ atau $p = 2$.

Kembalikan ke pemisalan !
$(i).\ log\ x = -2$ → $x_1 = 10^{-2} = \dfrac{1}{100}$
$^{100}log\frac{1}{100} = -1$

$(ii).\ log\ x = 2$ → $x_{2} = 10^2 = 100$
$^{100}log 100 = 1$
$Jawab:\ D.$

$4.$ Nilai x yang memenuhi persamaan:
  $^{5 - 4x}log\ (x^{2} - 7x - 5) = log\ 10$ adalah . . . .
  $A.\ -4$
  $B.\ -3$
  $C.\ -2$
  $D.\ 3$
  $E.\ 2$
[Persamaan Logaritma]
$^{5 - 4x}log (x^{2} - 7x - 5) = log\ 10$

Syarat basis:
$5 - 4x > 0\ dan\ 5 - 4x ≠ 1$
$(i).\ 5 - 4x > 0$
$5 > 4x$
$4x < 5$
$x < \dfrac54$
$(ii).\ 5 - 4x \ne 1$
$5 - 1 \ne 4x$
$4 \ne 4x$
$x \ne 1$
Jadi syarat basis adalah:
$x < \dfrac54 \ dan\ x \ne 1$ . . . . *

Syarat numerus:
$x^{2} - 7x - 5 > 0$ → karena sulit difaktorkan,
$x$ yang didapat dichek belakangan saja.
Kita langsung ke persamaan!
$x^{2} - 7x - 5 = 5 - 4x$
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
$(x + 2)(x - 5) = 0$
$x = -2$ atau $x = 5$
$x = 5$ tidak memenuhi syarat basis, karena syarat
basis adalah $x < \frac{5}{4}\ dan\ x ≠ 1.$
Yang memenuhi syarat basis adalah $x = -2$
Periksa $x = -2$ dengan syarat numerus!
$(-2)^{2} - 7.(-2) - 5 = 13 > 0$.
$x = -2$ ternyata memenuhi syarat numerus, sehingga
$x = -2$ adalah penyelesaian.
$Jawab:\ C.$

$5.$ Hasil kali akar-akar persamaan: $^{3}log x^{2 + ^{3}log x} = 15$
  adalah . . . .
  $A.\ \dfrac{1}{9}$
  $B.\ \dfrac{1}{3}$
  $C.\ 1$
  $D.\ 2$
  $E.\ 3$
[Persamaan Logaritma]
$^{3}log x^{2 + ^{3}log x} = 15$

Ingat sifat-sifat logaritma:
$^alog\ b^m$ = $m.^alog b$

$(2 +\ ^{3}log x).^{3}log x = 15$

Persamaan logaritma menjadi:
$^{3}log^{2}x + 2.^{3}log x - 15 = 0$

Misalkan $^{3}log x = p$
$p^{2} + 2p -15 = 0$
$(p + 5)(p - 3) = 0$
$p = -5$ atau $p = 3$

$^{3}log\ x = -5 → x_1 = 3^{-5}$
$^{3}log\ x = 3 → x_2 = 3^{3}$
$x_{1}.x_{2} = 3^{-5}.3^{3} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$
jawab: A.

$6.$ Hasil kali semua nilai x yang memenuhi persamaan:
  $log (64\sqrt[24]{2^{x^{2} - 40x}}) = 0$ adalah . . . .
  $A.\ 144$
  $B.\ 100$
  $C.\ 72$
  $D.\ 6$
  $E.\ 5$
[Persamaan Logaritma]
$log (64\sqrt[24]{2^{x^{2} - 40x}}) = 0$

Modifikasi persamaan logaritma menjadi:

$log (64\sqrt[24]{2^{x^{2} - 40x}}) = log\ 1$
$64\sqrt[24]{2^{x^{2} - 40x}} = 1$
$\displaystyle 2^{\frac{x^2 - 40x}{24}} = \dfrac{1}{64}$
$2^{\frac{x^2 - 40x}{24}} = \dfrac{1}{2^6}$
$2^{\frac{x^2 - 40x}{24}} = 2^{-6}$
$\dfrac{x^{2} - 40x}{24} = -6$
$x^2 - 40x = -144$
$x^{2} - 40x + 144 = 0$

$x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}$
$= \dfrac{144}{1}$
$= 144$
$Jawab:\ A.$

$7.$ Jika $a > 0$ maka penyelesaian dari $^{a}log (2x + 1).^{3}log \sqrt{a} = 1$
  adalah . . . .
  $A.\ 1$
  $B.\ 2$
  $C.\ 3$
  $D.\ 4$
  $E.\ 5$
[Persamaan Logaritma]
$^{a}log (2x + 1).^{3}log \sqrt{a} = 1$
$^{a}log (2x + 1).^{3}log\ a^{\frac12} = 1$
$^{a}log (2x + 1).\dfrac12.^{3}log\ a = 1$

Ingat !
$^alog\ b = \dfrac{log\ b}{log\ a}$

$\dfrac12.\dfrac{log (2x + 1)}{log a}.\dfrac{log a}{log 3} = 1$

Kalikan ruas kanan dan ruas kiri dengan 2,
sehingga:
$\dfrac{log (2x + 1)}{log 3} = 2$
$^{3}log (2x + 1) = 2$
$2x + 1 = 9$
$2x = 8$
$x = 4$
$Jawab:\ D.$

$8.$ Jika $^{4}log(4.4^{x}) = 2 - x$, maka x = . . . .
  $A.\ -1$
  $B.\ -\dfrac{1}{2}$
  $C.\ \dfrac{1}{2}$
  $D.\ 1$
  $E.\ 2$
[Persamaan Logaritma]
$^{4}log(4.4^{x}) = 2 - x$
$4^{x + 1} = 4^{2 - x}$
$x + 1 = 2 - x$
$2x = 1$
$x = \dfrac{1}{2}$
$Jawab:\ C.$

$9.$ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan:
  $^{2}log\ ^{2}log\ (2^{x + 1} + 3) = 1 + ^{2}log\ x$ adalah . . . .
  $A.\ log\dfrac{2}{3}$
  $B.\ ^{2}log 3$
  $C.\ ^{3}log 2$
  $D.\ -1\ atau\ 3$
  $E.\ 8\ atau\ \dfrac{1}{2}$
[Persamaan Logaritma]
$^{2}log^{2}log\ (2^{x + 1} + 3) = 1 +\ ^{2}log\ x$

Ingat!!!!

$^alog\ a = 1$, artinya $1$ bisa kita ubah
menjadi $^alog\ a$, dimana $a$ adalah bilangan
sembarang yang $> 0\ dan\ ≠ 1.$

Persamaan logaritma menjadi:
$^{2}log^{2}log\ (2^{x + 1} + 3) =\ ^{2}log\ 2 +\ ^{2}log\ x$
$^{2}log^{2}log\ (2^{x + 1} + 3) =\ ^{2}log\ 2x$
$^{2}log\ (2^{x + 1} + 3) = 2x$
$(2^{x + 1} + 3) = 2^{2x}$
$2^{2x} - 2^{x + 1} - 3 = 0$
$2^{2x} - 2.2^{x} - 3 = 0$
$\left(2^{x}\right)^2 - 2.2^{x} - 3 = 0$

Misalkan $2^{x} = p$
$p^{2} - 2p -3 = 0$
$(p + 1)(p - 3) = 0$
$p = -1$ atau $p = 3$

$2^{x} = -1$ ← tidak mungkin, karena $2^x$ pasti selalu
positif.

$2^{x} = 3$
$x = ^{2}log\ 3$
$Jawab:\ B.$

$10.$ Jika $^{2}log\sqrt{x^{2} - 16} = 2$, maka $^{x}log\ 2$ = . . . .
  $A.\ \dfrac{1}{5}$
  $B.\ \dfrac{2}{5}$
  $C.\ \dfrac{3}{5}$
  $D.\ \dfrac{4}{5}$
  $E.\ 1$
[Persamaan Logaritma]
$^{2}log\sqrt{x^{2} - 16} = 2$

Syarat numerus:
$x^{2} - 16 > 0$
$(x + 4)(x - 4) > 0$
$x < -4$ atau $x > 4$ .... (1)

Jika $^alog\ b = c$ maka $b = a^c$

$\sqrt{x^{2} - 16} = 2^2$
$\sqrt{x^{2} - 16} = 4$
$x^{2} - 16 = 16$
$x^{2} = 32$
$x = ± \sqrt{32}$

$x = -\sqrt{32}$ tidak memenuhi syarat karena
yang ditanya adalah $^{x}log\ 2$, dimana $x$
adalah basis (ingat syarat basis).

$^{x}log\ 2 = ^{\sqrt{32}}log\ 2$
$=\ ^{2^{\frac{5}{2}}}log\ 2$
$= \dfrac{1}{5/2}.^{2}log 2$
$= \dfrac{2}{5}. ^{2}log 2$
$= \dfrac{2}{5}$
$Jawab:\ B.$

$11.$ Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $^{2}log x^{(1 + ^{2}log x)} = 2$,
  maka nilai $x_{1} + x_{2} =$ . . . .
  $A.\ 2\dfrac{1}{4}$
  $B.\ 2\dfrac{1}{2}$
  $C.\ 4\dfrac{1}{4}$
  $D.\ 4\dfrac{1}{2}$
  $E.\ 6\dfrac{1}{4}$
[Persamaan Logaritma]
$^{2}log\ x^{(1 +\ ^{2}log\ x)} = 2$
$(1 +\ ^{2}log\ x).^{2}log\ x = 2$
$^{2}log^{2}x +\ ^{2}log x - 2 = 0$

misalkan $^{2}log x = p$
$p^{2} + p -2 = 0$
$(p + 2)(p -1) = 0$
$p = -2$ atau $p = 1$

$^{2}log\ x = -2 → x_1 = 2^{-2} = \dfrac14$
$^{2}log\ x = 1 → x_2 = 2^1 = 2$
$x_{1} + x_{2} = \dfrac{1}{4} + 2 = 2\dfrac{1}{4}$
$Jawab:\ A.$

$12.$ Nilai x yang memenuhi persamaan: $^{3x + 2}log\ 27 =\ ^{5}log\ 3$
  adalah . . . .
  $A.\ 42$
  $B.\ 41$
  $C.\ 39$
  $D.\ 7\dfrac{2}{3}$
  $E.\ 7\dfrac{1}{3}$
[Persamaan Logaritma]
$^{3x + 2}log\ 27 =\ ^{5}log\ 3$
$^{3x + 2}log\ 3^3 =\ ^{5}log\ 3$
$3.^{3x + 2}log\ 3 =\ ^{5}log\ 3$
$^{(3x + 2)^{1/3}}log\ 3 =\ ^{5}log\ 3$
$(3x + 2)^{1/3} = 5$
$3x + 2 = 125$
$3x = 123$
$x = 41$
$Jawab:\ B.$

$13.$ Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan:
  $2(^{4}log x)^{2} - 6(^{4}log\frac{x}{2}) + 1 = 0$,
  maka $x_{1} + x_{2} = . . . .$
  A. 3
  B. 4
  C. 6
  D. 12
  E. 20
[Persamaan logaritma]
$2(^{4}log\ x)^{2} - 6(^{4}log\ \dfrac{x}{2}) + 1 = 0$
$2(^{4}log\ x)^{2} - 6(^{4}log\ x -\ ^{4}log 2) + 1 = 0$
$2.^{4}log^{2}\ x - 6.^{4}log\ x + 6.\dfrac{1}{2}.^2log\ 2 + 1 = 0$
$2.^{4}log^{2}\ x - 6.^{4}log\ x + 6.\dfrac{1}{2}.1 + 1 = 0$
$2.^{4}log^{2}\ x - 6.^{4}log\ x + 4 = 0$

Misalkan $^{4}log x = p$
$2p^{2} - 6p + 4 = 0$
$p^{2} - 3p + 2 = 0$
$(p- 1)(p - 2) = 0$
$p = 1$ atau $p = 2$

$^{4}log x = 1 → x_{1} = 4^1 = 4$
$^{4}log x = 2 → x_{2} = 4^2 = 16$
$x_{1} + x_{2} = 4 + 16 = 20$
$Jawab:\ E.$

$14.$ Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan:
  $(x + 1)^{log\ (x + 1)} = \dfrac{(x + 1)^{3}}{100}$,
  maka $x_{1} + x_{2}$ = . . . .
  $A.\ 81$
  $B.\ 96$
  $C.\ 108$
  $D.\ 120$
  $E.\ 144$
[Persamaan Logaritma]
$(x + 1)^{log\ (x + 1)} = \dfrac{(x + 1)^{3}}{100}$

Logaritmakan ruas kiri dan ruas kanan.
Persamaan logaritma menjadi:
$log\ (x + 1)^{log\ (x + 1)} = log\dfrac{(x + 1)^{3}}{100}$
$log\ (x + 1).log\ (x + 1) = log\ (x + 1)^{3} - log 100 $
$log^{2}\ (x + 1) = 3.log\ (x + 1) - 2$
$log^{2}\ (x + 1) - 3.log\ (x + 1) - 2 = 0$

misalkan $log\ (x + 1) = p$
$p^{2} - 3p - 2 = 0$
$(p - 1)(p - 2) = 0$
$p = 1$ atau $p = 2$

$log\ (x + 1) = 1$
$x + 1 = 10 → x_1 = 9$

$log (x + 1) = 2$
$x + 1 = 100 → x_2 = 99$

$x_{1} + x_{2} = 9 + 99 = 108$
$Jawab:\ C.$

$15.$ Jika x memenuhi persamaan:
  $^{x - 2}log\ (x^{2} + 5) =\ ^{x - 2}log\ (4x + 10)$ dan $a$ memenuhi $ax = 7$,
  maka nilai $a + x =$ . . . .
  $A.\ -\dfrac{32}{5}$
  $B.\ -6$
  $C.\ 6$
  $D.\ \dfrac{32}{5}$
  $E.\ 8$
[Persamaan Logaritma]
$^{x - 2}log\ (x^{2} + 5) =\ ^{x - 2}log\ (4x + 10)$

Syarat basis:
$x - 2 > 0\ dan\ x - 2 ≠ 1$
$x > 2\ dan\ x ≠ 3$ . . . . *

Syarat numerus:
$(i).\ x^{2} + 5 > 0$ → definit positif.
Selalu memenuhi untuk semua nilai $x$.

$(ii).\ 4x + 10 > 0$
$4x > -10$
$x > -\dfrac{5}{2}$ . . . . **

Persamaan:
$x^{2} + 5 = 4x + 10$
$x^{2} - 4x -5 = 0$
$(x + 1)(x - 5) = 0$

$x = 5\ atau\ x = -1$
$x = -1$ tidak memenuhi syarat basis, karena
syarat basis adalah $x > 2\ dan\ x ≠ 3$.
Yang memenuhi syarat basis adalah $x = 5$.

$ax = 7$
$5a = 7$
$a = \dfrac{7}{5}$

$a + x = \dfrac{7}{5} + 5$
$ = \dfrac{32}{5}$
$Jawab:\ D.$

$16.$ Jika $\dfrac{1}{^2log\ p +\ ^4log\ q} = 4$, maka $p^2q =$ . . . .
$A.\ \dfrac32$
$B.\ \sqrt{2}$
$C.\ \dfrac12$
$D.\ \sqrt{3}$
$E.\ 4$
[Persamaan Logaritma]
$\dfrac{1}{^2log\ p +\ ^4log\ q} = 4$
$\dfrac{1}{^2log\ p +\ \dfrac12.^2log\ q} = 4$
$\dfrac{1}{^2log\ p +\ ^2log\ \sqrt{q}} = 4$
$\dfrac{1}{^2log\ (p.\sqrt{q})} = 4$

Ingat !!!
$\dfrac{1}{^alog\ b} =\ ^blog\ a$

$^{p\sqrt{q}}log\ 2 = 4$
$2 = (p\sqrt{q})^4$
$\sqrt{2} = p^2q$
$Jawab:\ B.$

$17.$ Nilai $x$ yang memenuhi
$^{2 - 3x}log\ (x^2 - 2x + 2) =\ ^2log\ 4$ adalah . . . .
$1.\ \dfrac13$
$2.\ 1$
$3.\ \dfrac23$
$4.\ \dfrac14$
[Persamaan Logaritma]
Syarat basis:
$2 - 3x > 0\ dan\ 2 - 3x \ne 1$
$x < \dfrac23\ dan\ x \ne \dfrac13$ . . . . *
Syarat numerus:
$x^2 - 2x + 2 > 0$ ← Definit positif.
Memenuhi untuk semua nilai $x$.

Persamaan:
$^{2 - 3x}log\ (x^2 - 2x + 2) =\ ^2log\ 4$
$^{2 - 3x}log\ (x^2 - 2x + 2) = 2$
$x^2 - 2x + 2 = (2 - 3x)^2$
$x^2 - 2x + 2 = 4 - 12x + 9x^2$
$8x^2 - 10x + 2 = 0$
$4x^2 - 5x + 1 = 0$
$(4x - 1)(x - 1) = 0$
$x = \dfrac14\ atau\ x = 1$
Karena syarat basis adalah $x < \dfrac23\ dan\ x \ne \dfrac13$,
maka $x$ yang memenuhi syarat adalah $\dfrac14$
Opsi yang benar adalah opsi 4.
$Jawab:\ D.$

$18.$ Jika $x$ memenuhi persamaan $x^{^2log\ x} = 16$ maka
$^4log\ x^2 =$ . . . .
$A.\ 2\ atau\ -2$
$B.\ 4\ atau\ \dfrac14$
$C.\ 1\ atau\ -1$
$D.\ 4\ atau\ -4$
$E.\ 2\ atau\ \dfrac12$
[Persamaan Logaritma]
$x^{^2log\ x} = 16$
$^xlog\ 16 =\ ^2log\ x$
$^xlog\ 2^4 =\ ^2log\ x$
$4.\ ^xlog\ 2 =\ ^2log\ x$
$4.\dfrac{log\ 2}{log\ x} = \dfrac{log\ x}{log\ 2}$
$4 = \dfrac{log^2\ x}{log^2\ 2}$
$4 = \left(\dfrac{log\ x}{log\ 2} \right)^2$
$4 =\ ^2log^2\ x$
$^2log\ x = 2\ atau\ ^2log\ x = -2$

Yang ditanya adalah $^4log\ x^2 =\ ?$
$^4log\ x^2 = \dfrac 22.^2log\ x$
$=\ ^2log\ x$
$= 2\ atau\ -2$
$Jawab:\ A.$

$19.$ Jika $^4log\ (^2log\ x) +\ ^2log\ (^4log\ x) = 2$,
maka $^5log\ \sqrt{x + \sqrt{x} + 5} =$ . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 4$
$D.\ 5$
$E.\ 16$
[Persamaan Logaritma]
$^4log\ (^2log\ x) +\ ^2log\ (^4log\ x) = 2$
$\dfrac12.^2log\ (^2log\ x) +\ ^2log\ (\dfrac12.^2log\ x) = 2$
$^2log\ (\sqrt{^2log\ x}) +\ ^2log\ (\dfrac12.^2log\ x) = 2$
$^2log\ (\dfrac12.^2log\ x.\sqrt{^2log\ x}) =\ ^2log\ 4$
$\dfrac12.^2log\ x.\sqrt{^2log\ x} = 4$
$\left(^2log\ x \right)^{\frac32} = 8$
$\left(^2log\ x \right) = 8^{\frac23}$
$^2log\ x = 4$
$x = 2^4$
$x = 16$

$^5log\ \sqrt{x + \sqrt{x} + 5} =\ ^5log\ \sqrt{16 + \sqrt{16} + 5}$
$=\ ^5log\ \sqrt{25}$
$=\ ^5log\ 5$
$= 1$
$Jawab:\ A.$

$20.$ Jika $(p,\ q)$ merupakan penyelesaian dari sistem
berikut:
$^3log\ x +\ ^2log\ y = 4$
$^3log\ (x^2) -\ ^4log\ (4y^2) = 1$
maka nilai $p - q =$ . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 4$
$C.\ 5$
$D.\ 9$
$E.\ 13$
[Persamaan Logaritma]
$^3log\ x +\ ^2log\ y = 4$ . . . . *
$^3log\ (x^2) -\ ^4log\ (4y^2) = 1$
$2.^3log\ x - (^4log\ 4 +\ ^4log\ y^2) = 1$
$2.^3log\ x -\ ^4log\ 4 -\ ^4log\ y^2 = 1$
$2.^3log\ x - 1 - \dfrac22 ^2log\ y = 1$
$2.^3log\ x -\ ^2log\ y = 2$ . . . . **

Eliminasi pers * dan pers **

$^3log\ x +\ ^2log\ y = 4$
$2.^3log\ x -\ ^2log\ y = 2$
-------------------------------- +
$3.^3log\ x = 6$
$^3log\ x = 2$
$x = 3^2$
$x = 9 → p = 9$
Substitusi $x = 9$ ke pers *
$^3log\ 9 +\ ^2log\ y = 4$
$2 +\ ^2log\ y = 4$
$^2log\ y = 2$
$y = 2^2$
$y = 4 → q = 4$

$p - q = 9 - 4 = 5$
$Jawab:\ C.$

Pengertian Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah bentuk lain dari Persamaan Logaritma, dimana tanda "=" diganti dengan tanda" <, ≤, >, ≥". Untuk mempermudah pemahaman tentang pertidaksamaan logaritma, diharapkan adik-adik mempelajari kembali materi Pertidaksamaan. Ada keterkaitan yang sangat erat antara basis atau bilangan pokok logaritma dengan pertidaksamaan logaritma. Perhatikan rumus-rumus penting berikut !

Rumus-Rumus Pertidaksamaan Logaritma

A. Untuk a < 0 < 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
  1. Jika alog f(x) < alog g(x) → f(x) > g(x)
  2. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) → f(x) ≥ g(x)
  3. Jika alog f(x) > alog g(x) → f(x) < g(x)
  4. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) → f(x) ≤ g(x)

B. Untuk a > 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
  1. Jika alog f(x) < alog g(x) → f(x) < g(x)
  2. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) → f(x) ≤ g(x)
  3. Jika alog f(x) > alog g(x) → f(x) > g(x)
  4. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) → f(x) ≥ g(x)

Kadang-kadang kita membutuhkan pemisalan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma. Dengan pemisalan, kita bisa membuat pertidaksamaan logaritma menjadi lebih sederhana. Supaya adik-adik paham tentang pertidaksamaan logaritma, silahkan simak soal Pertidaksamaan logaritma berikut.

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma

$1.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan
$^2\log\ (2x - 3) < 3$ adalah . . . .
  $A.\ x > \dfrac{3}{2}$
  $B.\ x < \dfrac{3}{2}$
  $C.\ x < \dfrac{11}{2}$
  $D.\ \dfrac{3}{2} < x < \dfrac{11}{2}$
  $E.\ x > \dfrac{11}{2}$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$^2\log\ (2x - 3) < 3$
Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basis atau bilangan
pokok adalah $2 > 0\ dan\ ≠ 1$.

Syarat numerus:
$2x - 3 > 0$
$2x > 3$
$x > \dfrac{3}{2}$ . . . . *

Syarat pertidaksamaan:
$^2log (2x - 3) <\ ^2log 8$
Karena bilangan pokok atau basis > 1,
maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$2x - 3 < 8$
$2x < 11$
$x < \dfrac{11}{2}$ . . . . **


$(*)∩(**) → \dfrac{3}{2} < x < \dfrac{11}{2}$
$Jawab:\ D.$

2. Jika $^{\frac{1}{3}}\log\ (3x + 2) ≥ -2$, maka nilai x yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ x > -\dfrac{2}{3}$
  $B.\ x ≤ \dfrac{7}{3}$
  $C.\ x < \dfrac{2}{3}$
  $D.\ -\dfrac{2}{3} < x ≤ \dfrac{7}{3}$
  $E.\ -\dfrac{2}{3} ≤ x ≤ \dfrac{7}{3}$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$^{\frac{1}{3}}\log\ (3x + 2) ≥ -2$

Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basis atau bilangan
pokok adalah ${1\over 3} > 0\ dan\ ≠ 1.$

Syarat numerus:
$3x + 2 > 0$
$3x > -2$
$x > -\dfrac{2}{3}$ . . . . *

Syarat pertidaksamaan:
$^{\frac{1}{3}}log (3x + 2) ≥ ^{\frac{1}{3}}log(\frac{1}{3})^{-2}$
Karena basisnya adalah $\dfrac13 → 0 < a < 1$

maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$3x + 2 ≤ (\dfrac{1}{3})^{-2}$
$3x + 2 ≤ 3^{2}$
$3x + 2 ≤ 9$
$3x ≤ 7$
$x ≤ \frac{7}{3}$ . . . . **


$(1)∩(2) → -\dfrac{2}{3} < x ≤ \dfrac{7}{3}$
$Jawab:\ D.$

3. Jika $^{3}log(x^{2} - 2x) <\ ^{3}log(2x -3)$, maka nilai $x$
yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ x < 0\ atau\ x > 2$
  $B.\ 1 < x < 3$
  $C.\ 2 < x < 3$
  $D.\ -1 < x < 2$
  $E.\ x < 2\ atau\ x > 3$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$^{3}log(x^{2} - 2x) < ^{3}log(2x -3)$

Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basisnya adalah
$3 > 0\ dan\ ≠ 1.$

Syarat numerus:
$(i).\ x^{2} - 2x > 0$
$x(x - 2) > 0$
$x < 0\ atau\ x > 2$ . . . . *

$(ii).\ 2x - 3 > 0$
$2x > 3$
$x > \frac{3}{2}$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basisnya adalah $3\ (a > 1)$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^{2} - 2x < 2x - 3$
$x^{2} - 4x + 3 < 0$
$(x - 1)(x - 3) < 0$
$1 < x < 3$ . . . . ***


$(*)∩(**)∩(***) → 2 < x < 3$
$Jawab:\ C.$

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
   $^{\frac{1}{2}}log (2x^{2} - 3x) ≥ ^{\frac{1}{2}}log (2x + 3)$ adalah . . . .
  $A.\ -\dfrac{3}{2} < x < 0$
  $B.\ -\dfrac{1}{2} < x < 3$
  $C.\ x < \dfrac{1}{2}\ atau\ x > 3$
  $D.\ x < 2\ atau\ x > 3$
  $E.\ -\dfrac{1}{2} ≤ x < 0$ $ atau \dfrac{3}{2} < x ≤ 3$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$^{\frac{1}{2}}log (2x^{2} - 3x) ≥\ ^{\frac{1}{2}}log (2x + 3)$

Syarat basis
Syarat basis sudah terpenuhi.
Syarat numerus:
$(i).\ 2x^{2} - 3x > 0$
$x(2x - 3) > 0$
$x < 0$ atau $x > \dfrac{3}{2}$ . . . . *

$(ii).\ 2x + 3 > 0$
$2x > -3$
$x > -\dfrac{3}{2}$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basisnya adalah $\dfrac12\ (0 < a < 1)$,
maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$2x^{2} - 3x ≤ 2x + 3$
$2x^{2} - 5x -3 ≤ 0$
$(2x + 1)(x - 3) ≤ 0$
$-\dfrac{1}{2} ≤ x ≤ 3$ . . . . ***


$(*)∩(**)∩(***) → -\dfrac{1}{2} ≤ x < 0$ atau $\dfrac{3}{2} < x ≤ 3$
$Jawab:\ E.$

5. Jika $^{2}log^{2}x - 7.^{2}log\ x + 10 < 0$, maka nilai
  $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.\ x < 4$
  $B.\ 0 < x < 4$
  $C.\ -2 < x < 16$
  $D.\ 4 < x < 32$
  $E.\ x > 32$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$^{2}log^{2}x - 7.^{2}log\ x + 10 < 0$

Syarat numerus:
$x > 0$ . . . . *

Misalkan $^{2}log x = p$
Pertidaksamaan logaritma menjadi:
$p^{2} - 7p + 10 < 0$
$(p - 2)(p - 5) < 0$
$2 < p < 5$
$2 <\ ^{2}log x < 5$
$^{2}log 4 <\ ^{2}log x <\ ^{2}log 32$
$4 < x < 32$ . . . . **


$(*)∩(**) → 4 < x < 32$
$Jawab:\ D.$

6. Himpunan penyelesaian dari
  $log (x^{2} + 4x + 4) ≤ log (5x + 10)$ adalah . . . .
  $A.\ \{x| -2 < x ≤ 3\}$
  $B.\ \{x| x < 3\}$
  $C.\ \{x| -3 < x < 2\}$
  $D.\ \{x| x ≤ -2 atau x ≥ 3\}$
  $E.\ \{x| -2 ≤ x ≤ 3\}$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$log (x^{2} + 4x + 4) ≤ log (5x + 10)$

Syarat numerus:
$(i).\ x^{2} + 4x + 4 > 0$
$(x + 2)^{2} > 0$ → selalu memenuhi jika $x ≠ -2$ . . . . *

$(ii).\ 5x + 10 > 0$
$5x > -10$
$x > -2$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basis adalah $10 > 1$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^{2} + 4x + 4 ≤ 5x + 10$
$x^{2} - x - 6 ≤ 0$
$(x + 2)(x - 3) ≤ 0$
$-2 ≤ x ≤ 3$ . . . . ***

$(*)∩(**)∩(***) → -2 < x ≤ 3$
$Jawab:\ A.$

7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
  $2log\ x ≤ log\ (x +3) + log 4$ adalah . . . .
  $A.\ \{x| -2 ≤ x ≤ 6\}$
  $B.\ \{x| x > 6\}$
  $C.\ \{x| 0 < x ≤ 6\}$
  $D.\ \{x| 0 < x ≤ 2\}$
  $E.\ \{x| 0 < x < 2\ atau\ x = 6\}$
[Pertidaksaman Logaritma]
$2log\ x ≤ log\ (x +3) + log\ 4$

Syarat numerus:
$(i).\ x > 0$ . . . . *

$(ii).\ x + 3 > 0$
$x > -3$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
$log x^{2} ≤ log (x + 3).4$
Karena basis adalah $10 > 1$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^{2} ≤ 4x + 12$
$x^{2} - 4x -12 ≤ 0$
$(x + 2)(x - 6) ≤ 0$
$-2 ≤ x ≤ 6$ . . . . ***


$(*)∩(**)∩(***) → 0 < x ≤ 6$
$Jawab:\ C.$

8. Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{1}{^{2}log x} - \dfrac{1}{^{2}log x - 1} < 1$
   adalah . . . .
  $A.\ x < 1\ atau\ x > 2$
  $B.\ 1 < x < 2$
  $C.\ 0 < x < 2$
  $D.\ x < 2\ atau\ x > 3$
  $E.\ 0 < x < 1\ atau\ x > 2$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$\dfrac{1}{^{2}log x} - \dfrac{1}{^{2}log x - 1} < 1$

Syarat numerus:
$x > 0$ . . . . *

Misalkan $^{2}log x = p$
$\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p-1}-1 < 0$
$\dfrac{p-1}{p(p-1)} - \dfrac{p}{p(p - 1)} - \dfrac{p(p-1)}{p(p-1)} < 0$
$\dfrac{-p^{2}+p-1}{p(p-1)}< 0$
$\dfrac{p^{2}-p+1}{p(p-1)}> 0$
$p^{2} - p + 1$ definit positif, bisa diabaikan.

Ingat jika $a > 0\ dan\ D < 0$ disebut definit positif.

$p(p - 1) > 0$
$p < 0$ atau $p > 1$
$^{2}log x < 0\ atau\ ^{2}log x > 1$
$x < 1\ atau\ x > 2$ . . . . **


$(1)∩(2) → 0 < x < 1$ $ atau\ x > 2$
$Jawab:\ E.$

9. Nilai-nilai x yang memenuhi: $^{2}log x -\ ^{x}log 2 > 0$
  adalah . . . .
  $A.\ x > 2$
  $B.\ x > 1$
  $C.\ \frac{1}{2} < x < 1\ atau\ x > 2$
  $D.\ -1 < x < 0\ atau\ x > 1$
  $E.\ 1 < x < 2$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$^{2}log x - ^{x}log 2 > 0$

Syarat basis dan numerus:

$x > 0\ dan\ x ≠ 1$ . . . . *

$^{2}log x - \dfrac{1}{^{2}log x} > 0$
Misalkan $^2log x = p$
$p - \dfrac{1}{p} > 0$
$\dfrac{p^{2} - 1}{p} > 0$
$(p + 1)p(p - 1) > 0$
$-1 < p < 0$ atau $p > 1$
$-1 < ^{2}log x < 0$ atau $^{2}log x > 1$
$^{2}log \dfrac{1}{2} < ^{2}log x < ^{2}log 1$ atau $^{2}log x > ^{2}log 2$
$\frac{1}{2} < x < 1$ atau $x > 2$ . . . . **

$(*)∩(**) → \frac{1}{2} < x < 1$ atau $x > 2$
$Jawab:\ C.$

10. Nilai-nilai t yang memenuhi: $4(^{\frac{1}{2}}log\ t) < ^{\frac{1}{2}}log\ 81$
  adalah . . . .
  $A.\ t < 3$
  $B.\ -3 < t < 3$
  $C.\ 0 < t < 3$
  $D.\ -3 < t < 0$
  $E.\ t < -3\ atau\ t > 3$
[Pertidaksamaan Logaritma]
$4(^{\frac{1}{2}}log\ t) < ^{\frac{1}{2}}log\ 81$

$^{\frac{1}{2}}log\ t^4 < ^{\frac{1}{2}}log\ 81$

Syarat numerus:
$t^4 > 0$
Selalu memenuhi untuk $t ≠ 0$ . . . . *

$(^{\frac{1}{2}}log\ t^{4}) < ^{\frac{1}{2}}log\ 81$
$t^{4} > 81$
$t^{4} - 81 > 0$
$(t^{2} + 9)(t^{2} - 9) > 0$
$t^{2} + 9$ definit positif.
$(t^{2} - 9) > 0$
$(t + 3)(t - 3) > 0$
$t < -3$ atau $t > 3$ . . . . **

$(1)∩(2) → t < -3$ atau $t > 3$
$Jawab:\ E.$

11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2\ x + 2^2log\ 2x > 2$ adalah . . . .
$A.\ \{x|\ 1 < x < 4,\ x \in R\}$
$B.\ \{x|\ \dfrac14 < x < 1,\ x \in R\}$
$C.\ \{x|\ x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$D.\ \{x|\ 0 < x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$E.\ \{x|\ 0 < x < 1\ atau\ x > 4,\ x \in R\}$
$^2log^2\ x + 2^2log\ 2x > 2$
$^2log^2\ x + 2(^2log\ 2 +\ ^2log\ x) > 2$
$^2log^2\ x + 2.^2log\ 2 + 2^2log\ x > 2$
$^2log^2\ x + 2.1 + 2^2log\ x > 2$
$^2log^2\ x + 2^2log\ x > 0$
Misalkan $^2log\ x = p$
$p(p + 2) > 0$
$p < -2\ atau\ p > 0$
$^2log\ x < -2 → x < \dfrac14$
$^2log\ x > 0 → x > 1$
Himpunan Penyelesaian:
$\{x|\ x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
jawab: C.

12. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $(^alog\ x)^2 - ^alog\ x - 2 > 0$ dengan $0 < a < 1$ adalah . . . .
$A.\ x < a^2\ atau\ x > a^{-1}$
$B.\ x < a^2\ atau\ x > a^{-2}$
$C.\ a^2 < x < a^{-1}$
$D.\ a^2 < x < a^{-2}$
$E.\ a^{-2} < x < a^2$
Misalkan $^alog\ x = p$
$(^alog\ x)^2 - ^alog\ x - 2 > 0$
$p^2 - p - 2 > 0$
$(p + 1)(p - 2) > 0$
$p < -1\ atau\ p > 2$

$0 < a < 1$
$^alog\ x < -1 → x > a^{-1}$
atau
$^alog\ x > 2 → x < a^2$
jawab: A.

13. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^alog^2\ x + 4^alog\ x + 3 < 0$ dengan $a > 1$ adalah . . . .
$A.\ a^{-3} < x < a^{-1}$
$B.\ a^{-1} < x < a^3$
$C.\ a^{-1} < x < a^{-3}$
$D.\ a^{-3} < x < a$
$E.\ 1 < x < a^{-3}$
Misalkan $^alog\ x = p$
$p^2 + 4p + 3 < 0$
$(p + 3)(p + 1) < 0$
$-3 < p < -1$
$-3 < ^alog\ x < -1$
$^alog\ a^{-3} < ^alog\ x < ^alog\ a^{-1}$
$a^{-3} < x < a^{-1}$
jawab: A.

Demikianlah ulasan tentang persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Selamat belajar !
SHARE THIS POST


www.maretong.com



2 comments:

  1. No 10 pertidaksamaan harusnyat besar 3, gak ada dipilihan. Karena t harus +

    ReplyDelete

Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.